Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PTLSV)
.png)
Pada postingan kali ini, kita akan mempelajari materi mengenai Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PTLSV). Berikut rangkuman materinya. Selamat belajar dan semoga bermanfaat.
Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel
Persamaan Linear Satu Variabel adalah persamaan berbentuk kalimat terbuka yang memuat tanda sama dengan (=) dan hanya mengandung satu variabel berpangkat satu.
Disebut “linear” karena variabel dalam persamaan memiliki pangkat (derajat) satu, dan disebut “satu variabel” karena hanya terdapat satu peubah atau variabel dalam persamaan tersebut.
Karena merupakan kalimat terbuka, nilai kebenaran dari suatu persamaan bergantung pada nilai variabelnya. Jika suatu nilai variabel dapat menjadikan persamaan bernilai benar, maka nilai tersebut disebut penyelesaian dari persamaan. Kumpulan dari semua penyelesaian suatu persamaan disebut himpunan penyelesaian.
Misalnya, untuk persamaan x + 1 = 5, kita dapat menentukan bahwa x = 4 adalah satu-satunya nilai yang membuat persamaan tersebut benar, sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {4}.
Persamaan Linear Satu Variabel adalah persamaan berbentuk kalimat terbuka yang memuat tanda sama dengan (=) dan hanya mengandung satu variabel berpangkat satu.
Disebut “linear” karena variabel dalam persamaan memiliki pangkat (derajat) satu, dan disebut “satu variabel” karena hanya terdapat satu peubah atau variabel dalam persamaan tersebut.
Karena merupakan kalimat terbuka, nilai kebenaran dari suatu persamaan bergantung pada nilai variabelnya. Jika suatu nilai variabel dapat menjadikan persamaan bernilai benar, maka nilai tersebut disebut penyelesaian dari persamaan. Kumpulan dari semua penyelesaian suatu persamaan disebut himpunan penyelesaian.
Misalnya, untuk persamaan x + 1 = 5, kita dapat menentukan bahwa x = 4 adalah satu-satunya nilai yang membuat persamaan tersebut benar, sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {4}.
Bentuk Umum Persamaan Linear Satu Variabel
ax + b = 0
dengan a ≠ 0, x adalah variabel, serta a dan b adalah bilangan real.
ax + b = 0
dengan a ≠ 0, x adalah variabel, serta a dan b adalah bilangan real.
Contoh Soal
Amatilah bentuk-bentuk kalimat matematika berikut, tentukan mana yang merupakan persamaan linear satu variabel dan berikan alasannya
1) 2x - 3 = 5
2) x2 - x = 2
3) 2x + 3y = 6
4) (1/3)x = 5
5) -3y - 3 = 4y + 8
6) x + 10y = 110
7) 6 + c > 10
8) 13 - 2m < 9m
Amatilah bentuk-bentuk kalimat matematika berikut, tentukan mana yang merupakan persamaan linear satu variabel dan berikan alasannya
1) 2x - 3 = 5
2) x2 - x = 2
3) 2x + 3y = 6
4) (1/3)x = 5
5) -3y - 3 = 4y + 8
6) x + 10y = 110
7) 6 + c > 10
8) 13 - 2m < 9m
Jawab :
1) Ya, karena hanya mengandung satu variabel berpangkat satu
2) Bukan, karena terdapat variabel berpangkat dua
3) Bukan, karena memuat dua variabel
4) Ya, karena tetap linear dan hanya satu variabel
5) Ya, karena meskipun ada dua suku variabel, masih satu jenis variabel yaitu y
6) Bukan, karena memuat dua variabel
7) Bukan, karena merupakan pertidaksamaan
8) Bukan, karena merupakan pertidaksamaan
1) Ya, karena hanya mengandung satu variabel berpangkat satu
2) Bukan, karena terdapat variabel berpangkat dua
3) Bukan, karena memuat dua variabel
4) Ya, karena tetap linear dan hanya satu variabel
5) Ya, karena meskipun ada dua suku variabel, masih satu jenis variabel yaitu y
6) Bukan, karena memuat dua variabel
7) Bukan, karena merupakan pertidaksamaan
8) Bukan, karena merupakan pertidaksamaan
Pengertian Ketidaksamaan dan Pertidaksamaan
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai pernyataan seperti:
• Berat badan Asti lebih dari 52 kg.
• Syarat menjadi anggota TNI adalah tinggi badan tidak kurang dari 165 cm.
• Kecepatan maksimal di jalan tol adalah 100 km/jam dan minimal 60 km/jam.
Pernyataan-pernyataan ini menunjukkan adanya perbandingan antara dua nilai. Dalam matematika, hal tersebut disebut ketidaksamaan, yaitu pernyataan matematika yang menunjukkan hubungan tidak sama antara dua nilai atau ekspresi yang memakai tanda: <, >, ≤, ≥.
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ketidaksamaan.
• Berat badan Asti lebih dari 52 kg.
• Syarat menjadi anggota TNI adalah tinggi badan tidak kurang dari 165 cm.
• Kecepatan maksimal di jalan tol adalah 100 km/jam dan minimal 60 km/jam.
Pernyataan-pernyataan ini menunjukkan adanya perbandingan antara dua nilai. Dalam matematika, hal tersebut disebut ketidaksamaan, yaitu pernyataan matematika yang menunjukkan hubungan tidak sama antara dua nilai atau ekspresi yang memakai tanda: <, >, ≤, ≥.
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ketidaksamaan.
Contoh
6x < 18
p + 2 ≤ 5
3p - 2 > p
3x - 1 ≥ 2x + 4
Keempat bentuk diatas merupakan pertidaksamaan, karena memuat variabel (x atau p) dan menggunakan tanda ketidaksamaan.
6x < 18
p + 2 ≤ 5
3p - 2 > p
3x - 1 ≥ 2x + 4
Keempat bentuk diatas merupakan pertidaksamaan, karena memuat variabel (x atau p) dan menggunakan tanda ketidaksamaan.
Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PTLSV)
Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya memiliki satu variabel berpangkat satu.
Bentuk Umum:
ax + b < 0; ax + b > 0; ax + b ≤ 0; ax + b ≥ 0 dengan a ≠ 0.
ax + b < 0; ax + b > 0; ax + b ≤ 0; ax + b ≥ 0 dengan a ≠ 0.
Contoh Soal
Amatilah bentuk-bentuk kalimat matematika berikut, tentukan mana yang merupakan pertidaksamaan linear satu variabel dan berikan alasannya
1) x - 3 < 5
2) a ≤ 1 - 2b
3) x2 - 3x ≥ 4
4) 3x - 1 ≥ 2x + 4
Amatilah bentuk-bentuk kalimat matematika berikut, tentukan mana yang merupakan pertidaksamaan linear satu variabel dan berikan alasannya
1) x - 3 < 5
2) a ≤ 1 - 2b
3) x2 - 3x ≥ 4
4) 3x - 1 ≥ 2x + 4
Jawab :
1) Ya, karena hanya mengandung satu variabel berpangkat satu
2) Bukan, memuat dua variabel
3) Bukan, terdapat variabel berpangkat dua
4) Ya, karena meskipun ada dua suku variabel, keduanya masih satu jenis variabel yaitu x
1) Ya, karena hanya mengandung satu variabel berpangkat satu
2) Bukan, memuat dua variabel
3) Bukan, terdapat variabel berpangkat dua
4) Ya, karena meskipun ada dua suku variabel, keduanya masih satu jenis variabel yaitu x
Latihan Soal
Amatilah bentuk-bentuk kalimat matematika berikut dan identifikasilah manakah yang termasuk PLSV, PTLSV, atau Bukan Keduanya serta berikan alasannya
| No. | Kalimat Matematika | Kategori | Alasan |
|---|---|---|---|
| 1 | x + 7 = 9 | Persamaan linear satu variabel | Karena hanya terdapat satu variabel (x) dan berpangkat satu. |
| 2 | 6 + c > 10 | Pertidaksamaan linear satu variabel | Karena terdapat tanda pertidaksamaan (>) dan satu variabel (c). |
| 3 | 4x - 3 = 6 - 8x | Persamaan linear satu variabel | Karena hanya memuat satu variabel (x) berpangkat satu meskipun muncul pada kedua ruas. |
| 4 | 2a - 4 < 32 | Pertidaksamaan linear satu variabel | Karena mengandung tanda pertidaksamaan (<) dan hanya satu variabel (a) berpangkat satu. |
| 5 | x + 10y = 110 | Bukan Keduanya (Persamaan linear dua variabel) | Karena memuat dua variabel (x dan y) yang masing-masing berpangkat satu. |
| 6 | m = 8 | Persamaan linear satu variabel | Karena hanya terdapat satu variabel (m) dan berpangkat satu. |
| 7 | 2p = 10 | Persamaan linear satu variabel | Karena hanya terdapat satu variabel (p) dan berpangkat satu. |
| 8 | -3y - 3 = 4y + 8 | Persamaan linear satu variabel | Karena memuat satu variabel (y) berpangkat satu walau berada di kedua sisi. |
| 9 | 13 - 2m ≤ 9m | Pertidaksamaan linear satu variabel | Karena terdapat tanda pertidaksamaan (≤) dan satu variabel (m) berpangkat satu. |
| 10 | x2 - 4 = 0 | Bukan Keduanya (Persamaan kuadrat) | Karena memuat variabel (x) berpangkat dua, sehingga berbentuk persamaan kuadrat. |
Penyelesaian PLSV
Menyelesaikan Persamaan Melalui Persamaan Ekuivalen
Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama, ditandai dengan simbol ⟺.
Suatu persamaan dapat dinyatakan ke bentuk ekuivalen dengan:
• Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
• Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
Suatu persamaan dapat dinyatakan ke bentuk ekuivalen dengan:
• Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
• Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
Contoh Soal 1
Tentukan penyelesaian dari persamaan 5x + 4 = 24
Tentukan penyelesaian dari persamaan 5x + 4 = 24
Jawab :
5x + 4 = 24
⟺ 5x + 4 - 4 = 24 - 4
⟺ 5x = 20
⟺ 5x / 5 = 20 / 5
⟺ x = 4
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 4.
5x + 4 = 24
⟺ 5x + 4 - 4 = 24 - 4
⟺ 5x = 20
⟺ 5x / 5 = 20 / 5
⟺ x = 4
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 4.
Contoh Soal 2
Tentukan penyelesaian dari persamaan 14 − 7a = 42
Tentukan penyelesaian dari persamaan 14 − 7a = 42
Jawab :
14 - 7a = 42
⟺ 14 - 7a - 14 = 42 - 14
⟺ -7a = 28
⟺ (-7a)/(-7) = 28/(-7)
⟺ a = -4
Jadi, penyelesaianya adalah a = -4.
14 - 7a = 42
⟺ 14 - 7a - 14 = 42 - 14
⟺ -7a = 28
⟺ (-7a)/(-7) = 28/(-7)
⟺ a = -4
Jadi, penyelesaianya adalah a = -4.
Contoh Soal 3
Tentukan penyelesaian dari persamaan (3x + 2)/5 = 7
Tentukan penyelesaian dari persamaan (3x + 2)/5 = 7
Jawab :
(3x + 2)/5 = 7
⟺ (3x + 2)/5 × 5 = 7 × 5
⟺ 3x + 2 = 35
⟺ 3x + 2 - 2 = 35 - 2
⟺ 3x = 33
⟺ x = 33/3
⟺ x = 11
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 11.
(3x + 2)/5 = 7
⟺ (3x + 2)/5 × 5 = 7 × 5
⟺ 3x + 2 = 35
⟺ 3x + 2 - 2 = 35 - 2
⟺ 3x = 33
⟺ x = 33/3
⟺ x = 11
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 11.
Contoh Soal 4
Tentukan penyelesaian dari persamaan 4(2x + 3) − 5x = 6x − 15
Tentukan penyelesaian dari persamaan 4(2x + 3) − 5x = 6x − 15
Jawab :
4(2x + 3) − 5x = 6x − 15
⟺ 8x + 12 − 5x = 6x − 15
⟺ 3x + 12 = 6x − 15
⟺ 3x + 12 − 12 = 6x − 15 − 12
⟺ 3x = 6x − 27
⟺ 3x − 6x = 6x − 27 − 6x
⟺ -3x = -27
⟺ x = (-27)/(-3)
⟺ x = 9
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 9.
4(2x + 3) − 5x = 6x − 15
⟺ 8x + 12 − 5x = 6x − 15
⟺ 3x + 12 = 6x − 15
⟺ 3x + 12 − 12 = 6x − 15 − 12
⟺ 3x = 6x − 27
⟺ 3x − 6x = 6x − 27 − 6x
⟺ -3x = -27
⟺ x = (-27)/(-3)
⟺ x = 9
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 9.
Menyelesaikan Persamaan dengan Konsep Pindah Ruas
Pindah ruas adalah cara cepat atau bentuk ringkas dari melakukan operasi yang sama pada kedua ruas, agar persamaan tetap ekuivalen.
Aturannya:
Pindah Ruas untuk Penjumlahan & Pengurangan
Jika suatu suku dijumlahkan atau dikurangkan pada salah satu ruas, ketika dipindah ke ruas lain maka operasinya berubah:
• Dari penjumlahan menjadi pengurangan
• Dari pengurangan menjadi penjumlahan
Pindah Ruas untuk Perkalian & Pembagian
• Jika suatu bilangan mengalikan variabel, ketika dipindah ke ruas lain maka operasinya berubah menjadi pembagian
• Jika suatu bilangan membagi variabel, ketika dipindah ke ruas lain maka operasinya berubah menjadi perkalian
Pindah Ruas untuk Penjumlahan & Pengurangan
Jika suatu suku dijumlahkan atau dikurangkan pada salah satu ruas, ketika dipindah ke ruas lain maka operasinya berubah:
• Dari penjumlahan menjadi pengurangan
• Dari pengurangan menjadi penjumlahan
Pindah Ruas untuk Perkalian & Pembagian
• Jika suatu bilangan mengalikan variabel, ketika dipindah ke ruas lain maka operasinya berubah menjadi pembagian
• Jika suatu bilangan membagi variabel, ketika dipindah ke ruas lain maka operasinya berubah menjadi perkalian
Contoh Soal 1
Tentukan penyelesaian dari persamaan 14 − 7a = 42
Tentukan penyelesaian dari persamaan 14 − 7a = 42
Jawab :
14 − 7a = 42
-7a = 42 − 14
-7a = 28
a = 28/(-7)
a = -4
Jadi, penyelesaiannya adalah a = -4
14 − 7a = 42
-7a = 42 − 14
-7a = 28
a = 28/(-7)
a = -4
Jadi, penyelesaiannya adalah a = -4
Contoh Soal 2
Tentukan penyelesaian dari persamaan (3x + 2)/5 = 7
Tentukan penyelesaian dari persamaan (3x + 2)/5 = 7
Jawab :
(3x + 2)/5 = 7
3x + 2 = 35
3x = 35 − 2
3x = 33
x = 33/3
x = 11
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 11
(3x + 2)/5 = 7
3x + 2 = 35
3x = 35 − 2
3x = 33
x = 33/3
x = 11
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 11
Penerapan Persamaan pada Soal Cerita
Langkah menyelesaikan soal cerita:
1) Pahami masalah dan informasi yang diberikan.
2) Buat permisalan variabel untuk besaran yang belum diketahui.
3) Susun model matematika berdasarkan hubungan antar informasi dalam soal.
4) Selesaikan persamaan dan jawab sesuai pertanyaan.
1) Pahami masalah dan informasi yang diberikan.
2) Buat permisalan variabel untuk besaran yang belum diketahui.
3) Susun model matematika berdasarkan hubungan antar informasi dalam soal.
4) Selesaikan persamaan dan jawab sesuai pertanyaan.
Contoh Soal 1
Jumlah dua bilangan ganjil berurutan adalah 42. Tentukan bilangan kedua, jika bilangan pertama adalah x.
Jumlah dua bilangan ganjil berurutan adalah 42. Tentukan bilangan kedua, jika bilangan pertama adalah x.
Jawab :
Misal, bilangan pertama = x
bilangan kedua = x + 2
Sehingga diperoleh
x + (x + 2) = 42
2x + 2 = 42
2x = 40
x = 20
Jadi, bilangan kedua adalah x + 2 = 20 + 2 = 22.
Misal, bilangan pertama = x
bilangan kedua = x + 2
Sehingga diperoleh
x + (x + 2) = 42
2x + 2 = 42
2x = 40
x = 20
Jadi, bilangan kedua adalah x + 2 = 20 + 2 = 22.
Contoh Soal 2Umur Adik sekarang lebih muda 24 tahun dari umur Ayah. Empat tahun yang akan datang, jumlah umur mereka 52 tahun. Berapa tahunkah umur Adik sekarang?
Jawab :
Misal, umur Ayah sekarang = x
umur Adik sekarang= x − 24
Sehingga diperoleh
(x + 4) + ((x − 24) + 4) = 52
2x − 16 = 52
2x = 68
x = 34
Jadi, umur Adik sekarang adalah 34 − 24 = 10 tahun.
Misal, umur Ayah sekarang = x
umur Adik sekarang= x − 24
Sehingga diperoleh
(x + 4) + ((x − 24) + 4) = 52
2x − 16 = 52
2x = 68
x = 34
Jadi, umur Adik sekarang adalah 34 − 24 = 10 tahun.
Contoh Soal 3
Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang lebih 5 m dari lebarnya. Keliling taman tersebut adalah 58 m. Jika lebar taman adalah x, tentukan ukuran panjang dan lebar taman tersebut.
Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang lebih 5 m dari lebarnya. Keliling taman tersebut adalah 58 m. Jika lebar taman adalah x, tentukan ukuran panjang dan lebar taman tersebut.
Jawab :
Diketahui, lebar = x
panjang = x + 5
Sehingga diperoleh
2((x + 5) + x) = 58
2(2x + 5) = 58
4x + 10 = 58
4x = 48
x = 12
Jadi, lebar taman adalah 12 m dan panjang taman adalah 17 m
Diketahui, lebar = x
panjang = x + 5
Sehingga diperoleh
2((x + 5) + x) = 58
2(2x + 5) = 58
4x + 10 = 58
4x = 48
x = 12
Jadi, lebar taman adalah 12 m dan panjang taman adalah 17 m
Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PTLSV)
Penyelesaian PTLSV
Untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan linear satu variabel, kita harus mencari nilai variabel yang membuat pertidaksamaan tersebut bernilai benar. Nilai yang memenuhi disebut penyelesaian, sedangkan kumpulan semua nilai penyelesaian disebut himpunan penyelesaian.
Untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan linear satu variabel, kita harus mencari nilai variabel yang membuat pertidaksamaan tersebut bernilai benar. Nilai yang memenuhi disebut penyelesaian, sedangkan kumpulan semua nilai penyelesaian disebut himpunan penyelesaian.
Menyelesaikan Pertidaksamaan Melalui Pertidaksamaan Ekuivalen
Dua pertidaksamaan dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama
dan dinotasikan dengan simbol ⟺.
Aturan untuk mendapatkan pertidaksamaan ekuivalen:
• Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tidak mengubah tanda ketidaksamaan.
• Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif juga tidak mengubah tanda ketidaksamaan.
• Jika mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif, tanda ketidaksamaan harus dibalik.
Aturan untuk mendapatkan pertidaksamaan ekuivalen:
• Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tidak mengubah tanda ketidaksamaan.
• Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif juga tidak mengubah tanda ketidaksamaan.
• Jika mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif, tanda ketidaksamaan harus dibalik.
Contoh Soal 1
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 6x − 4 > 8
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 6x − 4 > 8
Jawab :
6x − 4 > 8
⟺ 6x − 4 + 4 > 8 + 4
⟺ 6x > 12
⟺ 6x / 6 > 12 / 6
⟺ x > 2
Jadi, penyelesaiannya adalah x > 2.
6x − 4 > 8
⟺ 6x − 4 + 4 > 8 + 4
⟺ 6x > 12
⟺ 6x / 6 > 12 / 6
⟺ x > 2
Jadi, penyelesaiannya adalah x > 2.
Contoh Soal 2
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan x − 2 ≤ 3x + 2
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan x − 2 ≤ 3x + 2
Jawab :
x − 2 ≤ 3x + 2
⟺ x − 2 + 2 ≤ 3x + 2 + 2
⟺ x ≤ 3x + 4
⟺ x − 3x ≤ 3x + 4 - 3x
⟺ −2x ≤ 4
⟺ (−2x) / (−2) ≥ 4 / (−2) )
⟺ x ≥ −2
Jadi, penyelesaiannya adalah x ≥ −2.
x − 2 ≤ 3x + 2
⟺ x − 2 + 2 ≤ 3x + 2 + 2
⟺ x ≤ 3x + 4
⟺ x − 3x ≤ 3x + 4 - 3x
⟺ −2x ≤ 4
⟺ (−2x) / (−2) ≥ 4 / (−2) )
⟺ x ≥ −2
Jadi, penyelesaiannya adalah x ≥ −2.
Contoh Soal 3
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan (x + 6) / 2 ≤ x / 5
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan (x + 6) / 2 ≤ x / 5
Jawab :
(x + 6) / 2 ≤ x / 5
⟺ (x + 6) / 2 × 10 ≤ (x / 5) × 10
⟺ 5(x + 6) ≤ 2x
⟺ 5x + 30 ≤ 2x
⟺ 5x + 30 − 30 ≤ 2x − 30
⟺ 5x ≤ 2x − 30
⟺ 5x − 2x ≤ 2x − 30 − 2x
⟺ 3x ≤ −30
⟺ 3x / 3 ≤ −30 / 3
⟺ x ≤ −10
Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ −10.
(x + 6) / 2 ≤ x / 5
⟺ (x + 6) / 2 × 10 ≤ (x / 5) × 10
⟺ 5(x + 6) ≤ 2x
⟺ 5x + 30 ≤ 2x
⟺ 5x + 30 − 30 ≤ 2x − 30
⟺ 5x ≤ 2x − 30
⟺ 5x − 2x ≤ 2x − 30 − 2x
⟺ 3x ≤ −30
⟺ 3x / 3 ≤ −30 / 3
⟺ x ≤ −10
Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ −10.
Contoh Soal 4
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan −6(x − 2) ≥ 2 − 2(x − 9)
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan −6(x − 2) ≥ 2 − 2(x − 9)
Jawab :
−6(x − 2) ≥ 2 − 2(x − 9)
⟺ −6x + 12 ≥ 2 − 2x + 18
⟺ −6x + 12 ≥ −2x + 20
⟺ −6x + 12 − 12 ≥ −2x + 20 − 12
⟺ −6x ≥ −2x + 8
⟺ −6x + 2x ≥ −2x + 8 + 2x
⟺ −4x ≥ 8
⟺ (−4x) / (−4) ≤ 8 / (−4)
⟺ x ≤ −2
Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ −2.
−6(x − 2) ≥ 2 − 2(x − 9)
⟺ −6x + 12 ≥ 2 − 2x + 18
⟺ −6x + 12 ≥ −2x + 20
⟺ −6x + 12 − 12 ≥ −2x + 20 − 12
⟺ −6x ≥ −2x + 8
⟺ −6x + 2x ≥ −2x + 8 + 2x
⟺ −4x ≥ 8
⟺ (−4x) / (−4) ≤ 8 / (−4)
⟺ x ≤ −2
Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ −2.
Menyelesaikan Pertidaksamaan dengan Konsep “Pindah Ruas”
Sama seperti pada persamaan, pindah ruas dalam pertidaksamaan juga berarti melakukan operasi yang sama pada kedua ruas.
Terdapat aturan khusus untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan konsep pindah ruas:
Pindah Ruas untuk Penjumlahan & Pengurangan
Jika suatu suku dijumlahkan atau dikurangkan pada salah satu ruas, ketika dipindah ke ruas lain maka operasinya berubah:
• Dari penjumlahan menjadi pengurangan
• Dari pengurangan menjadi penjumlahan
Pindah Ruas untuk Perkalian & Pembagian
Jika suatu bilangan mengalikan atau membagi variabel, ketika dipindah ke ruas lain maka operasinya berubah menjadi kebalikannya, dengan memperhatikan tanda bilangan tersebut
• Jika dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif, maka tanda ketidaksamaan tetap
• Jika dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif, maka tanda ketidaksamaan dibalik
Terdapat aturan khusus untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan konsep pindah ruas:
Pindah Ruas untuk Penjumlahan & Pengurangan
Jika suatu suku dijumlahkan atau dikurangkan pada salah satu ruas, ketika dipindah ke ruas lain maka operasinya berubah:
• Dari penjumlahan menjadi pengurangan
• Dari pengurangan menjadi penjumlahan
Pindah Ruas untuk Perkalian & Pembagian
Jika suatu bilangan mengalikan atau membagi variabel, ketika dipindah ke ruas lain maka operasinya berubah menjadi kebalikannya, dengan memperhatikan tanda bilangan tersebut
• Jika dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif, maka tanda ketidaksamaan tetap
• Jika dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif, maka tanda ketidaksamaan dibalik
Contoh Soal 1
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x − 7 > 9
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x − 7 > 9
Jawab :
4x − 7 > 9
4x > 9 + 7
4x > 16
x > 16 / 4
x > 4
Jadi, penyelesaiannya adalah x > 4.
4x − 7 > 9
4x > 9 + 7
4x > 16
x > 16 / 4
x > 4
Jadi, penyelesaiannya adalah x > 4.
Contoh Soal 2
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x + 5 ≤ 2x + 13
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x + 5 ≤ 2x + 13
Jawab :
4x + 5 ≤ 2x + 13
4x − 2x ≤ 13 − 5
2x ≤ 8
x ≤ 8 / 2
x ≤ 4
Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ 4.
4x + 5 ≤ 2x + 13
4x − 2x ≤ 13 − 5
2x ≤ 8
x ≤ 8 / 2
x ≤ 4
Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ 4.
Contoh Soal 3
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan (2x + 4) / 3 ≥ x − 2
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan (2x + 4) / 3 ≥ x − 2
Jawab :
(2x + 4)/3 ≥ x − 2
2x + 4 ≥ 3(x − 2)
2x + 4 ≥ 3x − 6
2x − 3x ≥ −6 − 4
−x ≥ −10
x ≤ 10
Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ 10.
(2x + 4)/3 ≥ x − 2
2x + 4 ≥ 3(x − 2)
2x + 4 ≥ 3x − 6
2x − 3x ≥ −6 − 4
−x ≥ −10
x ≤ 10
Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ 10.
Contoh Soal 4
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan −4(x − 5) < 2(x + 1)
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan −4(x − 5) < 2(x + 1)
Jawab :
−4(x − 5) < 2(x + 1)
−4x + 20 < 2x + 2
−4x − 2x < 2 − 20
−6x < −18
x > 3
Jadi, penyelesaiannya adalah x > 3.
−4(x − 5) < 2(x + 1)
−4x + 20 < 2x + 2
−4x − 2x < 2 − 20
−6x < −18
x > 3
Jadi, penyelesaiannya adalah x > 3.
Penerapan Pertidaksamaan Pada Soal Cerita
Untuk soal cerita, langkah-langkah penyelesaiannya adalah:
• Pahami masalah dan informasi yang diberikan.
• Buat permisalan variabel untuk besaran yang belum diketahui.
• Susun model matematika berdasarkan hubungan antar informasi dalam soal.
• Selesaikan pertidaksamaan dan jawab sesuai pertanyaan.
• Pahami masalah dan informasi yang diberikan.
• Buat permisalan variabel untuk besaran yang belum diketahui.
• Susun model matematika berdasarkan hubungan antar informasi dalam soal.
• Selesaikan pertidaksamaan dan jawab sesuai pertanyaan.
Contoh Soal 1
Panjang sebuah persegi panjang 6 cm lebih dari 2 kali lebarnya. Jika kelilingnya kurang dari 42 cm dan lebar dinyatakan sebagai x cm, susunlah pertidaksamaan dalam x, lalu tentukan penyelesaiannya.
Panjang sebuah persegi panjang 6 cm lebih dari 2 kali lebarnya. Jika kelilingnya kurang dari 42 cm dan lebar dinyatakan sebagai x cm, susunlah pertidaksamaan dalam x, lalu tentukan penyelesaiannya.
Jawab :
Dimisalkan, lebar = x
panjang = 2x + 6
Sehingga diperoleh
2((2x + 6) + x) < 42
2(3x + 6) < 42
6x + 12 < 42
6x < 42 − 12
6x < 30
x < 30/6
x < 5
Karena ukuran tidak boleh negatif, maka penyelesaiannya adalah 0 < x < 5.
Dimisalkan, lebar = x
panjang = 2x + 6
Sehingga diperoleh
2((2x + 6) + x) < 42
2(3x + 6) < 42
6x + 12 < 42
6x < 42 − 12
6x < 30
x < 30/6
x < 5
Karena ukuran tidak boleh negatif, maka penyelesaiannya adalah 0 < x < 5.
Contoh Soal 2
Sebuah truk bermuatan semangka dan melon. Berat muatan melon kurang 200 kg dari muatan semangka. Truk tersebut tidak boleh membawa muatan melebihi 9 ton. Jika berat muatan semangka adalah x kg, tentukan berat muatan melon dinyatakan dengan x Susunlah pertidaksamaan dalam x, kemudian selesaikanlah!
Sebuah truk bermuatan semangka dan melon. Berat muatan melon kurang 200 kg dari muatan semangka. Truk tersebut tidak boleh membawa muatan melebihi 9 ton. Jika berat muatan semangka adalah x kg, tentukan berat muatan melon dinyatakan dengan x Susunlah pertidaksamaan dalam x, kemudian selesaikanlah!
Jawab :
Misal, berat muatan semangka = x
berat muatan melon = x − 200
Sehingga diperoleh
x + (x − 200) ≤ 9000
x + x − 200 ≤ 9000
2x − 200 ≤ 9000
2x ≤ 9200
x ≤ 4600
Agar berat muatan melon tidak negatif, maka penyelesaiannya adalah 200 ≤ x ≤ 4600.
Misal, berat muatan semangka = x
berat muatan melon = x − 200
Sehingga diperoleh
x + (x − 200) ≤ 9000
x + x − 200 ≤ 9000
2x − 200 ≤ 9000
2x ≤ 9200
x ≤ 4600
Agar berat muatan melon tidak negatif, maka penyelesaiannya adalah 200 ≤ x ≤ 4600.
Contoh Soal 3
Banyak uang Dimas lebih Rp26.000 dari banyak uang Fandi. Sementara itu, banyak uang Beni kurang Rp32.000 dari 2 kali uang Dimas. Jika jumlah uang mereka seluruhnya tidak lebih dari Rp326.000, tentukan banyak uang yang dimiliki Dimas sebanyak-banyaknya!
Banyak uang Dimas lebih Rp26.000 dari banyak uang Fandi. Sementara itu, banyak uang Beni kurang Rp32.000 dari 2 kali uang Dimas. Jika jumlah uang mereka seluruhnya tidak lebih dari Rp326.000, tentukan banyak uang yang dimiliki Dimas sebanyak-banyaknya!
Jawab :
Misal, uang Fandi = x
uang Dimas = x + 26000
uang Beni = 2(x + 26000) − 32000
Sehingga diperoleh
x + (x + 26000) + (2(x + 26000) − 32000) ≤ 326000
x + x + 26000 + 2x − 20000 ≤ 326000
4x + 46000 ≤ 326000
4x ≤ 280000
x ≤ 70000
Banyak uang tidak boleh negatif, sehingga 0 < x ≤ 70000.
Jika banyak uang Dimas dinyatakan dengan d, maka dapat diperoleh
d = x + 26000
d ≤ 70000 + 26000
d ≤ 96000
Jadi, banyak uang Dimas sebanyak-banyaknya adalah Rp96.000.
Misal, uang Fandi = x
uang Dimas = x + 26000
uang Beni = 2(x + 26000) − 32000
Sehingga diperoleh
x + (x + 26000) + (2(x + 26000) − 32000) ≤ 326000
x + x + 26000 + 2x − 20000 ≤ 326000
4x + 46000 ≤ 326000
4x ≤ 280000
x ≤ 70000
Banyak uang tidak boleh negatif, sehingga 0 < x ≤ 70000.
Jika banyak uang Dimas dinyatakan dengan d, maka dapat diperoleh
d = x + 26000
d ≤ 70000 + 26000
d ≤ 96000
Jadi, banyak uang Dimas sebanyak-banyaknya adalah Rp96.000.
Demikian rangkuman materi mengenai Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel. Semoga postingan ini membantu proses belajar dan memberikan pemahaman yang lebih mendalam. Sampai jumpa di materi selanjutnya
.png&description=Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PTLSV) ){kind=link}