Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Lingkaran beserta Pembahasannya

Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

Misalkan diketahui garis $g:\ ax+by+c=0$ dan lingkaran $L:\ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$

Kedudukan garis $g$ terhadap lingkaran $L$ ditentukan oleh nilai diskriminan $D=b^{2}-4ac$, yaitu:

$1)$ Jika $D>0$ maka garis $g$ memotong lingkaran di dua titik yang berlainan

$2)$ Jika $D=0$ maka garis $g$ menyinggung lingkaran

$3)$ Jika $D<0$ maka garis $g$ tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran 

Berikut ini contoh soal kedudukan garis terhadap lingkaran beserta pembahasannya.

Contoh soal 1

Tentukan kedudukan garis $x+y=1$ terhadap lingkaran $x^{2}+y^{2}=16$

Jawab:

Diketahui persamaan garis $x+y=1 \rightarrow y=1-x $

Selanjutnya, substitusi persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran. Sehingga diperoleh

$\begin{aligned} x^{2}+y^{2}&=16 \\ x^{2}+(1-x)^{2}&=16 \\ x^{2}+1-2x +x^{2}&=16 \\ 2x^{2}-2x-15&=0 \\ a=2,\ b=-2,\ c&=-15  \end{aligned}$

Menghitung diskriminan

$\begin{aligned} D&=b^{2}-4ac \\ &= (-2)^{2}-4(2)(-15) \\ &= 4+120 \\ &= 124  \end{aligned}$

Karena $D>0$ maka garis $x+y=1$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}=16$ di dua titik yang berlainan.

Contoh soal 2

Tentukan nilai $m$ sehingga garis $g:\ y=mx+5$ menyinggung lingkaran $L:\ x^{2}+y^{2}=5$

Jawab:

Substitusi persamaan garis $g$ ke dalam persamaan lingkaran $L$. Sehingga diperoleh

$\begin{aligned} x^{2}+y^{2}&=5\\ x^{2}+(mx+5)^{2}&=5\\ x^{2}+m^{2}x^{2}+10mx+25&=5\\ (1+m^{2})x^{2}+10mx+20&=0 \\ a=1+m^{2},\ b=10m,\ c&=20  \end{aligned}$

Menghitung diskriminan

$\begin{aligned} D&=b^{2}-4ac \\ &= (10m)^{2}-4(1+m^{2})(20)\\ &= 20m^{2}-80  \end{aligned}$

Agar garis $g$ menyinggung lingkaran $L$ maka haruslah $D=0$

$\begin{aligned} D&=0\\ 20m^{2}-80&=0\\ m^{2}&=4\\ m&=\sqrt{4}\\ m&=\pm 2  \end{aligned}$

Jadi, nilai $m$ yang memenuhi adalah $m= \pm 2$ dan persamaan garisnya adalah garis $g:\ y=2x+5$ atau garis $g:\ y=-2x+5$

Contoh soal 3

Tunjukkan bahwa kedudukan garis $g:\ y=-x+3$ memotong lingkaran $L:\ x^{2}+y^{2}=9$ di dua titik yang berlainan dan tentukanlah titik potongnya.

Jawab:

Substitusi persamaan garis $g$ ke dalam persamaan lingkaran $L$. Sehingga diperoleh

$\begin{aligned} x^{2}+y^{2}&=9\\ x^{2}+(-x+3)^{2}&=9\\ x^{2}+x^{2}-6x+9&=9\\ 2x^{2}-6x&=0 \\ a=2,\ b=-6,\ c&=0  \end{aligned}$

Akan ditunjukkan bahwa garis $g$ memotong lingkaran $L$ di dua titik yang berlainan maka haruslah $D>0$

$\begin{aligned} D&>0\\ b^{2}-4ac&>0\\ (-6)^{2}-4(2)(0)&>0\\ 36&>0\ \text{terbukti}  \end{aligned}$

Menentukan titik potong garis dan lingkaran

$\begin{aligned} 2x^{2}-6x&=0\\ 2x(x-3)&=0\\ x=0 \vee x&=3  \end{aligned}$

$\bullet$ untuk $x=0 \rightarrow y=0+3=3$

$\bullet$ untuk $x=3 \rightarrow y=-3+3=0$

Jadi, titik potong garis dan lingkaran adalah $(0,3)$ dan $(3,0)$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi kedudukan garis terhadap lingkaran. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.