Contoh Soal Integral Fungsi Aljabar beserta Pembahasannya (Part 1)

Pengertian Integral Sebagai Antiturunan (antidiferensial)

Jika $F(x)$ adalah fungsi umum yang bersifat $F'(x)=f(x)$, maka $F(x)$ merupakan antiturunan atau integral dari $f(x)$

Notasi Integral Tak Tentu

$\int f(x)~ dx = F(x) + c$

dengan:

$\int f(x) ~dx$ = notasi dari integral tak tentu

$F(x) + c$ = fungsi antiturunan

$f(x)$ = fungsi integran (fungsi yang dicari antiturunan-nya)

$c$ = konstanta

Rumus Integral Tak Tentu

Berikut ini adalah beberapa rumus integral tak tentu:

$1)~\displaystyle \int x^{n} ~dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + c$, untuk $n \neq 1$

$2)~\displaystyle \int ax^{n} ~dx = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + c$, untuk $n \neq 1$

$3)~\displaystyle \int k~f(x)~ dx = k \int f(x)~ dx$, $k=$ konstanta

$4)~\displaystyle \int (f(x) \pm g(x)) ~dx = \int f(x)~ dx \pm \int g(x) ~dx$

Menentukan Hasil Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Contoh Soal 1

Tentukan hasil dari $\displaystyle \int \sqrt{x} \left (10 x - 3 \right )~dx$

Jawab:

$\begin{align} \displaystyle \int \sqrt{x} \left (10 x - 3 \right )~dx &= \int  \left (10 x \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} \right ) ~dx \\ &= \int  \left (10 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} \right )~dx \\ &= \int 10 x^{\frac{3}{2}} dx - \int 3 x^{\frac{1}{2}} dx \\ &= 4 x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{3}{2}} + c   \end{align}$

Contoh Soal 2

Tentukan hasil dari $\displaystyle \int \left ( 5x^{4} + \pi x \right )~dx$

Jawab:

$\begin{align} \displaystyle \int \left ( 5x^{4} + \pi x \right )~dx &=  \int  5x^{4} dx + \int \pi x~ dx \\ &= \frac{5}{5} x^{5} +  \frac{\pi}{2} x^{2} + c \\ &= x^{5} + \frac{\pi}{2} x^{2} + c \end{align}$

Contoh Soal 3

Tentukan hasil dari $\displaystyle \int \frac{\left ( x + 6\right )^{2}}{\sqrt{x}}~dx$

Jawab:

$\begin{align} \displaystyle \int \frac{\left ( x + 6\right )^{2}}{\sqrt{x}}~dx &= \int x^{-\frac{1}{2}} \left ( x^{2} + 12  x + 36\right )~dx \\ &= \int x^{\frac{3}{2}} dx + \int 12 x^{\frac{1}{2}} +  \int 36 x^{-\frac{1}{2}} ~dx \\ &= \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 8 x^{\frac{3}{2}} + 72 x^{\frac{1}{2}} + c \end{align}$

Menentukan Persamaan Kurva

Contoh Soal 4

Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik $\left(3,2\right )$ dan memiliki persamaan gradien garis singgung $\frac{dy}{dx}= \left ( 2x - 2 \right )$.

Jawab:

$\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \left ( 2x - 2 \right ) \\ y &= \displaystyle \int \left ( 2x - 2 \right ) dx \\  & = x^{2} -2x + c  \end{align}$

Karena kurva melalui titik $\left(3,2\right )$, maka:

$\begin{align} f\left(3\right ) & =  (3)^{2}-2(3) + c \\ 2 &= 9-6+c \\ c &= -1  \end{align}$

Jadi, persamaan kurva tersebut adalah $f\left(x\right ) = x^{2} -2x-1$

Contoh Soal 5

Jika $g'\left(x\right ) = 2x - 3$ dan $g\left(5\right ) = 12$, tentukanlah $g\left(x\right )$.

Jawab:

$\begin{align} g\left(x\right ) &= \int g'\left(x\right ) dx \\  &= \int \left ( 2x - 3 \right ) dx \\ &= x^{2} - 3x + c \end{align}$

Karena $g\left(5\right ) = 12$, maka $c$ dapat ditentukan sebagai berikut.

$ \begin{align} g\left(x\right ) &= x^{2} - 3x + c \\ g\left(5\right ) &= \left (5 \right )^{2} - 3\left (5 \right ) + c \\  12 &= 25 - 15 + c \\ c &= 12 - 10 \\ c &= 2 \end{align}$

Jadi, $g\left(x\right ) = x^{2} - 3x + 2 $

Integral Subtitusi

Contoh Soal 6

Tentukan hasil dari $ \displaystyle 6\int  \left(2 - 3x\right )^{5} dx$

Jawab:

Misalkan $u = 2 - 3x$, maka $du = -3 dx \Leftrightarrow dx = \frac{du}{-3}$

Sehingga,

$ \begin{align} 6 \int  \left(2 - 3x\right )^{5} dx &= 6 \int  u^{5} \frac{du}{-3} \\ &= -2 \int  u^{5} du \\ &= -2. \frac{1}{6} u^{6} + c \\ &= - \frac{1}{3} u^{6} + c \\ &= - \frac{1}{3} \left(2 - 3x\right )^{6} + c   \end{align}$

Atau bisa juga dikerjakan dengan cara langsung (dengan memodifikasi soal), seperti berikut ini.

$\begin{align} 6 \int  \left(2 - 3x\right )^{5} dx &= -2 \int  \left(2 - 3x\right )^{5} d\left(2 - 3x\right ) \\ &= - 2. \frac{1}{6} \left(2 - 3x\right )^{6} + c \\ &=  - \frac{1}{3} \left(2 - 3x\right )^{6} + c \end{align} $

                                 

Contoh Soal 7

Tentukan hasil dari $\displaystyle \int \frac{2 dx}{\sqrt[3]{\left ( 6 - x \right )^{2}}}$

Jawab:

$ \begin{align} \int \frac{2 dx}{\sqrt[3]{\left ( 6 - x \right )^{2}}} &= \int \frac{2 dx}{\left ( 6 - x \right )^{\frac{2}{3}}}    \end{align}$

Misalkan $u = 6 - x$, maka $du = - dx \Leftrightarrow dx = - du$

Sehingga, 

$ \begin{align} \int \frac{2 dx}{\left ( 6 - x \right )^{\frac{2}{3}}} &= \int \frac{-2 du}{\left ( u \right )^{\frac{2}{3}}} \\ &= -2\int u^{-{\frac{2}{3}}} du \\ &= -2.3 u^{\frac{1}{3}} + c \\ &= -6 u^{\frac{1}{3}} + c \\ &= -6 \left ( 6 - x \right )^{\frac{1}{3}} + c \\ &=  -6 \sqrt[3]{\left ( 6 - x \right )^{}} + c   \end{align}$

Contoh Soal 8

Tentukan hasil dari $\displaystyle \int \frac{\left ( 4x^{3} -  6x^{2}\right )dx}{(x^{4}- 2x^{3} + 5)^{2}}$

Jawab:

Misalkan $u=x^{4}- 2x^{3} + 5 $, maka 

$du = \left ( 4x^{3} -  6x^{2}\right ) dx \Leftrightarrow dx = \frac{du}{\left ( 4x^{3} -  6x^{2}\right )}$

Sehingga, 

$\begin{align} \displaystyle \int \frac{\left ( 4x^{3} -  6x^{2}\right )dx}{(x^{4}- 2x^{3} + 5)^{2}} &= \int \frac{\left ( 4x^{3} -  6x^{2}\right )}{u^{2}}.  \frac{du}{\left ( 4x^{3} -  6x^{2}\right )} \\ &= \int \frac{1}{u^{2}} du \\ &=  \int u^{-2} du \\ &= -\frac{1}{u} + c \\ &= -\frac{1}{x^{4}- 2x^{3} + 5} + c  \end{align}$

Integral Parsial

Contoh Soal 9

Tentukan hasil dari $\displaystyle \int x \sqrt{x - 2} ~dx$

Jawab:

Rumus Integral Parsial: $\displaystyle \int u ~dv = uv - \int v~du$ 

Misalkan $u= x$, maka  $du = dx$

$dv=\sqrt{x - 2}~ dx$ sehingga, 

$\begin{align} \displaystyle \int dv &= \int \sqrt{x - 2} ~dx \\ \int dv &= \int \sqrt{x - 2} ~d\left ( x - 2\right ) \\ v &= \int \left ( x - 2 \right )^{\frac{1}{2}}~ d\left ( x - 2\right ) \\ v &= \frac{2}{3} \left(x - 2\right )^{\frac{3}{2}}  \end{align}$

$\displaystyle \int u ~dv = uv - \int v~du$  

$\begin{align} \displaystyle \int x \sqrt{x - 2} dx &= \frac{2}{3} x \left(x - 2\right )^{\frac{3}{2}} - \int \frac{2}{3} \left(x - 2\right )^{\frac{3}{2}} dx \\ &= \frac{2}{3} x \left(x - 2\right )^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}\int \left(x - 2\right )^{\frac{3}{2}} d\left(x - 2\right ) \\ &= \frac{2}{3} x \left(x - 2\right )^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} \left(x - 2\right )^{\frac{5}{2}} + c   \end{align}$

Contoh Soal 10

Tentukan hasil dari $\displaystyle \int x (x+2)^{3} ~dx$

Jawab:

Misalkan $u= x$, maka  $du = dx$

$dv=(x+2)^{3} ~ dx$ sehingga, 

$\begin{align} \displaystyle \int dv &= (x+2)^{2} ~dx \\  \int dv &= \int  (x+2)^{2} ~d(x+2)  \\ v &= \frac{1}{3} \left(x + 2\right )^{3} \end{align}$

$\displaystyle \int u ~dv = uv - \int v~du$

$\begin{align} \displaystyle  \int x (x+2)^{3} ~dx &= x. \frac{1}{3} \left(x + 2\right )^{3} - \int \frac{1}{3} \left(x + 2\right )^{3} dx  \\  &=  \frac{1}{3} x \left(x + 2\right )^{3} - \int \frac{1}{3} \left(x + 2\right )^{3} d(x+2) \\ &= \frac{1}{3} x \left(x + 2\right )^{3} - \frac{1}{3}. \frac{1}{4} \left(x + 2\right )^{4} + c \\ &= \frac{1}{3} x \left(x + 2\right )^{3} - \frac{1}{12} \left(x + 2\right )^{4} + c \\ &=  \frac{4}{12} x \left(x + 2\right )^{3} - \frac{1}{12} \left(x + 2\right )^{3}(x+2) + c \\ &= \frac{1}{12} \left(x + 2\right )^{3} (4x - (x+2)) + c \\ &=  \frac{1}{12} \left(x + 2\right )^{3} (3x -2) + c  \end{align}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi integral fungsi aljabar. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

E. S., Pesta  dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. 

Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 3: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XII SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.