Contoh Soal Transformasi Geometri - Rotasi beserta Pembahasannya

Rotasi

Rotasi (perputaran) merupakan transformasi yang memutar suatu objek melalui suatu pusat dan sudut tertentu.

$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ dirotasikan sebesar $\alpha$ dengan titik pusat $O(0,0)$, maka akan diperoleh :

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ dirotasikan sebesar $\alpha$ dengan titik pusat $P(m,n)$, maka akan diperoleh :

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-m\\ y-n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right)$

$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ dirotasikan sebesar $\alpha$ dengan titik pusat $O(0,0)$. Kemudian dirotasi lagi sebesar $\beta$ dengan pusat yang sama, maka akan diperoleh :

$\left(\begin{array}{c}{x}^{″}\\ y^{″}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}cos(\alpha +\beta )& -sin(\alpha +\beta )\\ sin(\alpha +\beta )& cos(\alpha +\beta )\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ dirotasikan sebesar $\alpha$ dengan titik pusat $P(m,n)$. Kemudian dirotasi lagi sebesar $\beta$ dengan pusat yang sama, maka akan diperoleh :

$\left(\begin{array}{c}{x}^{″}\\ y^{″}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}cos(\alpha +\beta )& -sin(\alpha +\beta )\\ sin(\alpha +\beta )& cos(\alpha +\beta )\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-m\\ y-n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right)$

Berikut ini beberapa contoh soal transformasi rotasi dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Tentukanlah bayangan titik $V(5,2)$ yang dirotasi ${30}^{\circ }$ berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar $O(0,0)$

Jawab:

Diketahui : Titik $V(5,2)$ dirotasi sebesar $\alpha ={30}^{\circ }$ dengan pusat $O(0,0)$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}\cos {30}^{\circ }& -\sin {30}^{\circ }\\ \sin {30}^{\circ }& \cos {30}^{\circ }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\sqrt{3}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\sqrt{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{c}\frac{5}{2}\sqrt{3}-1\\ \frac{5}{2}+\sqrt{3}\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, bayangan titik $V$ adalah $V^{\prime }(\frac{5}{2}\sqrt{3}-1,\frac{5}{2}+\sqrt{3})$

Contoh soal 2

Tentukanlah bayangan titik $W(4,12)$ yang dirotasi ${90}^{\circ }$ searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar $A(2,2)$

Jawab:

Diketahui : Titik $W(4,12)$ dirotasi sebesar $\alpha =-{90}^{\circ }$(karena searah dengan arah perputaran jarum jam) dengan pusat $A(2,2)$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-m\\ y-n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}cos(-{90}^{\circ })& -sin(-{90}^{\circ })\\ sin(-{90}^{\circ })& cos(-{90}^{\circ })\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4-2\\ 12-2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}cos{90}^{\circ }& sin{90}^{\circ }\\ -sin{90}^{\circ }& cos{90}^{\circ }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 10\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 10\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{c}10\\ -2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{c}12\\ 0\end{array}\right)\end{array}$

Note: $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$, $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$

Jadi, bayangan titik $W$ adalah $W^{\prime }(12,0)$

Contoh soal 3

Tentukanlah bayangan titik $X(3,-4)$ yang dirotasi ${90}^{\circ }$ berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar $O(0,0)$. Kemudian, dilanjutkan dengan rotasi ${30}^{\circ }$ dengan arah dan pusat yang sama. 

Jawab:

Diketahui : Titik $X(3,-4)$ dirotasi sebesar $(\alpha +\beta )={90}^{\circ }+{30}^{\circ }={120}^{\circ }$ dengan pusat $O(0,0)$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}^{″}\\ y^{″}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}cos(\alpha +\beta )& -sin(\alpha +\beta )\\ sin(\alpha +\beta )& cos(\alpha +\beta )\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}cos{120}^{\circ }& -sin{120}^{\circ }\\ sin{120}^{\circ }& cos{120}^{\circ }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ -4\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \frac{1}{2}\sqrt{3}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ -4\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{c}-\frac{3}{2}+2\sqrt{3}\\ \frac{3}{2}\sqrt{3}+2\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, bayangan titik $X$ adalah $X^{″}(-\frac{3}{2}+2\sqrt{3},\frac{3}{2}\sqrt{3}+2)$

Contoh soal 4

Tentukanlah bayangan titik $Y(-6,-7)$ yang dirotasi ${45}^{\circ }$ searah dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar $B(-3,5)$. Kemudian, dilanjutkan dengan rotasi ${135}^{\circ }$ dengan arah dan pusat yang sama. 

Jawab:

Diketahui : Titik $Y(-6,-7)$ dirotasi sebesar $(\alpha +\beta )={45}^{\circ }+{135}^{\circ }={180}^{\circ }\to -{180}^{\circ }$(karena searah dengan arah perputaran jarum jam) dengan pusat $B(-3,5)$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}^{″}\\ y^{″}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}cos(\alpha +\beta )& -sin(\alpha +\beta )\\ sin(\alpha +\beta )& cos(\alpha +\beta )\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-m\\ y-n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}cos(-{180}^{\circ })& -sin(-{180}^{\circ })\\ sin(-{180}^{\circ })& cos(-{180}^{\circ })\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-6-(-3)\\ -7-5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}cos{180}^{\circ }& sin{180}^{\circ }\\ -sin{180}^{\circ }& cos{180}^{\circ }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-3\\ -12\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-3\\ -12\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{c}3\\ 12\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{c}0\\ 17\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, bayangan titik $Y$ adalah $Y^{″}(0,17)$

Contoh soal 5

Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik $A(5,0)$, $B(-10,0)$ dan $C(0,-15)$ yang dirotasi ${225}^{\circ }$ berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar $O(0,0)$.

Jawab:

Diketahui : Segitiga ABC dengan titik $A(5,0)$, $B(-10,0)$ dan $C(0,-15)$ dirotasi sebesar $\alpha ={225}^{\circ }$ dengan pusat $O(0,0)$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{ccc}{x_1}^{\prime }& {x_2}^{\prime }& {x_3}^{\prime }\\ {y_1}^{\prime }& {y_2}^{\prime }& {y_3}^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}\cos {225}^{\circ }& -\sin {225}^{\circ }\\ \sin {225}^{\circ }& \cos {225}^{\circ }\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}5& -10& 0\\ 0& 0& -15\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}\sqrt{2}& \frac{1}{2}\sqrt{2}\\ -\frac{1}{2}\sqrt{2}& -\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}5& -10& 0\\ 0& 0& -15\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{ccc}-\frac{5}{2}\sqrt{2}& 5\sqrt{2}& -\frac{15}{2}\sqrt{2}\\ -\frac{5}{2}\sqrt{2}& 5\sqrt{2}& \frac{15}{2}\sqrt{2}\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, diperoleh bayangannya yaitu segitiga $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ dengan titik sudut $A^{\prime }(-\frac{5}{2}\sqrt{2},-\frac{5}{2}\sqrt{2})$, $B^{\prime }(5\sqrt{2},5\sqrt{2})$, dan $C^{\prime }(-\frac{15}{2}\sqrt{2},\frac{15}{2}\sqrt{2})$

Contoh soal 6

Tentukanlah bayangan parabola $x^2+6y=0$ yang dirotasi $\frac{\pi }{3}$ berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat putar $C(4,2)$. Dilanjutkan dirotasi $\frac{\pi }{6}$ dengan pusat dan arah yang sama.

Jawab:

Diketahui : 

Persamaan parabola : $x^2+6y=0$ dirotasi sebesar $(\alpha +\beta )=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}={60}^{\circ }+{30}^{\circ }={90}^{\circ }$ dengan pusat $C(4,2)$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}^{″}\\ y^{″}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}cos(\alpha +\beta )& -sin(\alpha +\beta )\\ sin(\alpha +\beta )& cos(\alpha +\beta )\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-m\\ y-n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}cos90& -sin90\\ sin90& cos90\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-4\\ y-2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-4\\ y-2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{c}-y+2\\ x-4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{c}-y+6\\ x-2\end{array}\right)\end{array}$

Sehingga diperoleh

$x^{″}=-y+6\to y=6-x^{″}$

$y^{″}=x-2\to x=y^{″}+2$

Substitusi nilai $x$ dan $y$ pada persamaan $x^2+6y=0$ sehingga diperoleh

$\begin{array}{rl}{x}^2+6y& =0\\ (y^{″}+2{)}^2+6(6-x^{″})& =0\\ (y^{″}{)}^2+4y^{″}+4+36-6x^{″}& =0\\ (y^{″}{)}^2+4y^{″}-6x^{″}+40& =0\end{array}$

Jadi, bayangannya adalah $y^2+4y-6x+40=0$

Contoh soal 7

Bayangan titik $Z(x,y)$ yang dirotasi ${270}^{\circ }$ berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan pusat $O(0,0)$ adalah $Z(-2,1)$. Tentukanlah nilai dari $x-y$ 

Jawab:

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\\ \\ \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}\cos {270}^{\circ }& -\sin {270}^{\circ }\\ \sin {270}^{\circ }& \cos {270}^{\circ }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\\ \\ \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\\ \\ \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}y\\ -x\end{array}\right)\end{array}$

Sehingga diperoleh

$y=-2$

$x=-1$

Jadi, diperoleh titik $Z(-1,-2)$ sehingga nilai $x-y=-1+2=1$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi transformasi rotasi. Semoga bermanfaat. 

Referensi

E. S., Pesta  dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. 

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.