Contoh Soal Persamaan Nilai Mutlak SMA/MA beserta Pembahasannya

Definisi Nilai Mutlak

Misalkan $x$ bilangan real, nilai mutlak $x$ didefinisikan sebagai berikut.

$|x|=\{\begin{array}{ll}x,& \text{jika}x\ge 0\\ -x,& \text{jika}x<0\end{array}$

Secara sederhananya, nilai mutlak suatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif tersebut.

Contoh penerapan definisi diatas adalah sebagai berikut.

$|8|=8$, sebab $8>0$

$|-8|=-(-8)=8$, sebab $-8<0$

Contoh Soal 1

Tentukan nilai dari $|-5+1|-|-(-3)|$

Jawab:

$\begin{array}{rl}\left|-5+1\right|-\left|-(-3)\right|& =\left|-4\right|-\left|3\right|\\ & =4-3\\ & =1\end{array}$

Contoh Soal 2

Tentukan nilai dari $|7-15|-|3-4|$

Jawab:

$\begin{array}{rl}\left|7-15\right|-\left|3-4\right|& =\left|-8\right|-\left|-1\right|\\ & =8-1\\ & =7\end{array}$

Contoh Soal 3

Tentukan nilai dari $|3\times (-5)|-|12-4|$

Jawab:

$\begin{array}{rl}\left|3\times (-5)\right|-\left|12-4\right|& =\left|-15\right|-\left|8\right|\\ & =15-8\\ & =7\end{array}$

Contoh Soal 4

Tentukan nilai dari $|\frac{1}{n+2}-3n|$, $n$ bilangan asli

Jawab:

Karena $\frac{1}{n+2}<3n$ maka $\frac{1}{n+2}-3n$ bernilai negatif. Sehingga,

$\begin{array}{rl}|\frac{1}{n+2}-3n|& =-(\frac{1}{n+2}-3n)\\ & =-\frac{1}{n+2}+3n\end{array}$ 

Contoh Soal 5

Tentukan nilai dari $|2n-2^{-n}|$, $n$ bilangan asli

Jawab:

Karena $2n>2^{-n}$ maka $2n-2^{-n}$ bernilai positif. Sehingga,

$\begin{array}{rl}|2n-2^{-n}|& =2n-2^{-n}\end{array}$ 

Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Contoh Soal 6

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|x+4|=4$

Jawab:

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh

$|x+4|=\{\begin{array}{ll}x+4,& \text{jika}x\ge -4\\ -(x+4),& \text{jika}x<-4\end{array}$

Sehingga,

$|x+4|=4$ 

$\iff x+4=4$ atau $-(x+4)=4$

$\iff x=4-4$ atau $-x-4=4$

$\iff x=0$ atau $x=-8$

Atau bisa pula dikerjakan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas. Sehingga bentuknya menjadi,

$|x+4|=4$

$\iff (x+4{)}^2=(4{)}^2$

$\iff (x+4{)}^2-(4{)}^2=0$

$\iff \left((x+4)+4\right)\left((x+4)-4\right)=0$ 

$\iff (x+8)(x)=0$

$\iff x=-8$ atau $x=0$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=0$ atau $x=-8$

Contoh Soal 7

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|2x+1|=3$

Jawab:

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh

$|2x+1|=\{\begin{array}{ll}2x+1,& \text{jika}x\ge -\frac{1}{2}\\ -(2x+1),& \text{jika}x<-\frac{1}{2}\end{array}$

Sehingga,

$|2x+1|=3$ 

$\iff 2x+1=3$ atau $-(2x+1)=3$

$\iff 2x=3-1$ atau $-2x-1=3$

$\iff 2x=2$ atau $-2x=4$

$\iff x=1$ atau $x=-2$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=1$ atau $x=-2$

Contoh Soal 8

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $-4|2x+3|-6=10$

Jawab:

$\begin{array}{rl}-4|2x+3|-6=10& \iff -4|2x+3|=16\\ & \iff |2x+3|=-4\end{array}$

Bentuk $|2x+3|=-4$ bukan suatu persamaan, sebab tidak ada $x$ bilangan real yang memenuhi persamaan, sehingga $|2x+3|=-4$

Contoh Soal 9

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|2x-1|=4x+5$

Jawab:

Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh

$|2x-1|=\{\begin{array}{ll}2x-1,& \text{jika}x\ge \frac{1}{2}\\ -(2x-1),& \text{jika}x<\frac{1}{2}\end{array}$

$\bullet$ untuk $x\ge \frac{1}{2}$

$\begin{array}{rl}|2x-1|=4x+5& \iff 2x-1=4x+5\\ & \iff 2x=-6\\ & \iff x=-3\end{array}$

(karena $x\ge \frac{1}{2}$ maka $x=-3$ tidak memenuhi persamaan)

$\bullet$ untuk $x<\frac{1}{2}$

$\begin{array}{rl}|2x-1|=4x+5& \iff -(2x-1)=4x+5\\ & \iff -2x+1=4x+5\\ & \iff 6x=-4\\ & \iff x=-\frac{4}{6}\end{array}$ 

(karena $x<\frac{1}{2}$ maka $x=-\frac{4}{6}$ memenuhi persamaan)

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=-\frac{4}{6}$

Contoh Soal 10

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|3x+2|=|2x-3|$

Jawab:

Persamaan diatas bisa diselesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas. Sehingga bentuknya menjadi,

$|3x+2|=|2x-3|$

$\iff (3x+2{)}^2=(2x-3{)}^2$

$\iff (3x+2{)}^2-(2x-3{)}^2=0$

$\iff ((3x+2)+(2x-3))((3x+2)-(2x-3))=0$ 

$\iff (5x-1)(x+5)=0$

$\iff 5x-1=0$ atau $x+5=0$

$\iff x=\frac{1}{5}$ atau $x=-5$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=\frac{1}{5}$ atau $x=-5$

Contoh Soal 11

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|x-2|+|2x-6|=5$

Jawab:

$|2x-6|=\{\begin{array}{ll}2x-6,& \text{jika}x\ge 3\\ -2x+6,& \text{jika}x<3\end{array}$

$|x-2|=\{\begin{array}{ll}x-2,& \text{jika}x\ge 2\\ -x+2,& \text{jika}x<2\end{array}$

$\bullet$ untuk $x<2$

$\begin{array}{rl}|x-2|+|2x-6|=5& \iff -x+2-2x+6=5\\ & \iff -3x+8=5\\ & \iff x=1\end{array}$ 

(karena $x<2$ maka $x=1$ memenuhi persamaan)

$\bullet$ untuk $2\le x<3$

$\begin{array}{rl}|x-2|+|2x-6|=5& \iff x-2-2x+6=5\\ & \iff -x+4=5\\ & \iff x=-1\end{array}$ 

(karena $2\le x<3$ maka $x=-1$ tidak memenuhi persamaan)

$\bullet$ untuk $x\ge 3$

$\begin{array}{rl}|x-2|+|2x-6|=5& \iff x-2+2x-6=5\\ & \iff 3x-8=5\\ & \iff x=\frac{13}{3}\end{array}$ 

(karena $x\ge 3$ maka $x=\frac{13}{3}$ memenuhi persamaan)

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=1$ atau $x=\frac{13}{3}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan nilai mutlak. Semoga bermanfaat.

Referensi

Sinaga, Bornok, dkk. 2017. Matematika Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.