Operasi Hitung Bilangan Bulat
Selamat datang kembali di blog pembelajaran matematika. Pada halaman ini kita akan membahas Operasi Hitung Bilangan Bulat yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, beserta operasi campuran. Berikut ini rangkuman materinya.
Operasi Hitung Bilangan Bulat
Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat
Penjumlahan Bilangan Bulat
Untuk menentukan hasil penjumlahan bilangan bulat dapat digunakan garis bilangan.
Penjumlahan Bilangan Bulat
Untuk menentukan hasil penjumlahan bilangan bulat dapat digunakan garis bilangan.
Menjumlahkan Dua Bilangan yang Tandanya Sama
Tentukan hasil penjumlahan bilangan-bilangan berikut dengan menggunakan garis bilangan:
a) 5 + 3
b) (-5) + (-3)
b) (-5) + (-3)
Jawab :
a) Langkah untuk menentukan hasil penjumlahan 5+3 dengan menggunakan garis bilangan adalah sebagai berikut.
Dari titik 0 bergerak 5 satuan ke kanan, kemudian dilanjutkan 3 satuan lagi ke kanan, sehingga diperoleh titik akhir, yaitu 8 yang merupakan hasil dari 5+3.
Jadi, 5 + 3 = 8.
a) Langkah untuk menentukan hasil penjumlahan 5+3 dengan menggunakan garis bilangan adalah sebagai berikut.
Dari titik 0 bergerak 5 satuan ke kanan, kemudian dilanjutkan 3 satuan lagi ke kanan, sehingga diperoleh titik akhir, yaitu 8 yang merupakan hasil dari 5+3.
b) Langkah untuk menentukan hasil penjumlahan (-5)+(-3) dengan menggunakan garis bilangan adalah sebagai berikut.
Dari titik 0 bergerak 5 satuan ke kiri, kemudian dilanjutkan 3 satuan lagi ke kiri, sehingga diperoleh titik akhir, yaitu -8 yang merupakan hasil dari (-5)+(-3).
Dari titik 0 bergerak 5 satuan ke kiri, kemudian dilanjutkan 3 satuan lagi ke kiri, sehingga diperoleh titik akhir, yaitu -8 yang merupakan hasil dari (-5)+(-3).
Jadi, (-5) + (-3) = -8.
Menjumlahkan Dua Bilangan yang Berbeda Tanda
Tentukan hasil penjumlahan bilangan-bilangan berikut dengan menggunakan garis bilangan:
a) 5 + (-3)
b) (-5) + 3
b) (-5) + 3
Jawab :
a) Langkah untuk menentukan hasil penjumlahan 5+(-3) dengan menggunakan garis bilangan adalah sebagai berikut.
Dari titik 0 bergerak 5 satuan ke kanan, kemudian dilanjutkan 3 satuan ke kiri, sehingga diperoleh titik akhir, yaitu 2 yang merupakan hasil dari 5+(-3).
a) Langkah untuk menentukan hasil penjumlahan 5+(-3) dengan menggunakan garis bilangan adalah sebagai berikut.
Dari titik 0 bergerak 5 satuan ke kanan, kemudian dilanjutkan 3 satuan ke kiri, sehingga diperoleh titik akhir, yaitu 2 yang merupakan hasil dari 5+(-3).
Jadi, 5 + (-3) = 2.
b) Langkah untuk menentukan hasil penjumlahan (-5)+3 dengan menggunakan garis bilangan adalah sebagai berikut.
Dari titik 0 bergerak 5 satuan ke kiri, kemudian dilanjutkan 3 satuan ke kanan, sehingga diperoleh titik akhir, yaitu -2 yang merupakan hasil dari (-5)+3.
Dari titik 0 bergerak 5 satuan ke kiri, kemudian dilanjutkan 3 satuan ke kanan, sehingga diperoleh titik akhir, yaitu -2 yang merupakan hasil dari (-5)+3.
Jadi, (-5) + 3 = -2.
Penjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilangan yang bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan. Oleh karena itu, kita harus dapat menjumlahkan bilangan bulat tanpa alat bantu.
Kedua bilangan bertanda sama
Jika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilangan positif atau keduanya bilangan negatif), jumlahkan kedua bilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan.
Jika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilangan positif atau keduanya bilangan negatif), jumlahkan kedua bilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan.
Contoh.
Tentukan hasil penjumlahan bilangan-bilangan berikut:
a) 9 + 3
b) -18 + (-4)
a) 9 + 3
b) -18 + (-4)
Jawab :
a) 9 + 3 = 12
b) -18 + (-4) = -18 - 4 = -22
a) 9 + 3 = 12
b) -18 + (-4) = -18 - 4 = -22
Kedua bilangan berlawanan tanda
Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangkan nilai mutlak bilangan yang lebih besar dengan yang lebih kecil. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang memiliki nilai mutlak lebih besar (lihat nilainya, bukan tandanya).
Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangkan nilai mutlak bilangan yang lebih besar dengan yang lebih kecil. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang memiliki nilai mutlak lebih besar (lihat nilainya, bukan tandanya).
Contoh.
Tentukan hasil penjumlahan bilangan-bilangan berikut:
a) -12 + 27
b) 6 + (-10)
a) -12 + 27
b) 6 + (-10)
Jawab :
a) -12 + 27 = 15
b) 6 + (-10) = 6 - 10 = -4
a) -12 + 27 = 15
b) 6 + (-10) = 6 - 10 = -4
Catatan :
Jika ada tanda berhimpit, harus diubah dulu :
Jika tanda positif bertemu negatif, ubah dahulu menjadi negatif
Jika ada tanda berhimpit, harus diubah dulu :
Jika tanda positif bertemu negatif, ubah dahulu menjadi negatif
Sifat-sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Sifat Tertutup
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika a + b = c, maka c juga bilangan bulat.
Contoh : 2 + 8 = 10
-12 + 25 = 13
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika a + b = c, maka c juga bilangan bulat.
Contoh : 2 + 8 = 10
-12 + 25 = 13
Sifat Komutatif (Pertukaran)
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = b + a.
Contoh : 3 + 5 = 5 + 3 = 8
10 + (-5) = (-5) + 10 = 5
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = b + a.
Contoh : 3 + 5 = 5 + 3 = 8
10 + (-5) = (-5) + 10 = 5
Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
Untuk setiap bilangan bulat a, b dan c, berlaku (a + b) + c = a + (b + c).
Contoh : (-5 + 7) + 8 = -5 + (7 + 8) = 10
(7 + (-2)) + 6 = 7 + ((-2) + 6) = 11
Untuk setiap bilangan bulat a, b dan c, berlaku (a + b) + c = a + (b + c).
Contoh : (-5 + 7) + 8 = -5 + (7 + 8) = 10
(7 + (-2)) + 6 = 7 + ((-2) + 6) = 11
Mempunyai unsur identitas
Untuk setiap bilangan bulat a berlaku a + 0 = 0 + a = a.
Contoh : 2 + 0 = 0 + 2 = 2
-10 + 0 = 0 + (-10) = -10
Untuk setiap bilangan bulat a berlaku a + 0 = 0 + a = a.
Contoh : 2 + 0 = 0 + 2 = 2
-10 + 0 = 0 + (-10) = -10
Mempunyai unsur invers
Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas (0). Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nol pasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku a + (-a) = (-a) + a = 0.
Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas (0). Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nol pasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku a + (-a) = (-a) + a = 0.
Pengurangan Bilangan Bulat
Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan suatu bilangan sama artinya dengan menambahkan lawan dari bilangan tersebut. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan konsep penjumlahan untuk menyelesaikan operasi pengurangan pada bilangan bulat.
Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan suatu bilangan sama artinya dengan menambahkan lawan dari bilangan tersebut. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan konsep penjumlahan untuk menyelesaikan operasi pengurangan pada bilangan bulat.
Contoh.
Tentukan hasil pengurangan bilangan-bilangan berikut:
a) 6 - 9
b) 6 - (-9)
c) -4 - 10
d) -4 - (-10)
a) 6 - 9
b) 6 - (-9)
c) -4 - 10
d) -4 - (-10)
Jawab :
a) 6 - 9 = -3
b) 6 - (-9) = 6 + 9 = 15
c) -4 - 10 = -14
d) -4 - (-10) = -4 + 10 = 6
a) 6 - 9 = -3
b) 6 - (-9) = 6 + 9 = 15
c) -4 - 10 = -14
d) -4 - (-10) = -4 + 10 = 6
Catatan :
Jika ada tanda berhimpit, harus diubah dulu :
Jika tanda negatif bertemu negatif, ubah dahulu menjadi positif
Jika ada tanda berhimpit, harus diubah dulu :
Jika tanda negatif bertemu negatif, ubah dahulu menjadi positif
Operasi Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat
Perkalian Bilangan Bulat
Untuk menentukan hasil perkalian bilangan bulat dapat digunakan garis bilangan.
Perkalian Bilangan Bulat
Untuk menentukan hasil perkalian bilangan bulat dapat digunakan garis bilangan.
Mengalikan Dua Bilangan yang Tandanya Sama
Tentukan hasil perkalian bilangan-bilangan berikut dengan menggunakan garis bilangan:
a) 4 × 3
b) (-4) × (-3)
b) (-4) × (-3)
Jawab :
a) Langkah untuk menentukan hasil perkalian 4 × 3 dengan menggunakan garis bilangan adalah sebagai berikut.
Dimulai dari bilangan kedua yaitu 3. Karena 3 merupakan bilangan positif, maka gambarkan panah dari 0 ke arah 3. Ketika dikalikan dengan 4 artinya ditarik searah sehingga panjangnya menjadi 4 kalinya yaitu jatuh ke angka 12. Jadi, 4 × 3 = 12.
a) Langkah untuk menentukan hasil perkalian 4 × 3 dengan menggunakan garis bilangan adalah sebagai berikut.
Dimulai dari bilangan kedua yaitu 3. Karena 3 merupakan bilangan positif, maka gambarkan panah dari 0 ke arah 3. Ketika dikalikan dengan 4 artinya ditarik searah sehingga panjangnya menjadi 4 kalinya yaitu jatuh ke angka 12. Jadi, 4 × 3 = 12.
b) Langkah untuk menentukan hasil perkalian (-4) × (-3) dengan menggunakan garis bilangan adalah sebagai berikut.
Dimulai dari bilangan kedua yaitu -3. Karena -3 merupakan bilangan negatif, maka gambarkan panah dari 0 ke arah -3. Ketika dikalikan dengan -4 artinya ditarik berlawanan arah sehingga panjangnya menjadi 4 kalinya yaitu jatuh ke angka 12. Jadi, (-4) × (-3) = 12. 
Mengalikan Dua Bilangan yang Berbeda Tanda
Tentukan hasil perkalian bilangan-bilangan berikut dengan menggunakan garis bilangan:
a) 2 × (-5)
b) (-5) × 2
b) (-5) × 2
Jawab :
a) Langkah untuk menentukan hasil perkalian 2 × (-5) dengan menggunakan garis bilangan adalah sebagai berikut.
Dimulai dari bilangan kedua yaitu -5. Karena -5 merupakan bilangan negatif, maka gambarkan panah dari 0 ke arah -5. Ketika dikalikan dengan 2 artinya ditarik searah sehingga panjangnya menjadi 2 kalinya yaitu jatuh ke angka -10. Jadi, 2 × (-5) = -10.
a) Langkah untuk menentukan hasil perkalian 2 × (-5) dengan menggunakan garis bilangan adalah sebagai berikut.
Dimulai dari bilangan kedua yaitu -5. Karena -5 merupakan bilangan negatif, maka gambarkan panah dari 0 ke arah -5. Ketika dikalikan dengan 2 artinya ditarik searah sehingga panjangnya menjadi 2 kalinya yaitu jatuh ke angka -10. Jadi, 2 × (-5) = -10.
b) Langkah untuk menentukan hasil perkalian (-5) × 2 dengan menggunakan garis bilangan adalah sebagai berikut.
Dimulai dari bilangan kedua yaitu 2. Karena 2 merupakan bilangan positif, maka gambarkan panah dari 0 ke arah 2. Ketika dikalikan dengan -5 artinya ditarik berlawanan arah sehingga panjangnya menjadi 5 kalinya yaitu jatuh ke angka -10. Jadi, (-5) × 2 = -10.
Dimulai dari bilangan kedua yaitu 2. Karena 2 merupakan bilangan positif, maka gambarkan panah dari 0 ke arah 2. Ketika dikalikan dengan -5 artinya ditarik berlawanan arah sehingga panjangnya menjadi 5 kalinya yaitu jatuh ke angka -10. Jadi, (-5) × 2 = -10.
Jika tanpa garis bilangan, perkalian bilangan bulat dapat ditentukan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan bulat a dan b berlaku :
Dari aturan tersebut, kita memperoleh :
a × b = a × b
a × (-b) = -(a × b)
(-a) × b = -(a × b)
(-a) × (-b) = (a × b)
a × (-b) = -(a × b)
(-a) × b = -(a × b)
(-a) × (-b) = (a × b)
(+) × (+) = (+)
(+) × (-) = (-)
(-) × (+) = (-)
(-) × (-) = (+)
(+) × (-) = (-)
(-) × (+) = (-)
(-) × (-) = (+)
Contoh.
Tentukan hasil perkalian bilangan-bilangan berikut:
a) 2 × 3
b) 9 × (-3)
c) (-4) × 5
d) (-6) × (-2)
a) 2 × 3
b) 9 × (-3)
c) (-4) × 5
d) (-6) × (-2)
Jawab :
a) 2 × 3 = 6
b) 9 × (-3) = -27
c) (-4) × 5 = -20
d) (-6) × (-2) = 12
a) 2 × 3 = 6
b) 9 × (-3) = -27
c) (-4) × 5 = -20
d) (-6) × (-2) = 12
Sifat-sifat Perkalian Bilangan Bulat
Sifat Tertutup
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika a × b = c, maka c juga bilangan bulat.
Contoh : 2 × 5 = 10
-5 × 7 = -35
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika a × b = c, maka c juga bilangan bulat.
Contoh : 2 × 5 = 10
-5 × 7 = -35
Sifat Komutatif (Pertukaran)
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a × b = b × a.
Contoh : 3 × 5 = 5 × 3 = 15
10 × (-5) = (-5) × 10 = -50
Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a × b = b × a.
Contoh : 3 × 5 = 5 × 3 = 15
10 × (-5) = (-5) × 10 = -50
Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
Untuk setiap bilangan bulat a, b dan c, berlaku (a × b) × c = a × (b × c).
Contoh : (-2 × 4) × 6 = -2 × (4 × 6) = -48
(3 × (-2)) × 4 = 3 × ((-2) × 4) = -24
Untuk setiap bilangan bulat a, b dan c, berlaku (a × b) × c = a × (b × c).
Contoh : (-2 × 4) × 6 = -2 × (4 × 6) = -48
(3 × (-2)) × 4 = 3 × ((-2) × 4) = -24
Sifat Distributif (Penyebaran)
Untuk setiap bilangan bulat a, b dan c, berlaku :
Untuk setiap bilangan bulat a, b dan c, berlaku :
Distributif perkalian terhadap penjumlahan: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Contoh: 2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4) = 14.
Distributif perkalian terhadap pengurangan: a × (b - c) = (a × b) - (a × c). Contoh: 4 × (8 - 6) = (4 × 8) - (4 × 6) = 8.
Distributif perkalian terhadap pengurangan: a × (b - c) = (a × b) - (a × c). Contoh: 4 × (8 - 6) = (4 × 8) - (4 × 6) = 8.
Mempunyai unsur identitas
Untuk setiap bilangan bulat a berlaku a × 1 = 1 × a = a.
Contoh : 2 × 1 = 1 × 2 = 2
-10 × 1 = 1 × (-10) = -10
Untuk setiap bilangan bulat a berlaku a × 1 = 1 × a = a.
Contoh : 2 × 1 = 1 × 2 = 2
-10 × 1 = 1 × (-10) = -10
Pembagian Bilangan Bulat
Secara umum, jika a, b dan c adalah bilangan bulat, berlaku:
Secara umum, jika a, b dan c adalah bilangan bulat, berlaku:
Jika a × b = c maka a = c ÷ b, dengan b ≠ 0.
Jika a × b = c maka b = c ÷ a, dengan a ≠ 0.
Jika a × b = c maka b = c ÷ a, dengan a ≠ 0.
Pembagian bilangan bulat dapat ditentukan sebagai berikut. Untuk setiap bilangan bulat a dan b berlaku :
Dari aturan tersebut, kita memperoleh :
a ∶ b = a ∶ b
a ∶ (-b) = - (a ∶ b)
(-a) ∶ b = - (a ∶ b)
(-a) ∶ (-b) = a ∶ b
a ∶ (-b) = - (a ∶ b)
(-a) ∶ b = - (a ∶ b)
(-a) ∶ (-b) = a ∶ b
(+) ∶ (+) = (+)
(+) ∶ (-) = (-)
(-) ∶ (+) = (-)
(-) ∶ (-) = (+)
(+) ∶ (-) = (-)
(-) ∶ (+) = (-)
(-) ∶ (-) = (+)
Contoh.
Tentukan hasil pembagian bilangan-bilangan berikut:
a) 14 ∶ 7
b) 8 ∶ (-2)
c) (-21) ∶ 3
d) (-18) ∶ (-3)
a) 14 ∶ 7
b) 8 ∶ (-2)
c) (-21) ∶ 3
d) (-18) ∶ (-3)
Jawab :
a) 14 ∶ 7 = 2
b) 8 ∶ (-2) = -4
c) (-21) ∶ 3 = -7
d) (-18) ∶ (-3) = 6
a) 14 ∶ 7 = 2
b) 8 ∶ (-2) = -4
c) (-21) ∶ 3 = -7
d) (-18) ∶ (-3) = 6
Operasi Hitung Campuran
Dalam menyelesaikan operasi campuran yang melibatkan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, tanda kurung, dan eksponen/pangkat, perhatikan urutan pengerjaan berikut:
Dalam menyelesaikan operasi campuran yang melibatkan penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, tanda kurung, dan eksponen/pangkat, perhatikan urutan pengerjaan berikut:
1. Jika terdapat tanda kurung ( ), kerjakan terlebih dahulu operasi yang ada di dalam kurung tersebut.
2. Jika terdapat eksponen/pangkat, selesaikan eksponen/pangkat setelah tanda kurung.
3. Selanjutnya, kerjakan perkalian dan pembagian dari kiri ke kanan sesuai urutan yang muncul dalam soal.
4. Terakhir, selesaikan penjumlahan dan pengurangan dari kiri ke kanan sesuai urutan.
2. Jika terdapat eksponen/pangkat, selesaikan eksponen/pangkat setelah tanda kurung.
3. Selanjutnya, kerjakan perkalian dan pembagian dari kiri ke kanan sesuai urutan yang muncul dalam soal.
4. Terakhir, selesaikan penjumlahan dan pengurangan dari kiri ke kanan sesuai urutan.
Contoh.
Hitunglah hasil operasi hitung campuran berikut ini:
a) 14 – 10 × (-3)
b) (-6) × (-5) – (-18) ∶ 6
c) 21 ∶ (-2 – 5)
d) {6 – (-3)} × 8
e) 6 - (-4)2
f) (-6)2 + (-7)2
a) 14 – 10 × (-3)
b) (-6) × (-5) – (-18) ∶ 6
c) 21 ∶ (-2 – 5)
d) {6 – (-3)} × 8
e) 6 - (-4)2
f) (-6)2 + (-7)2
Jawab :
a) 14 – 10 × (-3) = 14 + 30 = 44
b) (-6) × (-5) – (-18) ∶ 6 = 30 - (-3) = 33
c) 21 ∶ (-2 – 5) = 21 : (-7) = -3
d) {6 – (-3)} × 8 = 9 × 8 = 72
e) 6 - (-4)2 = 6 - 16 = -10
f) (-6)2 + (-7)2 = 36 + 49 = 85
a) 14 – 10 × (-3) = 14 + 30 = 44
b) (-6) × (-5) – (-18) ∶ 6 = 30 - (-3) = 33
c) 21 ∶ (-2 – 5) = 21 : (-7) = -3
d) {6 – (-3)} × 8 = 9 × 8 = 72
e) 6 - (-4)2 = 6 - 16 = -10
f) (-6)2 + (-7)2 = 36 + 49 = 85
Demikian pembahasan mengenai Operasi Hitung Bilangan Bulat. Praktikkan soal-soal serupa untuk memperkuat pemahaman—pemahaman operasi dasar bilangan bulat akan sangat membantu saat mempelajari aljabar dan materi lanjutan. Semoga rangkuman ini bermanfaat dan membantu proses belajar sobat semua.
