Cara Menentukan Penyelesaian SPLTV dengan Matriks

Sama seperti artikel Cara Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan Matriks, SPLTV yang disusun dalam bentuk matriks juga dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode invers matriks dan aturan Cramer (melalui determinan matriks). Berikut ini penjelasan untuk langkah-langkah penyelesaiannya.

Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Invers Matriks

Misalkan diberikan sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut.

$\begin{cases} \color{red}{a} \color{blue}{x} + \color{red}{b} \color{blue}{y} + \color{red}{c} \color{blue}{z} &= \color{green}{u} \\ \color{red}{d} \color{blue}{x} + \color{red}{e} \color{blue}{y} + \color{red}{f} \color{blue}{z} &= \color{green}{v} \\ \color{red}{g} \color{blue}{x} + \color{red}{h} \color{blue}{y} + \color{red}{i} \color{blue}{z} &= \color{green}{w} \end{cases}$

Sistem persamaan linear tersebut dapat kita susun dalam bentuk persamaan matriks $AX=B$ seperti berikut.

$\left( \begin{matrix} \color{red}{a} & \color{red}{b} & \color{red}{c} \\ \color{red}{d} & \color{red}{e} & \color{red}{f} \\ \color{red}{g} & \color{red}{h} & \color{red}{i} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \color{blue}{x} \\ \color{blue}{y} \\ \color{blue}{z} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \color{green}{u} \\ \color{green}{v} \\ \color{green}{w} \end{matrix} \right)$

dengan

$A=\left( \begin{matrix} \color{red}{a} & \color{red}{b} & \color{red}{c} \\ \color{red}{d} & \color{red}{e} & \color{red}{f} \\ \color{red}{g} & \color{red}{h} & \color{red}{i} \end{matrix} \right)$, $X=\left( \begin{matrix} \color{blue}{x} \\ \color{blue}{y} \\ \color{blue}{z} \end{matrix} \right)$, dan $B=\left( \begin{matrix} \color{green}{u} \\ \color{green}{v} \\ \color{green}{w} \end{matrix} \right)$

Sejalan dengan pembahasan pada penyelesaian SPLDV, untuk menentukan nilai $\color{blue}{x}$, $\color{blue}{y}$ dan $\color{blue}{z}$ yang memenuhi persamaan matriks tersebut dapat digunakan bentuk penyelesaian dari persamaan matriks $AX=B$ yaitu $X=A^{-1}B$

Dalam hal ini, dapat diperoleh rumus

Menyelesaikan SPLTV dengan aturan Cramer

Dengan analogi yang sama seperti cara menyelesaikan SPLDV dengan aturan Cramer. Dari bentuk persamaan matriks $\left( \begin{matrix} \color{red}{a} & \color{red}{b} & \color{red}{c} \\ \color{red}{d} & \color{red}{e} & \color{red}{f} \\ \color{red}{g} & \color{red}{h} & \color{red}{i} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \color{blue}{x} \\ \color{blue}{y} \\ \color{blue}{z} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \color{green}{u} \\ \color{green}{v} \\ \color{green}{w} \end{matrix} \right)$

dengan

$D= \begin{vmatrix} \color{red}{a} & \color{red}{b} & \color{red}{c} \\ \color{red}{d} & \color{red}{e} & \color{red}{f} \\ \color{red}{g} & \color{red}{h} & \color{red}{i} \end{vmatrix}$

$D_{x}= \begin{vmatrix} \color{green}{u} & \color{red}{b} & \color{red}{c} \\ \color{green}{v} & \color{red}{e} & \color{red}{f} \\ \color{green}{w} & \color{red}{h} & \color{red}{i} \end{vmatrix}$

$D_{y}=\begin{vmatrix} \color{red}{a} & \color{green}{u} & \color{red}{c} \\ \color{red}{d} & \color{green}{v} & \color{red}{f} \\ \color{red}{g} & \color{green}{w} & \color{red}{i} \end{vmatrix}$

$D_{z}=\begin{vmatrix} \color{red}{a} & \color{red}{b} & \color{green}{u} \\ \color{red}{d} & \color{red}{e} & \color{green}{v} \\ \color{red}{g} & \color{red}{h} & \color{green}{w} \end{vmatrix}$

Nilai $\color{blue}{x}$, $\color{blue}{y}$ dan $\color{blue}{z}$ dapat ditentukan dengan rumus berikut

$\color{blue}{x}~$$=\frac{D_{x}}{D}$, $\color{blue}{y}~$$=\frac{D_{y}}{D}$, dan $\color{blue}{z}~$$=\frac{D_{z}}{D}$ dengan $D \neq 0$

Berikut ini contoh soal mencari penyelesaian SPLTV dengan matriks.

Contoh soal 1

Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan metode invers matriks dan aturan Cramer.

$\begin{cases} x-2y+3z & = 10 \\ 2x + y-2z & = 11 \\ 2x+3y-z&= -1 \end{cases}$

Jawab:

$\bullet$ Dengan metode invers matriks

Dari sistem persamaan linear diatas dapat disusun dalam bentuk matriks sebagai berikut.

$\left( \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 10 \\ 11 \\ -1 \end{matrix} \right)$

Kita akan menggunakan rumus $\begin{aligned} X &= \dfrac{1}{det~A} \cdot adj~(A) \cdot B \end{aligned}$ untuk menentukan penyelesaian bentuk persamaan matriks tersebut.

mencari determinan $A$ (misalkan dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama)

$\begin{aligned} det~A &= 1\begin{vmatrix} 1 & -2\\ 3 & -1 \end{vmatrix}+2\begin{vmatrix} 2 & -2\\ 2 & -1 \end{vmatrix}+3\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 2 & 3 \end{vmatrix}\\ &=(-1-(-6))+2(-2-(-4))+3(6-2)\\ &=5+4+12\\ &=21 \end{aligned}$

mencari adjoint $A$

$kof~(A)= \begin{pmatrix}5 & -2 & 4\\7 & -7 & -7\\ 1 & 8 & 5\end{pmatrix} $

Sehingga

$adj~(A)=kof~(A)^{T}= \begin{pmatrix}5 & 7 & 1\\-2 & -7 & 8\\ 4 & -7 & 5\end{pmatrix} $

Dengan menggunakan rumus dapat diperoleh sebagai berikut.

$\begin{aligned} X~~ &= \dfrac{1}{det~A} \cdot adj~(A) \cdot B \\ \\ \left( \begin{matrix} \color{blue}{x} \\ \color{blue}{y} \\ \color{blue}{z} \end{matrix} \right) &= \dfrac{1}{det~A} \cdot adj~(A) \cdot \left( \begin{matrix} \color{green}{u} \\ \color{green}{v} \\ \color{green}{w} \end{matrix} \right) \\ \\&= \dfrac{1}{21} \cdot \begin{pmatrix}5 & 7 & 1\\-2 & -7 & 8\\ 4 & -7 & 5\end{pmatrix} \cdot \left( \begin{matrix} 10 \\ 11 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ \\&= \dfrac{1}{21} \left( \begin{matrix} 50+77-1 \\ -20-77-8 \\ 40-77-5 \end{matrix} \right) \\ \\&= \dfrac{1}{21} \left( \begin{matrix} 126 \\ -105 \\ -42 \end{matrix} \right) \\ \\&= \left( \begin{matrix} 6 \\ -5 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{aligned}$

Jadi, diperoleh penyelesaian $x=6$, $y=-5$ dan $z=-2$

$\bullet$ Dengan aturan Cramer

Bentuk persamaan matriks :

$\left( \begin{matrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 10 \\ 11 \\ -1 \end{matrix} \right)$

Nilai $D$, $D_{x}$, $D_{y}$ dan $D_{z}$ adalah sebagai berikut.

$\begin{aligned} |D| &= \begin{vmatrix}~1 & -2 & 3~\\ ~2 & 1 & -2~\\~2 & 3 & -1~ \end{vmatrix}\begin{matrix}~ \color{red}{1} & \color{red}{-2}\\ ~\color{red}{2} & \color{red}{1}\\~\color{red}{2} & \color{red}{3} \end{matrix}\\ \\&= -1+8+18-6-(-6)-4 \\&= 21 \end{aligned}$

$\begin{aligned} |D_{x}| &= \begin{vmatrix}~10 & -2 & 3~\\ ~11 & 1 & -2~\\~-1 & 3 & -1~ \end{vmatrix}\begin{matrix}~ \color{red}{10} & \color{red}{-2}\\ ~\color{red}{11} & \color{red}{1}\\~\color{red}{-1} & \color{red}{3} \end{matrix}\\ \\&= -10-4+99-(-3)-(-60)-22 \\&= 126 \end{aligned}$

$\begin{aligned} |D_{y}| &= \begin{vmatrix}~1 & 10 & 3~\\ ~2 & 11 & -2~\\~2 & -1 & -1~ \end{vmatrix}\begin{matrix}~ \color{red}{1} & \color{red}{10}\\ ~\color{red}{2} & \color{red}{11}\\~\color{red}{2} & \color{red}{-1} \end{matrix}\\ \\&= -11-40-6-66-2+20 \\&= -105 \end{aligned}$

$\begin{aligned} |D_{z}| &= \begin{vmatrix}~1 & -2 & 10~\\ ~2 & 1 & 11~\\~2 & 3 & -1~ \end{vmatrix}\begin{matrix}~ \color{red}{1} & \color{red}{-2}\\ ~\color{red}{2} & \color{red}{1}\\~\color{red}{2} & \color{red}{3} \end{matrix}\\ \\&= -1-44+60-20-33-4 \\&= -42 \end{aligned}$

Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah

$x~$$=\frac{D_{x}}{D}= \frac{126}{21}=6 $

$y~$$=\frac{D_{y}}{D}= \frac{-105}{21}=-5 $

$z~$$=\frac{D_{z}}{D}= \frac{-42}{21}=-2 $

Demikianlah ulasan terkait cara menyelesaikan SPLTV dengan matriks. Semoga bermanfaat.

Referensi:

E. S., Pesta dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 3: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XII SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 3: untuk kelas XII SMA/MA Program Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.