Cara Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan Matriks

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dapat disusun dalam bentuk matriks dan ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode invers matriks dan aturan Cramer (melalui determinan matriks). Berikut ini ulasan untuk langkah-langkah penyelesaiannya.

Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Invers Matriks

Misalkan diberikan sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut.

$\begin{cases} \color{red}{a} \color{blue}{x} + \color{red}{b} \color{blue}{y} &= \color{green}{p} \\ \color{red}{c} \color{blue}{x} + \color{red}{d} \color{blue}{y} &= \color{green}{q} \end{cases}$

Sistem persamaan linear tersebut dapat kita susun dalam bentuk persamaan matriks $AX=B$ seperti berikut.

$\left( \begin{matrix} \color{red}{a} & \color{red}{b} \\ \color{red}{c} & \color{red}{d} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \color{blue}{x} \\ \color{blue}{y} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \color{green}{p} \\ \color{green}{q} \end{matrix} \right)$

dengan

$A=\left( \begin{matrix} \color{red}{a} & \color{red}{b} \\ \color{red}{c} & \color{red}{d} \end{matrix} \right)$, $X=\left( \begin{matrix} \color{blue}{x} \\ \color{blue}{y} \end{matrix} \right)$, dan $B=\left( \begin{matrix} \color{green}{p} \\ \color{green}{q} \end{matrix} \right)$

Untuk menentukan nilai $\color{blue}{x}$ dan $\color{blue}{y}$ yang memenuhi persamaan matriks tersebut dapat digunakan bentuk penyelesaian dari persamaan matriks $AX=B$ yaitu $X=A^{-1}B$

Sehingga didapat rumus

Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan aturan Cramer

Dari bentuk persamaan matriks $\left( \begin{matrix} \color{red}{a} & \color{red}{b} \\ \color{red}{c} & \color{red}{d} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \color{blue}{x} \\ \color{blue}{y} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \color{green}{p} \\ \color{green}{q} \end{matrix} \right)$,

dengan

dapat juga ditentukan penyelesaiannya dengan aturan Cramer.

Untuk memperoleh penyelesaiannya, terlebih dahulu dicari determinannya sebagai berikut.

$D= \begin{vmatrix} \color{red}{a} & \color{red}{b} \\ \color{red}{c} & \color{red}{d} \end{vmatrix}$ adalah determinan koefisien variabel $\color{blue}{x}$ dan $\color{blue}{y}$, dengan elemen-elemen matriks $A$

$D_{x}= \begin{vmatrix} \color{green}{p} & \color{red}{b} \\ \color{green}{q} & \color{red}{d} \end{vmatrix}$ adalah determinan $D$, dengan elemen-elemen pada kolom pertama diganti elemen-elemen matriks $B$ yaitu $\color{green}{p}$ dan $\color{green}{q}$

$D_{y}= \begin{vmatrix} \color{red}{a} & \color{green}{p} \\ \color{red}{c} & \color{green}{q} \end{vmatrix}$ adalah determinan $D$, dengan elemen-elemen pada kolom kedua diganti elemen-elemen matriks $B$ yaitu $\color{green}{p}$ dan $\color{green}{q}$

Nilai $\color{blue}{x}$ dan $\color{blue}{y}$ dapat ditentukan dengan rumus berikut

$\color{blue}{x}~$$=\frac{D_{x}}{D}$ dan $\color{blue}{y}~$$=\frac{D_{y}}{D}$, dengan $D \neq 0$

Untuk lebih jelasnya, berikut ini contoh soal mencari penyelesaian SPLDV dengan matriks.

Contoh soal 1

Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan metode invers matriks dan aturan Cramer.

$\begin{cases} x-2y & = -4 \\ 2x + y & = -3 \end{cases}$

Jawab:

$\bullet$ Dengan metode invers matriks

Dari sistem persamaan linear diatas dapat disusun dalam bentuk matriks sebagai berikut.

$\left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -4 \\ -3 \end{matrix} \right)$

Dengan menggunakan rumus dapat diperoleh sebagai berikut

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \color{blue}{x} \\ \color{blue}{y} \end{pmatrix} &= \dfrac{1}{\color{red}{ad} - \color{red}{bc}} \begin{pmatrix} \color{red}{d} & \color{red}{-b}\\ \color{red}{-c} & \color{red}{a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \color{green}{p} \\ \color{green}{q} \end{pmatrix} \\ \\&= \dfrac{1}{1.1 - (-2).2} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \end{pmatrix} \\ \\&= \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix} 1.(-4) + 2.(-3) \\ (-2)(-4)+1.(-3) \end{pmatrix}\\ \\&= \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix} -10 \\ 5 \end{pmatrix}\\ \\&= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Jadi, diperoleh penyelesaian $x=-2$ dan $y=1$

$\bullet$ Dengan aturan Cramer

Bentuk persamaan matriks :

$\left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -4 \\ -3 \end{matrix} \right)$

Nilai $D$, $D_{x}$ dan $D_{y}$ adalah sebagai berikut.

$\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} 1&-2 \\ 2 &1 \end{vmatrix} \\ &= 1.1-(-2).2 \\ &= 1+4 \\ &=5 \end{aligned}$

$\begin{aligned} D_{x} &= \begin{vmatrix} -4&-2 \\ -3 &1 \end{vmatrix} \\ &= (-4).1-(-2).(-3) \\ &= -4-6 \\ &= -10 \end{aligned}$

$\begin{aligned} D_{y} &= \begin{vmatrix} 1&-4 \\ 2 &-3 \end{vmatrix} \\ &= 1.(-3)-(-4).2 \\ &= -3+8 \\ &= 5 \end{aligned}$

Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah

$x~$$=\frac{D_{x}}{D}= \frac{-10}{5}=-2 $

$y~$$=\frac{D_{y}}{D}= \frac{5}{5}=1 $

Demikianlah ulasan terkait cara menentukan penyelesaian SPLDV dengan matriks. Semoga bermanfaat.

Referensi:

E. S., Pesta dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 3: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XII SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 3: untuk kelas XII SMA/MA Program Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.