Contoh Soal Lingkaran beserta Pembahasannya #4

 

Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi lingkaran (kelas 11 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.

Contoh soal 1 

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(2,3)$ dan melalui titik $(5,-1)$ adalah ...

Jawab:

Mencari jari-jari lingkaran

$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{(5-2{)}^2+(-1-3{)}^2}\\ & =\sqrt{9+16}\\ & =\sqrt{25}\\ & =5\end{array}$

Mencari persamaan lingkaran

$\begin{array}{rl}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x-2{)}^2+(y-3{)}^2& =5^2\\ (x-2{)}^2+(y-3{)}^2& =25\end{array}$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=25$

Contoh soal 2

Nilai $a$ agar garis $y=x+a$ menyinggung lingkaran $x^2+y^2-6x-2y+2=0$ adalah ...

Jawab:

Garis menyinggung lingkaran maka nilai deskriminan sama dengan nol, $D=0$

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2-6x-2y+2& =0\\ x^2+(x+a{)}^2-6x-2(x+a)+2& =0\\ x^2+x^2+2ax+a^2-6x-2x-2a+2& =0\\ 2x^2+(2a-8)x+a^2-2a+2& =0\end{array}$

Sehingga diperoleh $a=2,b=2a-8,c=a^2-2a+2$

$\begin{array}{rl}D& =b^2-4ac\\ 0& =(2a-8{)}^2-4.2.(a^2-2a+2)\\ 0& =4a^2-32a+64-8a^2+16a-16\\ 0& =-4a^2-16a+48\\ 4a^2+16a-48& =0(dibagi4)\\ a^2+4a-12& =0\\ (a+6)(a-2)& =0\\ a=-6\vee a& =2\end{array}$

Jadi, nilai  $a$ yang memenuhi adalah $a=-6$ atau $a=2$

Contoh soal 3

Persamaan lingkaran dengan pusat dititik $(3,2)$ dan menyinggung sumbu $y$ adalah ...

Jawab:

Mencari jari-jari lingkaran

Karena lingkaran menyinggung sumbu $y$ maka jari-jarinya adalah $3$ (dilihat dari nilai absis)

Mencari persamaan lingkaran

$\begin{array}{rl}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x-3{)}^2+(y-2{)}^2& =3^2\\ (x-3{)}^2+(y-2{)}^2& =9\end{array}$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=9$

Contoh soal 4 

Lingkaran $L=(x+1{)}^2+(y-3{)}^2=9$ memotong garis $y=3$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ...

Jawab:

Mencari titik potong lingkaran dan garis

$\begin{array}{rl}(x+1{)}^2+(y-3{)}^2& =9\\ (x+1{)}^2+(3-3{)}^2& =9\\ x^2+2x+1& =9\\ x^2+2x-8& =0\\ (x+4)(x-2)& =0\\ x=-4\vee x& =2\end{array}$

Jadi, titik potongnya $(-4,3)$ dan $(2,3)$

Mencari persamaan garis singgung lingkaran

$\bullet$ Untuk titik $(-4,3)$ 

$\begin{array}{rl}(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)& =r^2\\ (-4+1)(x+1)+(3-3)(y-3)& =9\\ -3(x+1)-0(y-3)& =9\\ -3x-3& =9\\ 3x+12& =0\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $3x+12=0$

$\bullet$ Untuk titik $(2,3)$ 

$\begin{array}{rl}(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)& =r^2\\ (2+1)(x+1)+(3-3)(y-3)& =9\\ 3(x+1)-0(y-3)& =9\\ 3x+3& =9\\ 3x-6& =0\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $3x-6=0$

Contoh soal 5 

Jari-jari lingkaran yang melalui titik $A(5,0)$, $B(0,5)$ dan $C(-1,0)$ adalah ...

Jawab:

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Substitusi titik $A(5,0)$, $B(0,5)$ dan $C(-1,0)$ ke bentuk umum persamaan lingkaran

$\bullet$ Untuk titik $A(5,0)$

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+Ax+By+C& =0\\ 5^2+0^2+A.5+B.0+C& =0\\ 25+5A+C& =0\\ 5A+C& =-25...(1)\end{array}$

$\bullet$ Untuk titik $B(0,5)$

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+Ax+By+C& =0\\ 0^2+5^2+A.0+B.5+C& =0\\ 25+5B+C& =0\\ 5B+C& =-25...(2)\end{array}$

$\bullet$ Untuk titik $C(-1,0)$

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+Ax+By+C& =0\\ (-1{)}^2+0^2+A.(-1)+B.0+C& =0\\ 1-A+C& =0\\ A-C& =1...(3)\end{array}$

Sehingga didapat 3 persamaan yaitu

$5A+C=-25...(1)$

$5B+C=-25...(2)$

$A-C=1...(3)$

Kita selesaikan ketiga persamaan tersebut untuk memperoleh nilai A, B, dan C

Eliminasi C dari (1) dan (3)

$\begin{array}{rl}5A+C& =-25\\ A-C& =1+\\ \\ 6A& =-24\\ A& =-4\end{array}$

Substitusi $A=-4$ ke pers $(3)$

$\begin{array}{rl}A-C& =1\\ -4-C& =1\\ C& =-5\end{array}$

Substitusi $C=-5$ ke $(2)$

$\begin{array}{rl}5B+C& =-25\\ 5B-5& =-25\\ 5B& =-20\\ B& =-4\end{array}$

Jadi, didapat persamaan lingkarannya adalah 

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

$\boxed{{\displaystyle x^2+y^2-4x-4y-5=0}}$

Mencari jari-jari lingkaran

$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}(-4{)}^2+\frac{1}{4}(-4{)}^2+5}\\ & =\sqrt{4+4+5}\\ & =\sqrt{13}\end{array}$

Contoh soal 6 

Persamaan garis singgung lingkaran $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=13$ di titik yang berabsis $-1$ adalah ... 

Jawab:

Mencari titik singgung lingkaran

$\begin{array}{rl}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2& =13\\ (-1-2{)}^2+(y+1{)}^2& =13\\ 9+y^2+2y+1& =13\\ y^2+2y-3& =0\\ (y+3)(y-1)& =0\\ y=-3\vee y=1\end{array}$

Jadi, titik singgungnya adalah $(-1,-3)$ dan $(-1,1)$

Mencari persamaan garis singgung lingkaran

$\bullet$ Untuk titik $(-1,-3)$

$\begin{array}{rl}(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)& =r^2\\ (-1-2)(x-2)+(-3+1)(y+1)& =13\\ -3(x-2)-2(y+1)& =13\\ -3x+6-2y-2& =13\\ 3x+2y+9& =0\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $3x+2y+9=0$

$\bullet$ Untuk titik $(-1,1)$

$\begin{array}{rl}(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)& =r^2\\ (-1-2)(x-2)+(1+1)(y+1)& =13\\ -3(x-2)+2(y+1)& =13\\ -3x+6+2y+2& =13\\ 3x-2y+5& =0\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $3x-2y+5=0$

Contoh soal 7 

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-2x-6y-7=0$ di titik yang berabsis $5$ adalah

Jawab:

Mencari titik singgung lingkaran

$\begin{array}{rl}{5}^2+y^2-2.5-6y-7& =0\\ 25+y^2-10-6y-7& =0\\ y^2-6y+8& =0\\ (y-4)(y-2)& =0\\ y=4\vee y& =2\end{array}$

Sehingga titik singgungnya adalah $(5,4)$ dan $(5,2)$

Mencari persamaan garis singgung lingkaran

$\bullet$ Untuk titik $(5,4)$

$\begin{array}{rl}{x}_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}A(x_1+x)+\frac{1}{2}B(y_1+y)+C& =0\\ 5x+4y+\frac{1}{2}(-2)(5+x)+\frac{1}{2}(-6)(4+y)-7& =0\\ 5x+4y-(5+x)-3(4+y)-7& =0\\ 5x+4y-5-x-12-3y-7& =0\\ 4x+y-24& =0\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $4x+y-24=0$

$\bullet$ Untuk titik $(5,2)$

$\begin{array}{rl}{x}_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}A(x_1+x)+\frac{1}{2}B(y_1+y)+C& =0\\ 5x+2y+\frac{1}{2}(-2)(5+x)+\frac{1}{2}(-6)(2+y)-7& =0\\ 5x+2y-(5+x)-3(2+y)-7& =0\\ 5x+2y-5-x-6-3y-7& =0\\ 4x-y-18& =0\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $4x-y-18=0$

Contoh soal 8

Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $2x-4y-4=0$, serta menyinggung sumbu $x$ negatif dan sumbu $y$ negatif adalah ... 

Jawab:

Misalkan titik pusat lingkarannya $(a,b)$ 

Dari soal diketahui pusatnya terletak pada garis $2x-4y-4=0$ sehingga didapat

$\begin{array}{rl}2x-4y-4& =0\\ 2a-4b-4& =0\\ 2a-4b& =4....(1)\end{array}$

Selain itu, diketahui bahwa lingkaran menyinggung sumbu $x$ negatif dan sumbu $y$ negatif sehingga didapat 

$\begin{array}{rl}a& =b\\ a-b& =0...(2)\end{array}$

Mencari nilai a dan b

$\begin{array}{rl}\begin{array}{rl}& 2a-4b=4\\ & a-b=0\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 1\\ \times 2\end{array}\right|& \begin{array}{rl}2a-4b& =4\\ 2a-2b& =0\end{array}\\ & -\\ & \begin{array}{r}-2b=4\end{array}\\ & \begin{array}{r}b=-2\end{array}\end{array}$

Substitusi nilai $b=-2$ ke pers $(2)$

$\begin{array}{rl}a-b& =0\\ a+2& =0\\ a& =-2\end{array}$

Sehingga diperoleh pusat lingkarannya adalah $(-2,-2)$ dan jari-jarinya adalah $2$ (karena lingkaran menyinggung sumbu $x$ negatif dan sumbu $y$ negatif)

Mencari persamaan lingkaran

$\begin{array}{rl}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x+2{)}^2+(y+2{)}^2& =2^2\\ (x+2{)}^2+(y+2{)}^2& =4\end{array}$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x+2{)}^2+(y+2{)}^2=4$

Contoh soal 9

Persamaan lingkaran yang berpusat di $(1,4)$ dan menyinggung garis $3x-4y-2=0$ adalah ...

Jawab:

Mencari jari-jari lingkaran

Jarak dari pusat $(1,4)$ ke garis $3x-4y-2=0$ adalah jari-jari lingkaran, yaitu

$\begin{array}{rl}r& =\left|\frac{3.1-4.4-2}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}\right|\\ & =\left|\frac{-15}{5}\right|\\ & =3\end{array}$

Mencari persamaan lingkaran

$\begin{array}{rl}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x-1{)}^2+(y-4{)}^2& =3^2\\ (x-1{)}^2+(y-4{)}^2& =9\end{array}$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x-1{)}^2+(y-4{)}^2=9$

Contoh soal 10

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=13$ yang melalui titik $(3,-2)$ adalah ...

Jawab:

Dari soal diketahui $x_1=3$ dan $y_1=-2$ sehingga dapat diperoleh persamaan garis singgung lingkarannya adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}{x}_1.x+y_1.y& =r^2\\ 3x-2y& =13\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgung lingkarannya adalah $3x-2y=13$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi lingkaran (kelas 11 SMA). Semoga bermanfaat. 

Referensi

Tim Grasindo. 2014. Intisari Materi dan Soal-soal Penting Matematika dan IPA SMA Kelas X, XI, XII. Jakarta: PT Grasindo.