Contoh Soal Hubungan Dua Lingkaran beserta Pembahasannya

Hubungan Dua Lingkaran

Jika lingkaran $L_1$ pusatnya $P_1$ dan jari-jarinya $R_1$ dan lingkaran $L_2$ pusatnya $P_2$ dan jari-jarinya $R_2$, maka hubungan $L_1$ dan $L_2$ adalah sebagai berikut.

$\bullet$ $L_1$ dan $L_2$ sepusat (konsentris), jika $P_1{P}_2=0$ 

$\bullet$ $L_1$ dan $L_2$ bersinggungan di dalam, jika $P_1{P}_2=|R_1-R_2|$ 

$\bullet$ $L_1$ di dalam $L_2$ atau $L_2$ di dalam $L_1$, jika $P_1{P}_2<|R_1-R_2|$ 

$\bullet$ $L_1$ dan $L_2$ bersinggungan di luar, jika $P_1{P}_2=|R_1+R_2|$ 

$\bullet$ $L_1$ dan $L_2$ berpotongan di dua titik, jika $|R_1-R_2|<P_1{P}_2<|R_1+R_2|$ 

$\bullet$ $L_1$ dan $L_2$ saling lepas (berada di luar), jika $P_1{P}_2>|R_1+R_2|$ 

Berikut ini beberapa contoh soal hubungan dua lingkaran beserta pembahasannya.

Contoh soal 1

Hubungan lingkaran $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$ dan $L_2:x^2+y^2-10x-8y+37=0$ adalah ...

Jawab:

Mencari pusat dan jari-jari lingkaran

$\bullet$ $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$

$\text{Pusat lingkaran :}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(5,4)$ 

$\begin{array}{rl}\text{Jari-jari lingkaran :}{R}_1& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.64-25}\\ & =\sqrt{16}\\ & =4\end{array}$

$\bullet$ $L_2:x^2+y^2-10x-8y+37=0$

$\text{Pusat lingkaran :}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(5,4)$ 

$\begin{array}{rl}\text{Jari-jari lingkaran :}{R}_2& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.64-37}\\ & =\sqrt{4}\\ & =2\end{array}$

Mencari jarak $P_1$ dan $P_2$

$\begin{array}{rl}{P}_1{P}_2& =\sqrt{(5-5{)}^2+(4-4{)}^2}\\ & =\sqrt{(0{)}^2+(0{)}^2}\\ & =0\end{array}$

Kesimpulan: memenuhi $P_1{P}_2=0$ sehingga hubungan kedua lingkaran tersebut adalah $L_1$ dan $L_2$ sepusat (konsentris).

Berikut ini adalah ilustrasi gambarnya

Contoh soal 2

Hubungan lingkaran $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$ dan $L_2:x^2+y^2-14x-8y+61=0$ adalah ...

Jawab:

Mencari pusat dan jari-jari lingkaran

$\bullet$ $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$

$\text{Pusat lingkaran :}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(5,4)$ 

$\begin{array}{rl}\text{Jari-jari lingkaran :}{R}_1& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.64-25}\\ & =\sqrt{16}\\ & =4\end{array}$

$\bullet$ $L_2:x^2+y^2-14x-8y+61=0$

$\text{Pusat lingkaran :}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(7,4)$ 

$\begin{array}{rl}\text{Jari-jari lingkaran :}{R}_2& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}.196+\frac{1}{4}.64-61}\\ & =\sqrt{4}\\ & =2\end{array}$

Mencari jarak $P_1$ dan $P_2$

$\begin{array}{rl}{P}_1{P}_2& =\sqrt{(7-5{)}^2+(4-4{)}^2}\\ & =\sqrt{(2{)}^2+(0{)}^2}\\ & =2\end{array}$

Kesimpulan: memenuhi $P_1{P}_2=|R_1-R_2|$ sehingga hubungan kedua lingkaran tersebut adalah $L_1$ dan $L_2$ bersinggungan di dalam

Berikut ini adalah ilustrasi gambarnya

Contoh soal 3

Hubungan lingkaran $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$ dan $L_2:x^2+y^2-14x-8y+64=0$ adalah ...

Jawab:

Mencari pusat dan jari-jari lingkaran

$\bullet$ $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$

$\text{Pusat lingkaran :}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(5,4)$ 

$\begin{array}{rl}\text{Jari-jari lingkaran :}{R}_1& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.64-25}\\ & =\sqrt{16}\\ & =4\end{array}$

$\bullet$ $L_2:x^2+y^2-14x-8y+64=0$ 

$\text{Pusat lingkaran :}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(7,4)$ 

$\begin{array}{rl}\text{Jari-jari lingkaran :}{R}_2& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}.196+\frac{1}{4}.64-64}\\ & =\sqrt{1}\\ & =1\end{array}$

Mencari jarak $P_1$ dan $P_2$

$\begin{array}{rl}{P}_1{P}_2& =\sqrt{(7-5{)}^2+(4-4{)}^2}\\ & =\sqrt{(2{)}^2+(0{)}^2}\\ & =2\end{array}$

Kesimpulan: memenuhi $P_1{P}_2<|R_1-R_2|$ sehingga hubungan kedua lingkaran tersebut adalah $L_2$ di dalam $L_1$ 

Berikut ini adalah ilustrasi gambarnya

Contoh soal 4

Hubungan lingkaran $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$ dan $L_2:x^2+y^2-22x-8y+133=0$ adalah ...

Jawab:

Mencari pusat dan jari-jari lingkaran

$\bullet$ $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$

$\text{Pusat lingkaran :}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(5,4)$ 

$\begin{array}{rl}\text{Jari-jari lingkaran :}{R}_1& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.64-25}\\ & =\sqrt{16}\\ & =4\end{array}$

$\bullet$ $L_2:x^2+y^2-22x-8y+133=0$ 

$\text{Pusat lingkaran :}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(11,4)$ 

$\begin{array}{rl}\text{Jari-jari lingkaran :}{R}_2& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}.484+\frac{1}{4}.64-133}\\ & =\sqrt{4}\\ & =2\end{array}$

Mencari jarak $P_1$ dan $P_2$

$\begin{array}{rl}{P}_1{P}_2& =\sqrt{(11-5{)}^2+(4-4{)}^2}\\ & =\sqrt{(6{)}^2+(0{)}^2}\\ & =6\end{array}$

Kesimpulan: memenuhi $P_1{P}_2=|R_1+R_2|$  sehingga hubungan kedua lingkaran tersebut adalah  $L_1$ dan $L_2$ bersinggungan di luar

Berikut ini adalah ilustrasi gambarnya

Contoh soal 5

Hubungan lingkaran $L_1:x^2+y^2-10x-8y+37=0$ dan $L_2:x^2+y^2-14x-8y+61=0$ adalah ...

Jawab:

Mencari pusat dan jari-jari lingkaran

$\bullet$ $L_1:x^2+y^2-10x-8y+37=0$

$\text{Pusat lingkaran :}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(5,4)$ 

$\begin{array}{rl}\text{Jari-jari lingkaran :}{R}_1& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.64-37}\\ & =\sqrt{4}\\ & =2\end{array}$

$\bullet$ $L_2:x^2+y^2-14x-8y+61=0$ 

$\text{Pusat lingkaran :}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(7,4)$ 

$\begin{array}{rl}\text{Jari-jari lingkaran :}{R}_2& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}.196+\frac{1}{4}.64-61}\\ & =\sqrt{4}\\ & =2\end{array}$

Mencari jarak $P_1$ dan $P_2$

$\begin{array}{rl}{P}_1{P}_2& =\sqrt{(7-5{)}^2+(4-4{)}^2}\\ & =\sqrt{(2{)}^2+(0{)}^2}\\ & =2\end{array}$

Kesimpulan: memenuhi $|R_1-R_2|<P_1{P}_2<|R_1+R_2|$   sehingga hubungan kedua lingkaran tersebut adalah  $L_1$ dan $L_2$ berpotongan di dua titik 

Berikut ini adalah ilustrasi gambarnya

Contoh soal 6

Hubungan lingkaran $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$ dan $L_2:x^2+y^2-22x-8y+136=0$ adalah ...

Jawab:

Mencari pusat dan jari-jari lingkaran

$\bullet$ $L_1:x^2+y^2-10x-8y+25=0$

$\text{Pusat lingkaran :}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(5,4)$ 

$\begin{array}{rl}\text{Jari-jari lingkaran :}{R}_1& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.64-25}\\ & =\sqrt{16}\\ & =4\end{array}$

$\bullet$ $L_2:x^2+y^2-22x-8y+136=0$ 

$\text{Pusat lingkaran :}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(11,4)$ 

$\begin{array}{rl}\text{Jari-jari lingkaran :}{R}_2& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}.484+\frac{1}{4}.64-136}\\ & =\sqrt{1}\\ & =1\end{array}$

Mencari jarak $P_1$ dan $P_2$

$\begin{array}{rl}{P}_1{P}_2& =\sqrt{(11-5{)}^2+(4-4{)}^2}\\ & =\sqrt{(6{)}^2+(0{)}^2}\\ & =6\end{array}$

Kesimpulan: memenuhi $P_1{P}_2>|R_1+R_2|$   sehingga hubungan kedua lingkaran tersebut adalah  $L_1$ dan $L_2$ saling lepas (berada di luar) 

Berikut ini adalah ilustrasi gambarnya

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi hubungan dua lingkaran. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

Tim BBM. 2015. Big Book Matematika SMA Kelas 1, 2, dan 3. Jakarta: Cmedia.