Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak SMA/MA beserta Pembahasannya
Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel
Untuk setiap $f(x)$ adalah fungsi linear dan $a$ adalah bilangan real, berlaku beberapa sifat berikut.
$\bullet$ Jika $a \geq 0$ dan $|f(x)| \leq a $ maka $ -a \leq f(x) \leq a $
$\bullet$ Jika $a > 0$ dan $|f(x)| \geq a $ maka $ f(x) \geq a $ atau $ f(x) \leq -a$
$\bullet$ Jika $a < 0$ dan $|f(x)| \leq a $ maka tidak ada bilangan real $x$ yang memenuhi pertidaksamaan.
Selain beberapa sifat diatas, kasus pertidaksamaan linear nilai mutlak juga dapat diselesaikan dengan menggunakan hubungan $|x|=\sqrt{x^{2}}$ (dengan mengkuadratkan kedua ruas). Untuk lebih jelasnya, berikut ini contoh-contoh soalnya.
Contoh Soal 1
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-5|<7$
Jawab:
$|2x-5|<7$
$ \Leftrightarrow -7<2x-5<7 $ (semua sisi ditambah 5)
$ \Leftrightarrow -7+5<2x<7+5 $
$ \Leftrightarrow 2<2x<12 $ (semua sisi dikali $\frac{1}{2}$)
$ \Leftrightarrow \frac{2}{2}< \frac{2x}{2} < \frac{12}{2} $
$ \Leftrightarrow 1<x<6 $
Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $1<x<6$
Contoh Soal 2
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x-5| \leq 7$
Jawab:
$|x-5| \leq 7$
$ \Leftrightarrow -7 \leq x-5 \leq 7 $ (semua sisi ditambah 5)
$ \Leftrightarrow -7+5 \leq x \leq7+5 $
$ \Leftrightarrow -2 \leq x \leq 12 $
Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $-2 \leq x \leq 12$
Contoh Soal 3
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-1| \geq 13$
Jawab:
Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\color{blue}{|2x-1| \geq 13}$ $ \rightarrow 2x-1 \geq 13 $ atau $ 2x-1 \leq -13$
Sehingga,
$2x-1 \geq 13$
$\Leftrightarrow 2x \geq 14$
$\Leftrightarrow x \geq 7$
atau
$ 2x-1 \leq -13$
$\Leftrightarrow 2x \leq -12$
$\Leftrightarrow x \leq -6$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $x \geq 7$ atau $x \leq -6$
Contoh Soal 4
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-5| \geq x+1$
Jawab:
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\color{blue}{|2x-5| \geq x+1}$ $ \rightarrow 2x-5 \geq x+1 $ atau $ 2x-5 \leq -(x+1)$
Sehingga,
$2x-5 \geq x+1$
$\Leftrightarrow 2x-x \geq 1+5$
$\Leftrightarrow x \geq 6$
atau
$ 2x-5 \leq -(x+1)$
$\Leftrightarrow 3x \leq 4$
$\Leftrightarrow x \leq \frac{4}{3}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $x \geq 6$ atau $x \leq \frac{4}{3}$
Atau bisa juga diselesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas. Sehingga bentuk penyelesaiannya sebagai berikut.
Ingat hubungan $|x|=\sqrt{x^{2}}$, sehingga
$|2x-5| \geq x+1$
$\Leftrightarrow (2x-5)^{2} \geq (x+1)^{2}$
$\Leftrightarrow (2x-5)^{2} - (x+1)^{2} \geq 0 $
$\Leftrightarrow ($ $\color{blue}{(2x-5)}$ $+$ $\color{red}{(x+1)}$ $) ($ $\color{blue}{(2x-5)}$ $-$ $\color{red}{(x+1)}$ $) \geq 0 $
$\Leftrightarrow (3x-4)(x-6) \geq 0 $
Pembuat nol: $x=\frac{4}{3}$ atau $x=6$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $x \geq 6$ atau $x \leq \frac{4}{3}$
Contoh Soal 5
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x+5| \leq x+7$
Jawab:
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\color{blue}{|2x+5| \leq x+7}$ $ \rightarrow -(x+7) \leq 2x+5 \leq x+7 $
$-(x+7) \leq 2x+5 \leq x+7 \Leftrightarrow -(x+7) \leq 2x+5$ dan $2x+5 \leq x+7 $
Sehingga,
$-(x+7) \leq 2x+5$
$\Leftrightarrow -x-7 \leq 2x+5$
$\Leftrightarrow -3x \leq 12$
$\Leftrightarrow x \geq -4$
atau
$2x+5 \leq x+7$
$\Leftrightarrow x \leq 2$
Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $-4 \leq x \leq 2$
Atau bisa juga diselesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas. Sehingga bentuk penyelesaiannya sebagai berikut.
$|2x+5| \leq x+7$
$\Leftrightarrow (2x+5)^{2} \leq (x+7)^{2}$
$\Leftrightarrow (2x+5)^{2} - (x+7)^{2} \leq 0 $
$\Leftrightarrow ($ $\color{blue}{(2x+5)}$ $+$ $\color{red}{(x+7)}$ $) ($ $\color{blue}{(2x+5)}$ $-$ $\color{red}{(x+7)}$ $) \leq 0 $
$\Leftrightarrow (3x+12)(x-2) \leq 0 $
Pembuat nol: $x=2$ atau $x=-4$
Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $-4 \leq x \leq 2$
Contoh Soal 6
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x+3| \leq |x-2|$
Jawab:
$|2x+3| \leq |x-2| $
$\Leftrightarrow (2x+3)^{2} \leq (x-2)^{2}$
$\Leftrightarrow (2x+3)^{2} - (x-2)^{2} \leq 0 $
$\Leftrightarrow ($ $\color{blue}{(2x+3)}$ $+$ $\color{red}{(x-2)}$ $) ($ $\color{blue}{(2x+3)}$ $-$ $\color{red}{(x-2)}$ $) \leq 0 $
$\Leftrightarrow (3x+1)(x+5) \leq 0 $
Pembuat nol: $x= -\frac{1}{3}$ atau $x=-5$
Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $-5 \leq x \leq -\frac{1}{3}$
Contoh Soal 7
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x+3| \geq |x-3|$
Jawab:
$|2x+3| \geq |x-3|$
$\Leftrightarrow (2x+3)^{2} \geq (x-3)^{2}$
$\Leftrightarrow (2x+3)^{2} - (x-3)^{2} \geq 0 $
$\Leftrightarrow ($ $\color{blue}{(2x+3)}$ $+$ $\color{red}{(x-3)}$ $) ($ $\color{blue}{(2x+3)}$ $-$ $\color{red}{(x-3)}$ $) \geq 0 $
$\Leftrightarrow (3x)(x+6) \geq 0 $
Pembuat nol: $x=0$ atau $x=-6$
Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $x \leq -6$ atau $x \geq 0$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi pertidaksamaan nilai mutlak. Semoga bermanfaat.
Baca juga :
Referensi
Sinaga, Bornok, dkk. 2017. Matematika Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.
