Contoh Soal Lingkaran beserta Pembahasannya #4
Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi lingkaran (kelas 11 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(2,3)$ dan melalui titik $(5,-1)$ adalah ...
Jawab:
Mencari jari-jari lingkaran
$\begin{aligned} r&=\sqrt{(5-2)^2+(-1-3)^2}\\ &= \sqrt{9+16}\\ &= \sqrt{25}\\ &= 5 \end{aligned}$
Mencari persamaan lingkaran
$\begin{aligned} (x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\ (x-2)^2+(y-3)^2&=5^2\\ (x-2)^2+(y-3)^2&=25 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x-2)^2+(y-3)^2=25$
Contoh soal 2
Nilai $a$ agar garis $y=x+a$ menyinggung lingkaran $x^2+y^2-6x-2y+2=0$ adalah ...
Jawab:
Garis menyinggung lingkaran maka nilai deskriminan sama dengan nol, $D=0$
$\begin{aligned} x^2+y^2-6x-2y+2&=0\\ x^2+(x+a)^2-6x-2(x+a)+2&=0\\ x^2+x^2+2ax+a^2-6x-2x-2a+2&=0\\ 2x^2+(2a-8)x+a^2-2a+2&=0 \end{aligned}$
Sehingga diperoleh $a=2, b=2a-8, c=a^2-2a+2$
$\begin{aligned} D&=b^2-4ac\\ 0&= (2a-8)^2-4.2.(a^2-2a+2)\\ 0&= 4a^2-32a+64-8a^2+16a-16\\ 0&= -4a^2-16a+48\\ 4a^2+16a-48&=0~~~~~(dibagi 4)\\ a^2+4a-12&=0\\ (a+6)(a-2)&=0\\ a=-6 \vee a&=2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=-6$ atau $a=2$
Contoh soal 3
Persamaan lingkaran dengan pusat dititik $(3,2)$ dan menyinggung sumbu $y$ adalah ...
Jawab:
Mencari jari-jari lingkaran
Karena lingkaran menyinggung sumbu $y$ maka jari-jarinya adalah $3$ (dilihat dari nilai absis)
Mencari persamaan lingkaran
$\begin{aligned} (x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\ (x-3)^2+(y-2)^2&=3^2\\ (x-3)^2+(y-2)^2&=9 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x-3)^2+(y-2)^2=9$
Contoh soal 4
Lingkaran $L=(x+1)^2+(y-3)^2=9$ memotong garis $y=3$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ...
Jawab:
Mencari titik potong lingkaran dan garis
$\begin{aligned} (x+1)^2+(y-3)^2&=9\\ (x+1)^2+(3-3)^2&=9\\ x^2+2x+1&=9\\ x^2+2x-8&=0\\ (x+4)(x-2)&=0\\ x=-4 \vee x&=2 \end{aligned}$
Jadi, titik potongnya $(-4,3)$ dan $(2,3)$
Mencari persamaan garis singgung lingkaran
$\bullet$ Untuk titik $(-4,3)$
$\begin{aligned} (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)&=r^2\\ (-4+1)(x+1)+(3-3)(y-3)&=9\\ -3(x+1)-0(y-3)&=9\\ -3x-3&=9\\ 3x+12&= 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $3x+12= 0$
$\bullet$ Untuk titik $(2,3)$
$\begin{aligned} (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)&=r^2\\ (2+1)(x+1)+(3-3)(y-3)&=9\\ 3(x+1)-0(y-3)&=9\\ 3x+3&=9\\ 3x-6&= 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $3x-6= 0$
Contoh soal 5
Jari-jari lingkaran yang melalui titik $A(5,0)$, $B(0,5)$ dan $C(-1,0)$ adalah ...
Jawab:
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
Substitusi titik $A(5,0)$, $B(0,5)$ dan $C(-1,0)$ ke bentuk umum persamaan lingkaran
$\bullet$ Untuk titik $A(5,0)$
$\begin{aligned} x^2 + y^2 + Ax + By + C &= 0 \\ 5^2 + 0^2 + A.5 + B.0 + C &= 0 \\ 25 + 5A + C &= 0\\ 5A + C &= -25\ ...(1) \end{aligned}$
$\bullet$ Untuk titik $B(0,5)$
$\begin{aligned} x^2 + y^2 + Ax + By + C &= 0 \\ 0^2 + 5^2 + A.0 + B.5 + C &= 0 \\ 25 + 5B + C &= 0\\ 5B+ C &= -25\ ...(2) \end{aligned}$
$\bullet$ Untuk titik $C(-1,0)$
$\begin{aligned} x^2 + y^2 + Ax + By + C &= 0 \\ (-1)^2 + 0^2 + A.(-1) + B.0 + C &= 0 \\ 1 -A + C &= 0\\ A- C &= 1\ ...(3) \end{aligned}$
Sehingga didapat 3 persamaan yaitu
$5A + C = -25\ ...(1)$
$5B+ C = -25\ ...(2)$
$A- C = 1\ ...(3)$
Kita selesaikan ketiga persamaan tersebut untuk memperoleh nilai A, B, dan C
Eliminasi C dari (1) dan (3)
$\begin{aligned} 5A + C &= -25 \\ A- C &= 1~~~~ +\\ \hline \\ 6A&= -24\\ A&= -4 \end{aligned}$
Substitusi $A=-4$ ke pers $(3)$
$\begin{aligned} A- C &= 1 \\ -4- C &= 1\\ C&= -5 \end{aligned}$
Substitusi $C = -5$ ke $(2)$
$\begin{aligned} 5B+ C &= -25 \\ 5B-5 &= -25\\ 5B&= -20\\ B&=-4 \end{aligned}$
Jadi, didapat persamaan lingkarannya adalah
$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
$\boxed{x^2 + y^2 -4x -4y - 5 = 0}$
Mencari jari-jari lingkaran
$\begin{aligned} r&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C}\\ &=\sqrt{\frac{1}{4}(-4)^{2}+\frac{1}{4}(-4)^{2} +5}\\ &=\sqrt{4+4 +5}\\ &=\sqrt{13 }\\ \end{aligned}$
Contoh soal 6
Persamaan garis singgung lingkaran $(x-2)^2+(y+1)^2=13$ di titik yang berabsis $-1$ adalah ...
Jawab:
Mencari titik singgung lingkaran
$\begin{aligned} (x-2)^2+(y+1)^2&=13\\ (-1-2)^2+(y+1)^2&=13\\ 9+y^2+2y+1&=13\\ y^2+2y-3&=0\\ (y+3)(y-1)&=0\\ y=-3 \vee y=1 \end{aligned}$
Jadi, titik singgungnya adalah $(-1,-3)$ dan $(-1,1)$
Mencari persamaan garis singgung lingkaran
$\bullet$ Untuk titik $(-1,-3)$
$\begin{aligned} (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)&=r^2\\ (-1-2)(x-2)+(-3+1)(y+1)&=13\\ -3(x-2)-2(y+1)&=13\\ -3x+6-2y-2&=13\\ 3x+2y+9&= 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $3x+2y+9= 0$
$\bullet$ Untuk titik $(-1,1)$
$\begin{aligned} (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)&=r^2\\ (-1-2)(x-2)+(1+1)(y+1)&=13\\ -3(x-2)+2(y+1)&=13\\ -3x+6+2y+2&=13\\ 3x-2y+5&= 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $3x-2y+5= 0$
Contoh soal 7
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-2x-6y-7=0$ di titik yang berabsis $5$ adalah
Jawab:
Mencari titik singgung lingkaran
$\begin{aligned} 5^2+y^2-2.5-6y-7&=0\\ 25+y^2-10-6y-7&=0\\ y^2-6y+8&=0\\ (y-4)(y-2)&=0\\ y=4 \vee y&=2 \end{aligned}$
Sehingga titik singgungnya adalah $(5,4)$ dan $(5,2)$
Mencari persamaan garis singgung lingkaran
$\bullet$ Untuk titik $(5,4)$
$\begin{aligned} x_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}A(x_1+x)+\frac{1}{2}B(y_1+y)+C&=0\\ 5x+4y+\frac{1}{2}(-2)(5+x)+\frac{1}{2}(-6)(4+y)-7&=0\\ 5x+4y-(5+x)-3(4+y)-7&=0\\ 5x+4y-5-x-12-3y-7&=0\\ 4x+y-24&=0\ \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $4x+y-24=0$
$\bullet$ Untuk titik $(5,2)$
$\begin{aligned} x_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}A(x_1+x)+\frac{1}{2}B(y_1+y)+C&=0\\ 5x+2y+\frac{1}{2}(-2)(5+x)+\frac{1}{2}(-6)(2+y)-7&=0\\ 5x+2y-(5+x)-3(2+y)-7&=0\\ 5x+2y-5-x-6-3y-7&=0\\ 4x-y-18&=0\ \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $4x-y-18=0$
Contoh soal 8
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $2x-4y-4=0$, serta menyinggung sumbu $x$ negatif dan sumbu $y$ negatif adalah ...
Jawab:
Misalkan titik pusat lingkarannya $(a,b)$
Dari soal diketahui pusatnya terletak pada garis $2x-4y-4=0$ sehingga didapat
$\begin{aligned} 2x-4y-4&=0\\ 2a-4b-4&=0\\ 2a-4b&=4....(1) \end{aligned}$
Selain itu, diketahui bahwa lingkaran menyinggung sumbu $x$ negatif dan sumbu $y$ negatif sehingga didapat
$\begin{aligned} a&=b\\ a-b&=0...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai a dan b
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} & 2a-4b=4\\ & a-b=0 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2a - 4b & = 4 \\~2a - 2b & = 0 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & \! \begin{aligned} \color{black}{-2b = 4} \end{aligned} \\ & \! \begin{aligned} \color{black}{b = -2} \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi nilai $b=-2$ ke pers $(2)$
$\begin{aligned} a-b&=0 \\ a+2&=0\\a&=-2 \end{aligned}$
Sehingga diperoleh pusat lingkarannya adalah $(-2,-2)$ dan jari-jarinya adalah $2$ (karena lingkaran menyinggung sumbu $x$ negatif dan sumbu $y$ negatif)
Mencari persamaan lingkaran
$\begin{aligned} (x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\ (x+2)^2+(y+2)^2&=2^2\\ (x+2)^2+(y+2)^2&=4 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x+2)^2+(y+2)^2=4$
Contoh soal 9
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(1,4)$ dan menyinggung garis $3x-4y-2=0$ adalah ...
Jawab:
Mencari jari-jari lingkaran
Jarak dari pusat $(1,4)$ ke garis $3x-4y-2=0$ adalah jari-jari lingkaran, yaitu
$\begin{align} r &= \left| \frac{3.1-4.4-2}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| \\ &= \left| \frac{-15}{5} \right| \\ &= 3 \end{align}$
Mencari persamaan lingkaran
$\begin{aligned} (x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\ (x-1)^2+(y-4)^2&=3^2\\ (x-1)^2+(y-4)^2&=9 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x-1)^2+(y-4)^2=9$
Contoh soal 10
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=13$ yang melalui titik $(3,-2)$ adalah ...
Jawab:
Dari soal diketahui $x_1=3$ dan $y_1=-2$ sehingga dapat diperoleh persamaan garis singgung lingkarannya adalah sebagai berikut
$\begin{aligned} x_1.x+y_1.y&=r^2\\ 3x-2y&=13 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung lingkarannya adalah $3x-2y=13$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi lingkaran (kelas 11 SMA). Semoga bermanfaat.
Referensi
Tim Grasindo. 2014. Intisari Materi dan Soal-soal Penting Matematika dan IPA SMA Kelas X, XI, XII. Jakarta: PT Grasindo.
