Cara Menentukan Minor dan Kofaktor Matriks Ordo 3x3

Berikut ini mimin sajikan cara menentukan minor dan kofaktor matriks ordo 3x3. Selamat membaca, sobat. Semoga bermanfaat.

Minor

Misalkan matriks $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$

Minor elemen $a_{ij}$ dinotasikan dengan $M_{ij}$ adalah determinan dari matriks baru ordo 2x2 yang diperoleh setelah elemen-elemen pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ dihilangkan.

$\bullet$ Misal akan dicari $M_{11}$, maka kita hilangkan elemen-elemen baris ke-$1$ dan kolom ke-$1$ seperti berikut

Sehingga diperoleh $M_{11}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

Untuk selanjutnya, kita dapat mencari minor yang lain dengan cara yang serupa seperti diatas.

$\bullet M_{12}$ (hilangkan elemen-elemen baris ke-$1$ dan kolom ke-$2$)

Sehingga diperoleh $M_{12}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|$

$\bullet M_{13}$ (hilangkan elemen-elemen baris ke-$1$ dan kolom ke-$3$)

Sehingga diperoleh $M_{13}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

$\bullet M_{21}$ (hilangkan elemen-elemen baris ke-$2$ dan kolom ke-$1$)

Sehingga diperoleh $M_{21}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{32}& a_{32}\end{array}\right|$

$\bullet M_{22}$ (hilangkan elemen-elemen baris ke-$2$ dan kolom ke-$2$)

Sehingga diperoleh $M_{22}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|$

$\bullet M_{23}$ (hilangkan elemen-elemen baris ke-$2$ dan kolom ke-$3$)

Sehingga diperoleh $M_{23}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

$\bullet M_{31}$ (hilangkan elemen-elemen baris ke-$3$ dan kolom ke-$1$)

Sehingga diperoleh $M_{31}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|$

$\bullet M_{32}$ (hilangkan elemen-elemen baris ke-$3$ dan kolom ke-$2$)

Sehingga diperoleh $M_{32}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{array}\right|$

$\bullet M_{33}$ (hilangkan elemen-elemen baris ke-$3$ dan kolom ke-$3$)

Sehingga diperoleh $M_{33}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$

Kofaktor

Kofaktor elemen $a_{ij}$ dinotasikan dengan $K_{ij}$ adalah hasil kali $(-1{)}^{i+j}$ dengan minor elemen tersebut. Sehingga didapat rumus untuk mencari kofaktor sebagai berikut.

$K_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

Ket :

$K_{ij}$ merupakan kofaktor elemen $a_{ij}$ 

$M_{ij}$ merupakan minor elemen $a_{ij}$

Dari matriks $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$, dapat diperoleh kofaktor-kofaktor sebagai berikut.

$K_{11}=(-1{)}^{1+1}{M}_{11}=M_{11}$

$K_{12}=(-1{)}^{1+2}{M}_{12}=-M_{12}$

$K_{13}=(-1{)}^{1+3}{M}_{13}=M_{13}$

$K_{21}=(-1{)}^{2+1}{M}_{21}=-M_{21}$

$K_{22}=(-1{)}^{2+2}{M}_{22}=M_{22}$

$K_{23}=(-1{)}^{2+3}{M}_{23}=-M_{23}$

$K_{31}=(-1{)}^{3+1}{M}_{31}=M_{31}$

$K_{32}=(-1{)}^{3+2}{M}_{32}=-M_{32}$

$K_{33}=(-1{)}^{3+3}{M}_{33}=M_{33}$

Sehingga didapat kofaktor matriks $A$ sebagai berikut.

$\begin{array}{rl}kof(A)& =\left(\begin{array}{ccc}{K}_{11}& K_{12}& K_{13}\\ K_{21}& K_{22}& K_{23}\\ K_{31}& K_{32}& K_{33}\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{ccc}{M}_{11}& -M_{12}& M_{13}\\ -M_{21}& M_{22}& -M_{23}\\ M_{31}& -M_{32}& M_{33}\end{array}\right)\end{array}$

Untuk lebih jelasnya, berikut ini contoh soal menentukan minor dan kofaktor matriks ordo 3x3

Contoh soal 

Diketahui $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 3\\ 1& 0& 8\end{array}\right)$, maka $kof(B)$ adalah ...

Jawab:

$K_{11}=(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}5& 3\\ 0& 8\end{array}\right|=40-0=40$

$K_{12}=(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 8\end{array}\right|=-(16-3)=-13$

$K_{13}=(-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 0\end{array}\right|=0-5=-5$

$K_{21}=(-1{)}^{2+1}\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 8\end{array}\right|=-(16-0)=-16$

$K_{22}=(-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 8\end{array}\right|=8-3=5$

$K_{23}=(-1{)}^{2+3}\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right|=-(0-2)=2$

$K_{31}=(-1{)}^{3+1}\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 3\end{array}\right|=6-15=-9$

$K_{32}=(-1{)}^{3+2}\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 3\end{array}\right|=-(3-6)=3$

$K_{33}=(-1{)}^{3+3}\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right|=5-4=1$

Jadi, $kof(B)=\left(\begin{array}{ccc}40& -13& -5\\ -16& 5& 2\\ -9& 3& 1\end{array}\right)$

Demikianlah ulasan terkait cara menentukan minor dan kofaktor matriks ordo 3x3. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

E. S., Pesta  dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. 

Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 3: untuk kelas XII SMA/MA Program Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.