Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Cara Menentukan Minor dan Kofaktor Matriks Ordo 3x3

Cara Menentukan Minor dan Kofaktor Matriks Ordo 3x3

Berikut ini mimin sajikan cara menentukan minor dan kofaktor matriks ordo 3x3. Selamat membaca, sobat. Semoga bermanfaat.


Minor
Misalkan matriks $A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$
Minor elemen $a_{ij}$ dinotasikan dengan $M_{ij}$ adalah determinan dari matriks baru ordo 2x2 yang diperoleh setelah elemen-elemen pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ dihilangkan.

$\bullet$ Misal akan dicari $M_{11}$, maka kita hilangkan elemen-elemen baris ke-$1$ dan kolom ke-$1$ seperti berikut
Sehingga diperoleh $M_{11}=\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$

Untuk selanjutnya, kita dapat mencari minor yang lain dengan cara yang serupa seperti diatas.

$\bullet ~M_{12}$ (hilangkan elemen-elemen baris ke-$1$ dan kolom ke-$2$)
Sehingga diperoleh $M_{12}=\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}$

$\bullet ~M_{13}$ (hilangkan elemen-elemen baris ke-$1$ dan kolom ke-$3$)
Sehingga diperoleh $M_{13}=\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$

$\bullet~M_{21}$ (hilangkan elemen-elemen baris ke-$2$ dan kolom ke-$1$)
Sehingga diperoleh $M_{21}=\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{32} & a_{32} \end{vmatrix}$

$\bullet~M_{22}$ (hilangkan elemen-elemen baris ke-$2$ dan kolom ke-$2$)
Sehingga diperoleh $M_{22}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}$

$\bullet~M_{23}$ (hilangkan elemen-elemen baris ke-$2$ dan kolom ke-$3$)
Sehingga diperoleh $M_{23}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$

$\bullet~M_{31}$ (hilangkan elemen-elemen baris ke-$3$ dan kolom ke-$1$)
Sehingga diperoleh $M_{31}=\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13}\\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix}$

$\bullet~M_{32}$ (hilangkan elemen-elemen baris ke-$3$ dan kolom ke-$2$)
Sehingga diperoleh $M_{32}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}$

$\bullet~M_{33}$ (hilangkan elemen-elemen baris ke-$3$ dan kolom ke-$3$)
Sehingga diperoleh $M_{33}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$



Kofaktor
Kofaktor elemen $a_{ij}$ dinotasikan dengan $K_{ij}$ adalah hasil kali $(-1)^{i+j}$ dengan minor elemen tersebut. Sehingga didapat rumus untuk mencari kofaktor sebagai berikut.
$K_{ij}=(-1)^{i+j} ~ M_{ij} $
Ket :
$K_{ij}$ merupakan kofaktor elemen $a_{ij}$ 
$M_{ij}$ merupakan minor elemen $a_{ij}$

Dari matriks $A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$, dapat diperoleh kofaktor-kofaktor sebagai berikut.
$K_{11}=(-1)^{1+1} ~ M_{11}= M_{11} $
$K_{12}=(-1)^{1+2} ~ M_{12}= -M_{12} $
$K_{13}=(-1)^{1+3} ~ M_{13}= M_{13}$
$K_{21}=(-1)^{2+1} ~ M_{21}= -M_{21}$
$K_{22}=(-1)^{2+2} ~ M_{22}= M_{22}$
$K_{23}=(-1)^{2+3} ~ M_{23}= -M_{23}$
$K_{31}=(-1)^{3+1} ~ M_{31}= M_{31}$
$K_{32}=(-1)^{3+2} ~ M_{32}= -M_{32}$
$K_{33}=(-1)^{3+3} ~ M_{33}= M_{33}$

Sehingga didapat kofaktor matriks $A$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} kof~(A) &= \begin{pmatrix}K_{11} & K_{12} & K_{13}\\K_{21} & K_{22} & K_{23}\\ K_{31} & K_{32} & K_{33}\end{pmatrix}\\  \\ &= \begin{pmatrix}M_{11} & -M_{12} & M_{13}\\-M_{21} & M_{22} & -M_{23}\\ M_{31} & -M_{32} & M_{33}\end{pmatrix}  \end{aligned}$

Untuk lebih jelasnya, berikut ini contoh soal menentukan minor dan kofaktor matriks ordo 3x3

Contoh soal 
Diketahui $B = \begin{pmatrix}~1 & 2 & 3~\\ ~2 & 5 & 3~\\~1 & 0 & 8~\end{pmatrix}$, maka $kof~(B) $ adalah ...
Jawab:
$K_{11}=(-1)^{1+1} ~ \begin{vmatrix} 5 & 3\\ 0 & 8 \end{vmatrix}= 40-0=40 $

$K_{12}=(-1)^{1+2} ~ \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 1 & 8 \end{vmatrix}= -(16-3)=-13 $

$K_{13}=(-1)^{1+3} ~ \begin{vmatrix} 2 & 5\\ 1 & 0 \end{vmatrix}= 0-5=-5$

$K_{21}=(-1)^{2+1} ~ \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 0 & 8 \end{vmatrix}= -(16-0)=-16$

$K_{22}=(-1)^{2+2} ~ \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 1 & 8 \end{vmatrix}= 8-3=5$

$K_{23}=(-1)^{2+3} ~ \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & 0 \end{vmatrix}= -(0-2)=2$

$K_{31}=(-1)^{3+1} ~ \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 5 & 3 \end{vmatrix}= 6-15=-9$

$K_{32}=(-1)^{3+2} ~ \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 3 \end{vmatrix}= -(3-6)=3$

$K_{33}=(-1)^{3+3} ~ \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 2 & 5 \end{vmatrix}= 5-4=1$

Jadi, $kof~(B) = \begin{pmatrix}40 & -13 & -5\\-16 & 5 & 2\\ -9 & 3 & 1\end{pmatrix}$

Demikianlah ulasan terkait cara menentukan minor dan kofaktor matriks ordo 3x3. Semoga bermanfaat. 

Referensi:
E. S., Pesta  dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. 

Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 3: untuk kelas XII SMA/MA Program Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.