Contoh Soal Kesebangunan dan Kekongruenan SMP beserta Pembahasannya

 

Hai sob, berikut ini disajikan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi kesebangunan dan kekongruenan matematika SMP. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.

Contoh soal 1

Pada sebuah peta, jarak $3$ cm mewakili $270$ km. Skala peta tersebut adalah ...

Jawab:

Diketahui $J_p=3$ cm dan $J_s=270km\to 27.000.000cm$  

Sehingga dapat diperoleh skala peta tersebut adalah

$\begin{array}{rl}S& =\frac{J_p}{J_s}\\ & =\frac{3}{27.000.000}\\ & =\frac{1}{9.000.000}\end{array}$

Jadi, skala peta tersebut adalah $\frac{1}{9.000.000}$

Contoh soal 2

Diketahui sebuah kolam berbentuk lingkaran. Pada denah berskala $1:200$, kolam itu digambar dengan diameter $4$ cm. Jika $\pi =3,14$ maka luas tanah yang digunakan untuk kolam adalah ... $m^2$

Jawab:

Diketahui, diameter kolam pada gambar = $4$ cm dengan skala $1:200$. Sehingga diameter sebenarnya adalah $4cm\times 200=8m$

Sehingga luas tanah yang digunakan untuk kolam adalah

$\begin{array}{rl}L& =\frac{1}{4}\pi .d^2\\ & =\frac{1}{4}3,14.(8{)}^2\\ & =\frac{1}{4}3,14.64\\ & =50,24\end{array}$

Jadi, luas tanah yang digunakan untuk kolam adalah $50,24m^2$

Contoh soal 3

Perhatikan gambar dibawah ini.

Diketahui segitiga $ABC$ sebangun dengan segitiga $PQR$. Panjang $PR$ adalah ...

Jawab:

$\bullet$ Mencari panjang $AC$

$\begin{array}{rl}A{C}^2& =A{B}^2+B{C}^2\\ A{C}^2& =3^2+4^2\\ AC& =\sqrt{25}\\ AC& =5\end{array}$

Berdasarkan prinsip kesebangunan pada segitiga $ABC$ dan segitiga $PQR$, dapat diperoleh panjang $PR$ adalah

$\begin{array}{rl}\frac{AB}{PQ}& =\frac{AC}{PR}\\ \frac{3}{6}& =\frac{5}{PR}\\ 3.PR& =6.5\\ PR& =\frac{30}{3}\\ & =10\end{array}$

Jadi, panjang $PR$ adalah $10$ cm

Contoh soal 4

Sebuah penampung air yang panjangnya $10$m sebangun dengan kotak korek api yang panjang, lebar, dan tingginya berturut-turut $4$ cm; $3,5$cm; dan $1,5$cm. Volume penampung air tersebut adalah ... liter

Jawab:

Diketahui $p_p=10m=1000cm$, $p_k=4cm$, $l_k=3,5cm$, dan $t_k=1,5cm$

$\bullet$ Mencari lebar dan tinggi penampung air

Berdasarkan prinsip kesebangunan dapat diperoleh lebar dan tinggi penampung air sebagai berikut

$\begin{array}{rl}\frac{p_k}{p_p}& =\frac{l_k}{l_p}\\ \frac{4}{1000}& =\frac{3,5}{l_p}\\ 4.l_p& =3,5\times 1000\\ l_p& =\frac{3500}{4}\\ & =875\end{array}$

$\begin{array}{rl}\frac{p_k}{p_p}& =\frac{t_k}{t_p}\\ \frac{4}{1000}& =\frac{1,5}{t_p}\\ 4.l_p& =1,5\times 1000\\ t_p& =\frac{1500}{4}\\ & =375\end{array}$

Sehingga dapat diperoleh

$\begin{array}{rl}V& =p\times l\times t\\ & =1000\times 875\times 375\\ & =328.125.000c{m}^3\\ & =328.125liter\end{array}$

Jadi, volume penampung air tersebut adalah $328.125$ liter

Contoh soal 5

Panjang bayangan tugu karena sinar matahari adalah $15$ m. Pada tempat yang sama, tongkat sepanjang $1,5$ m yang ditancapkan tegaklurus terhadap tanah mempunyai bayangan $3$ m. Tinggi tugu adalah ... m

Jawab:

Diketahui $b_{tugu}=15m$, $t_{tongkat}=1,5m$, $b_{tongkat}=3m$

Dengan menggunakan prinsip kesebangunan dapat diperoleh

$\begin{array}{rl}\frac{b_{tongkat}}{b_{tugu}}& =\frac{t_{tongkat}}{t_{tugu}}\\ \frac{3}{15}& =\frac{1,5}{t_{tugu}}\\ 3.t_{tugu}& =1,5\times 15\\ t_{tugu}& =\frac{1,5\times 15}{3}\\ & =7,5\end{array}$

Jadi, tinggi tugu adalah $7,5$ m

Contoh soal 6

Pada segitiga siku-siku ABC, DE // AB. Jika AB= 18 cm, BE= 20cm, dan EC=10cm, luas CDE adalah ... $c{m}^2$

Jawab:

Dengan menggunakan prinsip kesebangunan pada segitiga ABC dan DEC, dapat diperoleh panjang DE sebagai berikut

$\begin{array}{rl}\frac{DE}{AB}& =\frac{EC}{BC}\\ \frac{DE}{18}& =\frac{10}{30}\\ 30.DE& =10.18\\ 30.DE& =180\\ DE& =\frac{180}{30}\\ DE& =6\end{array}$

Sehingga luas CDE adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}luasCDE& =\frac{1}{2}\times EC\times DE\\ & =\frac{1}{2}\times 10\times 6\\ & =30\end{array}$

Jadi, luas CDE adalah $30c{m}^2$

Contoh soal 7

Pada gambar berikut, AC // DB

Jika $OA=4cm$, $OB=8cm$, dan $OD=10cm$, maka panjang $OC$ adalah ...

Jawab:

Dari gambar diatas dapat diketahui bahwa segitiga AOC sebangun dengan segitiga DOB. Sehingga dapat diperoleh panjang $OC$ sebagai berikut

$\begin{array}{rl}\frac{OA}{OB}& =\frac{OC}{OD}\\ \frac{4}{8}& =\frac{OC}{10}\\ 8.OC& =40\\ OC& =\frac{40}{8}\\ OC& =5\end{array}$

Jadi, panjang $OC$ adalah 5 cm

Contoh soal 8

Perhatikan gambar berikut

Pada gambar diatas, segitiga ABC kongruen dengan segitiga EDC, AC = $10$ cm, dan DE=$5\sqrt{3}$cm. Keliling EDC adalah ... cm

Jawab:

Karena segitiga ABC kongruen dengan segitiga EDC maka dapat diperoleh panjang EC = panjang AC = 10

Mencari panjang DC  

$\begin{array}{rl}D{C}^2& =E{C}^2-D{E}^2\\ D{C}^2& ={10}^2-(5\sqrt{3}{)}^2\\ DC& =\sqrt{25}\\ DC& =5\end{array}$

Sehingga dapat diperoleh keliling EDC adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}KelilingEDC& =DC+DE+EC\\ & =5+5\sqrt{3}+10\\ & =15+5\sqrt{3}\end{array}$

Jadi, keliling EDC adalah $15+5\sqrt{3}$ cm

Contoh soal 9

Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan gambar diatas, luas ADF adalah ...

Jawab:

Mencari panjang AC

$\begin{array}{rl}A{C}^2& =A{B}^2+B{C}^2\\ A{C}^2& =6^2+8^2\\ AC& =\sqrt{100}\\ AC& =10\end{array}$

Mencari panjang AF

Dari gambar dapat diketahui bahwa segitiga ABC sebangun dengan segitiga CFD. Sehingga

$\begin{array}{rl}\frac{AB}{CF}& =\frac{AC}{CD}\\ \frac{6}{CF}& =\frac{10}{6}\\ 10.CF& =36\\ CF& =\frac{36}{10}\end{array}$

Sehingga 

$\begin{array}{rl}AF& =AC-CF\\ & =10-\frac{36}{10}\\ & =\frac{64}{10}\end{array}$

Mencari panjang DF

Menggunakan prinsip kesebangunan segitiga ABC dan segitiga CFD dapat diperoleh panjang DF sebagai berikut

$\begin{array}{rl}\frac{BC}{DF}& =\frac{AC}{CD}\\ \frac{8}{DF}& =\frac{10}{6}\\ 10.DF& =48\\ DF& =\frac{48}{10}\end{array}$

Luas ADF adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}luasADF& =\frac{1}{2}\times AF\times DF\\ & =\frac{1}{2}\times \frac{64}{10}\times \frac{48}{10}\\ & =\frac{384}{25}\end{array}$

Contoh soal 10

Perhatikan belah ketupat ABCD berikut

Jika BD=$32$cm, DC=$20$cm, dan FC=$\frac{1}{3}$ OF. Luas BDF adalah...

Jawab:

Mencari panjang OC

$\begin{array}{rl}O{C}^2& =D{C}^2-O{D}^2\\ O{C}^2& ={20}^2-{16}^2\\ OC& =\sqrt{144}\\ OC& =12\end{array}$

Mencari panjang OF

$\begin{array}{rl}OC& =OF+FC\\ 12& =OF+\frac{1}{3}.OF\\ 12& =\frac{4}{3}.OF\\ OF& =\frac{12}{\frac{4}{3}}\\ & =9\end{array}$

Luas BDF adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}luasBDF& =\frac{1}{2}\times BD\times OF\\ & =\frac{1}{2}\times 32\times 9\\ & =144\end{array}$

Jadi, luas BDF adalah 144 $c{m}^2$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi kesebangunan dan kekongruenan matematika SMP. Semoga bermanfaat. 

Referensi

Djumanta, Wahyudin dan Dwi Susanti. 2008. Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk SMP/Mts Kelas IX. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.