Contoh Soal Persamaan Nilai Mutlak SMA/MA beserta Pembahasannya
Definisi Nilai Mutlak
Misalkan $x$ bilangan real, nilai mutlak $x$ didefinisikan sebagai berikut.
$|x| = \begin{cases} x,&\text{jika}~x \geq 0 \\ -x,&\text{jika}~x < 0 \end{cases}$
Secara sederhananya, nilai mutlak suatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif tersebut.
Contoh penerapan definisi diatas adalah sebagai berikut.
$|8|=8$, sebab $8 > 0$
$|-8|= -(-8) = 8$, sebab $-8 < 0$
Contoh Soal 1
Tentukan nilai dari $|-5+1|-|-(-3)|$
Jawab:
$\begin{aligned} \left| \color{black}{-5 + 1} \right| - \left| \color{black}{-(-3)} \right| &= \left| \color{black}{-4} \right| - \left| \color{black}{3} \right| \\ &= 4-3 \\ &= 1 \end{aligned}$
Contoh Soal 2
Tentukan nilai dari $|7-15|-|3-4|$
Jawab:
$\begin{aligned} \left| \color{black}{7 - 15} \right| - \left| \color{black}{3-4} \right| &= \left| \color{black}{-8} \right| - \left| \color{black}{-1} \right| \\ &= 8-1 \\ &= 7 \end{aligned}$
Contoh Soal 3
Tentukan nilai dari $|3 \times (-5)|-|12 - 4|$
Jawab:
$\begin{aligned} \left| \color{black}{3 \times (-5)} \right| - \left| \color{black}{12 - 4} \right| &= \left| \color{black}{-15} \right| - \left| \color{black}{8} \right| \\ &= 15-8 \\ &= 7 \end{aligned}$
Contoh Soal 4
Tentukan nilai dari $|\frac{1}{n+2} - 3n|$, $n$ bilangan asli
Jawab:
Karena $\frac{1}{n+2} < 3n$ maka $\frac{1}{n+2} - 3n$ bernilai negatif. Sehingga,
$\begin{aligned} \left| \frac{1}{n+2} - 3n \right| &= -\left(\frac{1}{n+2} - 3n\right) \\ &= -\frac{1}{n+2} + 3n \end{aligned}$
Contoh Soal 5
Tentukan nilai dari $|2n-2^{-n}|$, $n$ bilangan asli
Jawab:
Karena $2n > 2^{-n} $ maka $2n-2^{-n}$ bernilai positif. Sehingga,
$\begin{aligned} \left| 2n-2^{-n} \right| &= 2n-2^{-n} \end{aligned}$
Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel
Contoh Soal 6
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|x+4|=4$
Jawab:
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$|x+4| = \begin{cases} x+4,&\text{jika}~x \geq -4 \\ -(x+4),&\text{jika}~x < -4 \end{cases}$
Sehingga,
$|x+4| =4$
$ \Leftrightarrow x+4=4$ atau $-(x+4)=4$
$ \Leftrightarrow x=4-4$ atau $-x-4=4 $
$ \Leftrightarrow x=0$ atau $x=-8 $
Atau bisa pula dikerjakan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas. Sehingga bentuknya menjadi,
$|x+4|=4$
$\Leftrightarrow (x+4)^{2}=(4)^{2}$
$\Leftrightarrow (x+4)^{2}-(4)^{2}=0$
$\Leftrightarrow \left ( \color{red}{\left (x+4\right )} + \color{blue}{4}\right ) \left ( \color{red}{\left (x+4\right )} - \color{blue}{4}\right )=0$
$\Leftrightarrow (x+8)(x)=0$
$\Leftrightarrow x = -8$ atau $x=0$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=0$ atau $x=-8$
Contoh Soal 7
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|2x+1|=3$
Jawab:
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$|2x+1| = \begin{cases} 2x+1,&\text{jika}~x \geq -\frac{1}{2} \\ -(2x+1),&\text{jika}~x < -\frac{1}{2} \end{cases}$
Sehingga,
$|2x+1| =3$
$ \Leftrightarrow 2x+1=3$ atau $-(2x+1)=3$
$ \Leftrightarrow 2x=3-1$ atau $-2x-1=3 $
$ \Leftrightarrow 2x=2$ atau $-2x=4 $
$ \Leftrightarrow x=1$ atau $x=-2 $
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=1$ atau $x=-2$
Contoh Soal 8
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $-4|2x+3|-6=10$
Jawab:
$\begin{aligned} -4|2x+3|-6=10 &\Leftrightarrow -4|2x+3| =16 \\ &\Leftrightarrow |2x+3| = -4 \end{aligned}$
Bentuk $ |2x+3| = -4$ bukan suatu persamaan, sebab tidak ada $x$ bilangan real yang memenuhi persamaan, sehingga $ |2x+3| = -4$
Contoh Soal 9
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|2x-1|=4x+5$
Jawab:
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$|2x-1| = \begin{cases} 2x-1,&\text{jika}~x \geq \frac{1}{2} \\ -(2x-1),&\text{jika}~x < \frac{1}{2} \end{cases}$
$\bullet$ untuk $x \geq \frac{1}{2}$
$\begin{aligned} |2x-1|=4x+5 &\Leftrightarrow 2x-1 = 4x+5 \\ &\Leftrightarrow 2x = -6 \\ &\Leftrightarrow x = - 3 \end{aligned}$
(karena $x \geq \frac{1}{2}$ maka $x=-3$ tidak memenuhi persamaan)
$\bullet$ untuk $x < \frac{1}{2}$
$\begin{aligned} |2x-1|=4x+5 &\Leftrightarrow -(2x-1) = 4x+5 \\ &\Leftrightarrow -2x+1 = 4x+ 5 \\ &\Leftrightarrow 6x = -4 \\ &\Leftrightarrow x = - \frac{4}{6} \end{aligned}$
(karena $x < \frac{1}{2}$ maka $x=- \frac{4}{6}$ memenuhi persamaan)
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=-\frac{4}{6}$
Contoh Soal 10
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|3x+2|=|2x-3|$
Jawab:
Persamaan diatas bisa diselesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas. Sehingga bentuknya menjadi,
$|3x+2|=|2x-3|$
$\Leftrightarrow (3x+2)^{2}=(2x-3)^{2}$
$\Leftrightarrow (3x+2)^{2}-(2x-3)^{2}=0$
$\Leftrightarrow ((3x+2)+(2x-3)) ((3x+2)-(2x-3))=0$
$\Leftrightarrow (5x-1)(x+5)=0$
$\Leftrightarrow 5x-1 = 0$ atau $x+5=0$
$\Leftrightarrow x= \frac{1}{5}$ atau $x=-5$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=\frac{1}{5}$ atau $x=-5$
Contoh Soal 11
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|x-2|+|2x-6|=5$
Jawab:
$|2x-6| = \begin{cases} 2x-6,&\text{jika}~\color{blue}{x \geq 3} \\ -2x+6,&\text{jika}~\color{red}{x < 3} \end{cases}$
$|x-2| = \begin{cases} x-2,&\text{jika}~\color{red}{x \geq 2} \\ -x+2,&\text{jika}~\color{green}{x < 2} \end{cases}$
$\bullet$ untuk $\color{green}{x < 2}$
$\begin{aligned} |x-2| + |2x-6| = 5 &\Leftrightarrow -x+2 -2x+6=5 \\ &\Leftrightarrow -3x+8 = 5 \\ &\Leftrightarrow x = 1 \end{aligned}$
(karena $x < 2$ maka $x=1$ memenuhi persamaan)
$\bullet$ untuk $\color{red}{2 \leq x < 3}$
$\begin{aligned} |x-2| + |2x-6| = 5 &\Leftrightarrow x-2 -2x+6=5 \\ &\Leftrightarrow -x+4 = 5 \\ &\Leftrightarrow x = -1 \end{aligned}$
(karena $2 \leq x < 3$ maka $x=-1$ tidak memenuhi persamaan)
$\bullet$ untuk $\color{blue}{x \geq 3}$
$\begin{aligned} |x-2| + |2x-6| = 5 &\Leftrightarrow x-2 +2x-6=5 \\ &\Leftrightarrow 3x-8 = 5 \\ &\Leftrightarrow x = \frac{13}{3} \end{aligned}$
(karena $x \geq 3$ maka $x = \frac{13}{3}$ memenuhi persamaan)
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=1$ atau $x=\frac{13}{3}$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan nilai mutlak. Semoga bermanfaat.
Referensi
Sinaga, Bornok, dkk. 2017. Matematika Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.
