Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Lingkaran beserta Pembahasannya

Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Lingkaran beserta Pembahasannya

Kedudukan Garis terhadap Lingkaran
Misalkan diketahui garis $g:\ ax+by+c=0$ dan lingkaran $L:\ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$

Kedudukan garis $g$ terhadap lingkaran $L$ ditentukan oleh nilai diskriminan $D=b^{2}-4ac$, yaitu:
$1)$ Jika $D>0$ maka garis $g$ memotong lingkaran di dua titik yang berlainan
$2)$ Jika $D=0$ maka garis $g$ menyinggung lingkaran
$3)$ Jika $D<0$ maka garis $g$ tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran 

Berikut ini contoh soal kedudukan garis terhadap lingkaran beserta pembahasannya.
Contoh soal 1
Tentukan kedudukan garis $x+y=1$ terhadap lingkaran $x^{2}+y^{2}=16$
Jawab:
Diketahui persamaan garis $x+y=1 \rightarrow y=1-x $
Selanjutnya, substitusi persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran. Sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x^{2}+y^{2}&=16 \\ x^{2}+(1-x)^{2}&=16 \\ x^{2}+1-2x +x^{2}&=16 \\ 2x^{2}-2x-15&=0 \\ a=2,\ b=-2,\ c&=-15  \end{aligned}$

Menghitung diskriminan
$\begin{aligned} D&=b^{2}-4ac \\ &= (-2)^{2}-4(2)(-15) \\ &= 4+120 \\ &= 124  \end{aligned}$
Karena $D>0$ maka garis $x+y=1$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}=16$ di dua titik yang berlainan.

Contoh soal 2
Tentukan nilai $m$ sehingga garis $g:\ y=mx+5$ menyinggung lingkaran $L:\ x^{2}+y^{2}=5$
Jawab:
Substitusi persamaan garis $g$ ke dalam persamaan lingkaran $L$. Sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x^{2}+y^{2}&=5\\ x^{2}+(mx+5)^{2}&=5\\ x^{2}+m^{2}x^{2}+10mx+25&=5\\ (1+m^{2})x^{2}+10mx+20&=0 \\ a=1+m^{2},\ b=10m,\ c&=20  \end{aligned}$

Menghitung diskriminan
$\begin{aligned} D&=b^{2}-4ac \\ &= (10m)^{2}-4(1+m^{2})(20)\\ &= 20m^{2}-80  \end{aligned}$

Agar garis $g$ menyinggung lingkaran $L$ maka haruslah $D=0$
$\begin{aligned} D&=0\\ 20m^{2}-80&=0\\ m^{2}&=4\\ m&=\sqrt{4}\\ m&=\pm 2  \end{aligned}$
Jadi, nilai $m$ yang memenuhi adalah $m= \pm 2$ dan persamaan garisnya adalah garis $g:\ y=2x+5$ atau garis $g:\ y=-2x+5$

Contoh soal 3
Tunjukkan bahwa kedudukan garis $g:\ y=-x+3$ memotong lingkaran $L:\ x^{2}+y^{2}=9$ di dua titik yang berlainan dan tentukanlah titik potongnya.
Jawab:
Substitusi persamaan garis $g$ ke dalam persamaan lingkaran $L$. Sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x^{2}+y^{2}&=9\\ x^{2}+(-x+3)^{2}&=9\\ x^{2}+x^{2}-6x+9&=9\\ 2x^{2}-6x&=0 \\ a=2,\ b=-6,\ c&=0  \end{aligned}$

Akan ditunjukkan bahwa garis $g$ memotong lingkaran $L$ di dua titik yang berlainan maka haruslah $D>0$
$\begin{aligned} D&>0\\ b^{2}-4ac&>0\\ (-6)^{2}-4(2)(0)&>0\\ 36&>0\ \text{terbukti}  \end{aligned}$

Menentukan titik potong garis dan lingkaran
$\begin{aligned} 2x^{2}-6x&=0\\ 2x(x-3)&=0\\ x=0 \vee x&=3  \end{aligned}$
$\bullet$ untuk $x=0 \rightarrow y=0+3=3$
$\bullet$ untuk $x=3 \rightarrow y=-3+3=0$
Jadi, titik potong garis dan lingkaran adalah $(0,3)$ dan $(3,0)$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi kedudukan garis terhadap lingkaran. Semoga bermanfaat. 

Referensi:
Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.