Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Lingkaran beserta Pembahasannya
Kedudukan Garis terhadap Lingkaran
Misalkan diketahui garis $g:\ ax+by+c=0$ dan lingkaran $L:\ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
Kedudukan garis $g$ terhadap lingkaran $L$ ditentukan oleh nilai diskriminan $D=b^{2}-4ac$, yaitu:
$1)$ Jika $D>0$ maka garis $g$ memotong lingkaran di dua titik yang berlainan
$2)$ Jika $D=0$ maka garis $g$ menyinggung lingkaran
$3)$ Jika $D<0$ maka garis $g$ tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran
Berikut ini contoh soal kedudukan garis terhadap lingkaran beserta pembahasannya.
Contoh soal 1
Tentukan kedudukan garis $x+y=1$ terhadap lingkaran $x^{2}+y^{2}=16$
Jawab:
Diketahui persamaan garis $x+y=1 \rightarrow y=1-x $
Selanjutnya, substitusi persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran. Sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x^{2}+y^{2}&=16 \\ x^{2}+(1-x)^{2}&=16 \\ x^{2}+1-2x +x^{2}&=16 \\ 2x^{2}-2x-15&=0 \\ a=2,\ b=-2,\ c&=-15 \end{aligned}$
Menghitung diskriminan
$\begin{aligned} D&=b^{2}-4ac \\ &= (-2)^{2}-4(2)(-15) \\ &= 4+120 \\ &= 124 \end{aligned}$
Karena $D>0$ maka garis $x+y=1$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}=16$ di dua titik yang berlainan.
Contoh soal 2
Tentukan nilai $m$ sehingga garis $g:\ y=mx+5$ menyinggung lingkaran $L:\ x^{2}+y^{2}=5$
Jawab:
Substitusi persamaan garis $g$ ke dalam persamaan lingkaran $L$. Sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x^{2}+y^{2}&=5\\ x^{2}+(mx+5)^{2}&=5\\ x^{2}+m^{2}x^{2}+10mx+25&=5\\ (1+m^{2})x^{2}+10mx+20&=0 \\ a=1+m^{2},\ b=10m,\ c&=20 \end{aligned}$
Menghitung diskriminan
$\begin{aligned} D&=b^{2}-4ac \\ &= (10m)^{2}-4(1+m^{2})(20)\\ &= 20m^{2}-80 \end{aligned}$
Agar garis $g$ menyinggung lingkaran $L$ maka haruslah $D=0$
$\begin{aligned} D&=0\\ 20m^{2}-80&=0\\ m^{2}&=4\\ m&=\sqrt{4}\\ m&=\pm 2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $m$ yang memenuhi adalah $m= \pm 2$ dan persamaan garisnya adalah garis $g:\ y=2x+5$ atau garis $g:\ y=-2x+5$
Contoh soal 3
Tunjukkan bahwa kedudukan garis $g:\ y=-x+3$ memotong lingkaran $L:\ x^{2}+y^{2}=9$ di dua titik yang berlainan dan tentukanlah titik potongnya.
Jawab:
Substitusi persamaan garis $g$ ke dalam persamaan lingkaran $L$. Sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x^{2}+y^{2}&=9\\ x^{2}+(-x+3)^{2}&=9\\ x^{2}+x^{2}-6x+9&=9\\ 2x^{2}-6x&=0 \\ a=2,\ b=-6,\ c&=0 \end{aligned}$
Akan ditunjukkan bahwa garis $g$ memotong lingkaran $L$ di dua titik yang berlainan maka haruslah $D>0$
$\begin{aligned} D&>0\\ b^{2}-4ac&>0\\ (-6)^{2}-4(2)(0)&>0\\ 36&>0\ \text{terbukti} \end{aligned}$
Menentukan titik potong garis dan lingkaran
$\begin{aligned} 2x^{2}-6x&=0\\ 2x(x-3)&=0\\ x=0 \vee x&=3 \end{aligned}$
$\bullet$ untuk $x=0 \rightarrow y=0+3=3$
$\bullet$ untuk $x=3 \rightarrow y=-3+3=0$
Jadi, titik potong garis dan lingkaran adalah $(0,3)$ dan $(3,0)$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi kedudukan garis terhadap lingkaran. Semoga bermanfaat.
Referensi:
Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.