Contoh Soal Hubungan Dua Lingkaran beserta Pembahasannya
Hubungan Dua Lingkaran
Jika lingkaran $L_1$ pusatnya $P_1$ dan jari-jarinya $R_1$ dan lingkaran $L_2$ pusatnya $P_2$ dan jari-jarinya $R_2$, maka hubungan $L_1$ dan $L_2$ adalah sebagai berikut.
$\bullet$ $L_1$ dan $L_2$ sepusat (konsentris), jika $P_1P_2=0$
$\bullet$ $L_1$ dan $L_2$ bersinggungan di dalam, jika $P_1P_2=|R_1-R_2|$
$\bullet$ $L_1$ di dalam $L_2$ atau $L_2$ di dalam $L_1$, jika $P_1P_2<|R_1-R_2|$
$\bullet$ $L_1$ dan $L_2$ bersinggungan di luar, jika $P_1P_2=|R_1+R_2|$
$\bullet$ $L_1$ dan $L_2$ berpotongan di dua titik, jika $|R_1-R_2|<P_1P_2<|R_1+R_2|$
$\bullet$ $L_1$ dan $L_2$ saling lepas (berada di luar), jika $P_1P_2>|R_1+R_2|$
Berikut ini beberapa contoh soal hubungan dua lingkaran beserta pembahasannya.
Contoh soal 1
Hubungan lingkaran $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$ dan $L_2:x^2+y^2-10x-8y+37=0$ adalah ...
Jawab:
Mencari pusat dan jari-jari lingkaran
$\bullet$ $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$
$ \text{Pusat lingkaran :}\ P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(5,4)$
$\begin{aligned} \text{Jari-jari lingkaran :}\ R_1&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.64 -25}\\ &= \sqrt{16} \\ &=4 \end{aligned}$
$\bullet$ $L_2:x^2+y^2-10x-8y+37=0$
$ \text{Pusat lingkaran :}\ P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(5,4)$
$\begin{aligned} \text{Jari-jari lingkaran :}\ R_2&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.64 -37}\\ &= \sqrt{4} \\ &=2 \end{aligned}$
Mencari jarak $P_1$ dan $P_2$
$\begin{aligned} P_1P_2 &=\sqrt{(5-5)^{2}+(4-4)^{2}} \\ &= \sqrt{(0)^{2}+(0)^{2}} \\ &= 0 \end{aligned}$
Kesimpulan: memenuhi $P_1P_2=0$ sehingga hubungan kedua lingkaran tersebut adalah $L_1$ dan $L_2$ sepusat (konsentris).
Berikut ini adalah ilustrasi gambarnya
Contoh soal 2
Hubungan lingkaran $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$ dan $L_2:x^2+y^2-14x-8y+61=0$ adalah ...
Jawab:
Mencari pusat dan jari-jari lingkaran
$\bullet$ $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$
$ \text{Pusat lingkaran :}\ P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(5,4)$
$\begin{aligned} \text{Jari-jari lingkaran :}\ R_1&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.64 -25}\\ &= \sqrt{16} \\ &=4 \end{aligned}$
$\bullet$ $L_2:x^2+y^2-14x-8y+61=0$
$ \text{Pusat lingkaran :}\ P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(7,4)$
$\begin{aligned} \text{Jari-jari lingkaran :}\ R_2&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}.196+\frac{1}{4}.64 -61}\\ &= \sqrt{4} \\ &=2 \end{aligned}$
Mencari jarak $P_1$ dan $P_2$
$\begin{aligned} P_1P_2 &=\sqrt{(7-5)^{2}+(4-4)^{2}} \\ &= \sqrt{(2)^{2}+(0)^{2}} \\ &= 2 \end{aligned}$
Kesimpulan: memenuhi $P_1P_2=|R_1-R_2|$ sehingga hubungan kedua lingkaran tersebut adalah $L_1$ dan $L_2$ bersinggungan di dalam
Berikut ini adalah ilustrasi gambarnya
Contoh soal 3
Hubungan lingkaran $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$ dan $L_2:x^2+y^2-14x-8y+64=0$ adalah ...
Jawab:
Mencari pusat dan jari-jari lingkaran
$\bullet$ $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$
$ \text{Pusat lingkaran :}\ P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(5,4)$
$\begin{aligned} \text{Jari-jari lingkaran :}\ R_1&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.64 -25}\\ &= \sqrt{16} \\ &=4 \end{aligned}$
$\bullet$ $L_2:x^2+y^2-14x-8y+64=0$
$ \text{Pusat lingkaran :}\ P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(7,4)$
$\begin{aligned} \text{Jari-jari lingkaran :}\ R_2&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}.196+\frac{1}{4}.64 -64}\\ &= \sqrt{1} \\ &=1 \end{aligned}$
Mencari jarak $P_1$ dan $P_2$
$\begin{aligned} P_1P_2 &=\sqrt{(7-5)^{2}+(4-4)^{2}} \\ &= \sqrt{(2)^{2}+(0)^{2}} \\ &= 2 \end{aligned}$
Kesimpulan: memenuhi $P_1P_2<|R_1-R_2|$ sehingga hubungan kedua lingkaran tersebut adalah $L_2$ di dalam $L_1$
Berikut ini adalah ilustrasi gambarnya
Contoh soal 4
Hubungan lingkaran $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$ dan $L_2:x^2+y^2-22x-8y+133=0$ adalah ...
Jawab:
Mencari pusat dan jari-jari lingkaran
$\bullet$ $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$
$ \text{Pusat lingkaran :}\ P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(5,4)$
$\begin{aligned} \text{Jari-jari lingkaran :}\ R_1&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.64 -25}\\ &= \sqrt{16} \\ &=4 \end{aligned}$
$\bullet$ $L_2:x^2+y^2-22x-8y+133=0$
$ \text{Pusat lingkaran :}\ P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(11,4)$
$\begin{aligned} \text{Jari-jari lingkaran :}\ R_2&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}.484+\frac{1}{4}.64 -133}\\ &= \sqrt{4} \\ &=2 \end{aligned}$
Mencari jarak $P_1$ dan $P_2$
$\begin{aligned} P_1P_2 &=\sqrt{(11-5)^{2}+(4-4)^{2}} \\ &= \sqrt{(6)^{2}+(0)^{2}} \\ &= 6 \end{aligned}$
Kesimpulan: memenuhi $P_1P_2=|R_1+R_2|$ sehingga hubungan kedua lingkaran tersebut adalah $L_1$ dan $L_2$ bersinggungan di luar
Berikut ini adalah ilustrasi gambarnya
Contoh soal 5
Hubungan lingkaran $L_1:x^2+y^2-10x-8y+37=0$ dan $L_2:x^2+y^2-14x-8y+61=0$ adalah ...
Jawab:
Mencari pusat dan jari-jari lingkaran
$\bullet$ $L_1:x^2+y^2-10x-8y+37=0$
$ \text{Pusat lingkaran :}\ P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(5,4)$
$\begin{aligned} \text{Jari-jari lingkaran :}\ R_1&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.64 -37}\\ &= \sqrt{4} \\ &=2 \end{aligned}$
$\bullet$ $L_2:x^2+y^2-14x-8y+61=0$
$ \text{Pusat lingkaran :}\ P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(7,4)$
$\begin{aligned} \text{Jari-jari lingkaran :}\ R_2&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}.196+\frac{1}{4}.64 -61}\\ &= \sqrt{4} \\ &=2 \end{aligned}$
Mencari jarak $P_1$ dan $P_2$
$\begin{aligned} P_1P_2 &=\sqrt{(7-5)^{2}+(4-4)^{2}} \\ &= \sqrt{(2)^{2}+(0)^{2}} \\ &= 2 \end{aligned}$
Kesimpulan: memenuhi $|R_1-R_2|<P_1P_2<|R_1+R_2|$ sehingga hubungan kedua lingkaran tersebut adalah $L_1$ dan $L_2$ berpotongan di dua titik
Berikut ini adalah ilustrasi gambarnya
Contoh soal 6
Hubungan lingkaran $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$ dan $L_2:x^2+y^2-22x-8y+136=0$ adalah ...
Jawab:
Mencari pusat dan jari-jari lingkaran
$\bullet$ $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$
$ \text{Pusat lingkaran :}\ P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(5,4)$
$\begin{aligned} \text{Jari-jari lingkaran :}\ R_1&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.64 -25}\\ &= \sqrt{16} \\ &=4 \end{aligned}$
$\bullet$ $L_2:x^2+y^2-22x-8y+136=0$
$ \text{Pusat lingkaran :}\ P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(11,4)$
$\begin{aligned} \text{Jari-jari lingkaran :}\ R_2&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}.484+\frac{1}{4}.64 -136}\\ &= \sqrt{1} \\ &=1 \end{aligned}$
Mencari jarak $P_1$ dan $P_2$
$\begin{aligned} P_1P_2 &=\sqrt{(11-5)^{2}+(4-4)^{2}} \\ &= \sqrt{(6)^{2}+(0)^{2}} \\ &= 6 \end{aligned}$
Kesimpulan: memenuhi $P_1P_2>|R_1+R_2|$ sehingga hubungan kedua lingkaran tersebut adalah $L_1$ dan $L_2$ saling lepas (berada di luar)
Berikut ini adalah ilustrasi gambarnya
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi hubungan dua lingkaran. Semoga bermanfaat.
Referensi:
Tim BBM. 2015. Big Book Matematika SMA Kelas 1, 2, dan 3. Jakarta: Cmedia.
