Cara Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan Matriks
![Cara Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan Matriks Cara Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan Matriks](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGzS9m022nDdezDhQeX2nihTaGVM07ZikrtqzTXlAhhCf_qHSHVhg2TtkQJvM1bseaAQwd_px4XnGx6qV8eLpnY3fcojFlAOHuC26AmZ3HOadRzcJGbCmiwTwisAewOlnHA7mrZV2iAGIJ/w640-h300/64.png)
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dapat disusun dalam bentuk matriks dan ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode invers matriks dan aturan Cramer (melalui determinan matriks). Berikut ini ulasan untuk langkah-langkah penyelesaiannya.
Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Invers Matriks
Misalkan diberikan sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut.
$\begin{cases} \color{red}{a} \color{blue}{x} + \color{red}{b} \color{blue}{y} &= \color{green}{p} \\ \color{red}{c} \color{blue}{x} + \color{red}{d} \color{blue}{y} &= \color{green}{q} \end{cases}$
Sistem persamaan linear tersebut dapat kita susun dalam bentuk persamaan matriks $AX=B$ seperti berikut.
$\left( \begin{matrix} \color{red}{a} & \color{red}{b} \\ \color{red}{c} & \color{red}{d} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \color{blue}{x} \\ \color{blue}{y} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \color{green}{p} \\ \color{green}{q} \end{matrix} \right)$
dengan
$A=\left( \begin{matrix} \color{red}{a} & \color{red}{b} \\ \color{red}{c} & \color{red}{d} \end{matrix} \right)$, $X=\left( \begin{matrix} \color{blue}{x} \\ \color{blue}{y} \end{matrix} \right)$, dan $B=\left( \begin{matrix} \color{green}{p} \\ \color{green}{q} \end{matrix} \right)$
Untuk menentukan nilai $\color{blue}{x}$ dan $\color{blue}{y}$ yang memenuhi persamaan matriks tersebut dapat digunakan bentuk penyelesaian dari persamaan matriks $AX=B$ yaitu $X=A^{-1}B$
Sehingga didapat rumus
Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan aturan Cramer
Dari bentuk persamaan matriks $\left( \begin{matrix} \color{red}{a} & \color{red}{b} \\ \color{red}{c} & \color{red}{d} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \color{blue}{x} \\ \color{blue}{y} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \color{green}{p} \\ \color{green}{q} \end{matrix} \right)$,
dengan
$A=\left( \begin{matrix} \color{red}{a} & \color{red}{b} \\ \color{red}{c} & \color{red}{d} \end{matrix} \right)$, $X=\left( \begin{matrix} \color{blue}{x} \\ \color{blue}{y} \end{matrix} \right)$, dan $B=\left( \begin{matrix} \color{green}{p} \\ \color{green}{q} \end{matrix} \right)$
dapat juga ditentukan penyelesaiannya dengan aturan Cramer.
Untuk memperoleh penyelesaiannya, terlebih dahulu dicari determinannya sebagai berikut.
$D= \begin{vmatrix} \color{red}{a} & \color{red}{b} \\ \color{red}{c} & \color{red}{d} \end{vmatrix}$ adalah determinan koefisien variabel $\color{blue}{x}$ dan $\color{blue}{y}$, dengan elemen-elemen matriks $A$
$D_{x}= \begin{vmatrix} \color{green}{p} & \color{red}{b} \\ \color{green}{q} & \color{red}{d} \end{vmatrix}$ adalah determinan $D$, dengan elemen-elemen pada kolom pertama diganti elemen-elemen matriks $B$ yaitu $\color{green}{p}$ dan $\color{green}{q}$
$D_{y}= \begin{vmatrix} \color{red}{a} & \color{green}{p} \\ \color{red}{c} & \color{green}{q} \end{vmatrix}$ adalah determinan $D$, dengan elemen-elemen pada kolom kedua diganti elemen-elemen matriks $B$ yaitu $\color{green}{p}$ dan $\color{green}{q}$
Nilai $\color{blue}{x}$ dan $\color{blue}{y}$ dapat ditentukan dengan rumus berikut
$\color{blue}{x}~$$=\frac{D_{x}}{D}$ dan $\color{blue}{y}~$$=\frac{D_{y}}{D}$, dengan $D \neq 0$
Untuk lebih jelasnya, berikut ini contoh soal mencari penyelesaian SPLDV dengan matriks.
Contoh soal 1
Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan metode invers matriks dan aturan Cramer.
$\begin{cases} x-2y & = -4 \\ 2x + y & = -3 \end{cases}$
Jawab:
$\bullet$ Dengan metode invers matriks
Dari sistem persamaan linear diatas dapat disusun dalam bentuk matriks sebagai berikut.
$\left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -4 \\ -3 \end{matrix} \right)$
Dengan menggunakan rumus dapat diperoleh sebagai berikut
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \color{blue}{x} \\ \color{blue}{y} \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{\color{red}{ad} - \color{red}{bc}} \begin{pmatrix} \color{red}{d} & \color{red}{-b}\\ \color{red}{-c} & \color{red}{a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{green}{p} \\ \color{green}{q} \end{pmatrix} \\ \\&= \dfrac{1}{1.1 - (-2).2} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix} \\ \\&= \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix} 1.(-4) + 2.(-3) \\ (-2)(-4)+1.(-3) \end{pmatrix}\\ \\&= \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix} -10 \\ 5 \end{pmatrix}\\ \\&= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh penyelesaian $x=-2$ dan $y=1$
$\bullet$ Dengan aturan Cramer
Bentuk persamaan matriks :
$\left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -4 \\ -3 \end{matrix} \right)$
Nilai $D$, $D_{x}$ dan $D_{y}$ adalah sebagai berikut.
$\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} 1&-2 \\ 2 &1 \end{vmatrix} \\ &= 1.1-(-2).2 \\ &= 1+4 \\ &=5 \end{aligned}$
$\begin{aligned} D_{x} &= \begin{vmatrix} -4&-2 \\ -3 &1 \end{vmatrix} \\ &= (-4).1-(-2).(-3) \\ &= -4-6 \\ &= -10 \end{aligned}$
$\begin{aligned} D_{y} &= \begin{vmatrix} 1&-4 \\ 2 &-3 \end{vmatrix} \\ &= 1.(-3)-(-4).2 \\ &= -3+8 \\ &= 5 \end{aligned}$
Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah
$x~$$=\frac{D_{x}}{D}= \frac{-10}{5}=-2 $
$y~$$=\frac{D_{y}}{D}= \frac{5}{5}=1 $
Demikianlah ulasan terkait cara menentukan penyelesaian SPLDV dengan matriks. Semoga bermanfaat.
Referensi:
E. S., Pesta dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 3: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XII SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 3: untuk kelas XII SMA/MA Program Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.