Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Lingkaran beserta Pembahasannya

Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

Misalkan diketahui garis $g:ax+by+c=0$ dan lingkaran $L:x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Kedudukan garis $g$ terhadap lingkaran $L$ ditentukan oleh nilai diskriminan $D=b^2-4ac$, yaitu:

$1)$ Jika $D>0$ maka garis $g$ memotong lingkaran di dua titik yang berlainan

$2)$ Jika $D=0$ maka garis $g$ menyinggung lingkaran

$3)$ Jika $D<0$ maka garis $g$ tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran 

Berikut ini contoh soal kedudukan garis terhadap lingkaran beserta pembahasannya.

Contoh soal 1

Tentukan kedudukan garis $x+y=1$ terhadap lingkaran $x^2+y^2=16$

Jawab:

Diketahui persamaan garis $x+y=1\to y=1-x$

Selanjutnya, substitusi persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran. Sehingga diperoleh

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =16\\ x^2+(1-x{)}^2& =16\\ x^2+1-2x+x^2& =16\\ 2x^2-2x-15& =0\\ a=2,b=-2,c& =-15\end{array}$

Menghitung diskriminan

$\begin{array}{rl}D& =b^2-4ac\\ & =(-2{)}^2-4(2)(-15)\\ & =4+120\\ & =124\end{array}$

Karena $D>0$ maka garis $x+y=1$ memotong lingkaran $x^2+y^2=16$ di dua titik yang berlainan.

Contoh soal 2

Tentukan nilai $m$ sehingga garis $g:y=mx+5$ menyinggung lingkaran $L:x^2+y^2=5$

Jawab:

Substitusi persamaan garis $g$ ke dalam persamaan lingkaran $L$. Sehingga diperoleh

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =5\\ x^2+(mx+5{)}^2& =5\\ x^2+m^2{x}^2+10mx+25& =5\\ (1+m^2)x^2+10mx+20& =0\\ a=1+m^2,b=10m,c& =20\end{array}$

Menghitung diskriminan

$\begin{array}{rl}D& =b^2-4ac\\ & =(10m{)}^2-4(1+m^2)(20)\\ & =20m^2-80\end{array}$

Agar garis $g$ menyinggung lingkaran $L$ maka haruslah $D=0$

$\begin{array}{rl}D& =0\\ 20m^2-80& =0\\ m^2& =4\\ m& =\sqrt{4}\\ m& =\pm 2\end{array}$

Jadi, nilai $m$ yang memenuhi adalah $m=\pm 2$ dan persamaan garisnya adalah garis $g:y=2x+5$ atau garis $g:y=-2x+5$

Contoh soal 3

Tunjukkan bahwa kedudukan garis $g:y=-x+3$ memotong lingkaran $L:x^2+y^2=9$ di dua titik yang berlainan dan tentukanlah titik potongnya.

Jawab:

Substitusi persamaan garis $g$ ke dalam persamaan lingkaran $L$. Sehingga diperoleh

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =9\\ x^2+(-x+3{)}^2& =9\\ x^2+x^2-6x+9& =9\\ 2x^2-6x& =0\\ a=2,b=-6,c& =0\end{array}$

Akan ditunjukkan bahwa garis $g$ memotong lingkaran $L$ di dua titik yang berlainan maka haruslah $D>0$

$\begin{array}{rl}D& >0\\ b^2-4ac& >0\\ (-6{)}^2-4(2)(0)& >0\\ 36& >0\text{terbukti}\end{array}$

Menentukan titik potong garis dan lingkaran

$\begin{array}{rl}2x^2-6x& =0\\ 2x(x-3)& =0\\ x=0\vee x& =3\end{array}$

$\bullet$ untuk $x=0\to y=0+3=3$

$\bullet$ untuk $x=3\to y=-3+3=0$

Jadi, titik potong garis dan lingkaran adalah $(0,3)$ dan $(3,0)$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi kedudukan garis terhadap lingkaran. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.