Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak SMA/MA beserta Pembahasannya

Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Untuk setiap $f(x)$ adalah fungsi linear dan $a$ adalah bilangan real, berlaku beberapa sifat berikut.

$\bullet$ Jika $a\ge 0$ dan $|f(x)|\le a$ maka $-a\le f(x)\le a$

$\bullet$ Jika $a>0$ dan $|f(x)|\ge a$ maka $f(x)\ge a$ atau $f(x)\le -a$

$\bullet$ Jika $a<0$ dan $|f(x)|\le a$ maka tidak ada bilangan real $x$ yang memenuhi pertidaksamaan.

Selain beberapa sifat diatas, kasus pertidaksamaan linear nilai mutlak juga dapat diselesaikan dengan menggunakan hubungan $|x|=\sqrt{x^2}$ (dengan mengkuadratkan kedua ruas). Untuk lebih jelasnya, berikut ini contoh-contoh soalnya.

Contoh Soal 1

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-5|<7$

Jawab:

$|2x-5|<7$ 

$\iff -7<2x-5<7$ (semua sisi ditambah 5)

$\iff -7+5<2x<7+5$

$\iff 2<2x<12$ (semua sisi dikali $\frac{1}{2}$)

$\iff \frac{2}{2}<\frac{2x}{2}<\frac{12}{2}$

$\iff 1<x<6$

Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $1<x<6$

Contoh Soal 2

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x-5|\le 7$

Jawab:

$|x-5|\le 7$ 

$\iff -7\le x-5\le 7$ (semua sisi ditambah 5)

$\iff -7+5\le x\le 7+5$

$\iff -2\le x\le 12$ 

Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $-2\le x\le 12$

Contoh Soal 3

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-1|\ge 13$

Jawab:

Berdasarkan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh

$|2x-1|\ge 13$ $\to 2x-1\ge 13$ atau $2x-1\le -13$  

Sehingga,

$2x-1\ge 13$

$\iff 2x\ge 14$

$\iff x\ge 7$

atau

$2x-1\le -13$

$\iff 2x\le -12$

$\iff x\le -6$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $x\ge 7$ atau $x\le -6$

Contoh Soal 4

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-5|\ge x+1$

Jawab:

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh

$|2x-5|\ge x+1$ $\to 2x-5\ge x+1$ atau $2x-5\le -(x+1)$  

Sehingga,

$2x-5\ge x+1$

$\iff 2x-x\ge 1+5$

$\iff x\ge 6$

atau

$2x-5\le -(x+1)$

$\iff 3x\le 4$

$\iff x\le \frac{4}{3}$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $x\ge 6$ atau $x\le \frac{4}{3}$

Atau bisa juga diselesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas. Sehingga bentuk penyelesaiannya sebagai berikut.

Ingat hubungan $|x|=\sqrt{x^2}$, sehingga

$|2x-5|\ge x+1$

$\iff (2x-5{)}^2\ge (x+1{)}^2$

$\iff (2x-5{)}^2-(x+1{)}^2\ge 0$

$\iff ($ $(2x-5)$ $+$ $(x+1)$ $)($ $(2x-5)$ $-$ $(x+1)$ $)\ge 0$

$\iff (3x-4)(x-6)\ge 0$

Pembuat nol: $x=\frac{4}{3}$ atau $x=6$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $x\ge 6$ atau $x\le \frac{4}{3}$

Contoh Soal 5

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x+5|\le x+7$

Jawab:

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh

$|2x+5|\le x+7$ $\to -(x+7)\le 2x+5\le x+7$  

$-(x+7)\le 2x+5\le x+7\iff -(x+7)\le 2x+5$ dan $2x+5\le x+7$

Sehingga,

$-(x+7)\le 2x+5$

$\iff -x-7\le 2x+5$

$\iff -3x\le 12$

$\iff x\ge -4$

atau

$2x+5\le x+7$

$\iff x\le 2$

Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $-4\le x\le 2$

Atau bisa juga diselesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas. Sehingga bentuk penyelesaiannya sebagai berikut.

$|2x+5|\le x+7$

$\iff (2x+5{)}^2\le (x+7{)}^2$

$\iff (2x+5{)}^2-(x+7{)}^2\le 0$

$\iff ($ $(2x+5)$ $+$ $(x+7)$ $)($ $(2x+5)$ $-$ $(x+7)$ $)\le 0$

$\iff (3x+12)(x-2)\le 0$

Pembuat nol: $x=2$ atau $x=-4$

Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $-4\le x\le 2$

Contoh Soal 6

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x+3|\le |x-2|$

Jawab:

$|2x+3|\le |x-2|$

$\iff (2x+3{)}^2\le (x-2{)}^2$

$\iff (2x+3{)}^2-(x-2{)}^2\le 0$

$\iff ($ $(2x+3)$ $+$ $(x-2)$ $)($ $(2x+3)$ $-$ $(x-2)$ $)\le 0$

$\iff (3x+1)(x+5)\le 0$

Pembuat nol: $x=-\frac{1}{3}$ atau $x=-5$

Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $-5\le x\le -\frac{1}{3}$

Contoh Soal 7

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|2x+3|\ge |x-3|$

Jawab:

$|2x+3|\ge |x-3|$

$\iff (2x+3{)}^2\ge (x-3{)}^2$

$\iff (2x+3{)}^2-(x-3{)}^2\ge 0$

$\iff ($ $(2x+3)$ $+$ $(x-3)$ $)($ $(2x+3)$ $-$ $(x-3)$ $)\ge 0$

$\iff (3x)(x+6)\ge 0$ 

Pembuat nol: $x=0$ atau $x=-6$

Jadi, interval nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $x\le -6$ atau $x\ge 0$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi pertidaksamaan nilai mutlak. Semoga bermanfaat.

Baca juga :

Contoh Soal Persamaan Nilai Mutlak SMA/MA beserta Pembahasannya

Referensi

Sinaga, Bornok, dkk. 2017. Matematika Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.