Cara Menentukan Determinan dan Invers Matriks Ordo 3x3
Determinan Matriks Ordo 3x3
Determinan matriks ordo 3x3 dapat dicari dengan beberapa cara, diantaranya yaitu :
$1).$ Dengan Metode Sarrus
$2).$ Dengan Ekspansi Kofaktor
$\bullet$ Metode Sarrus
Jika $A = \begin{pmatrix}a & b & c\\d & e & f\\ g & h & i\end{pmatrix}$, maka determinan matriks $A$ dapat ditentukan dengan cara menuliskan kembali elemen-elemen pada kolom pertama dan kedua disebelah kanan elemen kolom ketiga. Lalu dilakukan perhitungan seperti gambar berikut
$ |A| = \color{blue}{aei} + \color{blue}{bfg}+ \color{blue}{cdh}-\color{red}{ceg}-\color{red}{afh}-\color{red}{bdi}$
Untuk lebih jelasnya, berikut ini contoh soal mencari determinan matriks ordo 3x3 dengan metode Sarrus.
Contoh soal 1
Jika $B = \begin{pmatrix}~3 & 2 & 1~\\ ~1 & 2 & 4~\\~5 & 3 & 2~\end{pmatrix}$, maka $\det~B $ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} |B| &= \begin{vmatrix}~3 & 2 & 1~\\ ~1 & 2 & 4~\\~5 & 3 & 2~ \end{vmatrix}\begin{matrix}~3 & 2\\ ~1 & 2\\~5 & 3 \end{matrix}\\ \\ &= 3.2.2+2.4.5+1.1.3-1.2.5-3.4.3-2.1.2 \\ &= 12+40+3-10-36-4 \\&= 5 \end{aligned}$
Jadi, $ |B|=5$
$\bullet$ Ekspansi Kofaktor
Misal diketahui matriks $A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$, maka nilai determinan matriks $A$ merupakan hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen suatu baris atau kolom dengan kofaktornya.
Yang mana, kofaktor matriks $A$ adalah $kof~(A)= \begin{pmatrix}K_{11} & K_{12} & K_{13}\\K_{21} & K_{22} & K_{23}\\ K_{31} & K_{32} & K_{33}\end{pmatrix} $
$K_{ij}$ diperoleh dari $(-1)^{i+j} ~ M_{ij} $
$K_{ij}$ merupakan kofaktor elemen $a_{ij}$
$M_{ij}$ merupakan minor elemen $a_{ij}$
*Untuk cara menentukan minor dan kofaktor matriks ordo 3x3 bisa dibaca disini.
Misal kita pilih baris pertama, maka determinan matriks $A$ dapat dihitung sebagai berikut.
$\begin{aligned} det~A &= a_{11} ~K_{11}+a_{12} ~K_{12}+a_{13} ~K_{13} \\ &= a_{11} ~(-1)^{1+1}~ M_{11} +a_{12} ~(-1)^{1+2}~ M_{12} +a_{13} ~(-1)^{1+3}~ M_{13} \\ &= a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \end{aligned}$
Sebagai contoh, akan kita kerjakan soal yang sama seperti contoh soal 1 diatas tetapi diselesaikan dengan cara ekspansi kofaktor.
Contoh soal 2
Jika $B = \begin{pmatrix}~3 & 2 & 1~\\ ~1 & 2 & 4~\\~5 & 3 & 2~\end{pmatrix}$, maka $\det~B $ adalah ...
Jawab:
Misal kita pilih baris pertama, maka diperoleh
$\begin{aligned} det~A &= 3\begin{vmatrix} 2 & 4\\ 3 & 2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 5 & 2 \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ &=3(4-12)-2(2-20)+(3-10)\\ &=-24+36-7\\ &=5 \end{aligned}$
Jadi, $ |B|=5$
Invers Matriks Ordo 3x3
Invers matriks ordo 3x3 dapat dicari dengan beberapa cara, diantaranya yaitu dengan adjoint dan operasi baris elementer. Namun untuk bahasan kali ini, hanya akan kita bahas dengan cara adjoint saja.
Jika $A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$, maka invers matriks $A$ adalah $\begin{aligned} A^{-1} &= \dfrac{1}{det~A} \cdot adjoint~A \end{aligned}$
$\bullet$ $det~A$ bisa dicari dengan metode Sarrus atau dengan ekspansi kofaktor.
$\bullet$ $adjoint~A=(kof(A))^{T}$
$\bullet$ $kof~(A)^{T}= \begin{pmatrix}K_{11} & K_{21} & K_{31}\\K_{12} & K_{22} & K_{32}\\ K_{13} & K_{23} & K_{33}\end{pmatrix} $
Berikut ini contoh soalnya.
Contoh soal 3
Diketahui $A = \begin{pmatrix}~4 & 1 & 3~\\ ~3 & 2 & 2~\\~2 & 2 & 4~\end{pmatrix}$ maka $A^{-1}$ adalah ...
Jawab:
$\bullet$ Mencari determinan $A$
Dengan cara ekspansi kofaktor baris ketiga
$\begin{aligned} det~A &= 2\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 4 & 3\\ 3 & 2 \end{vmatrix}+4\begin{vmatrix} 4 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix}\\ &=2(2-6)-2(8-9)-4(8-3)\\ &=-8+2-20 \\ &=-26 \end{aligned}$
$\bullet$ Mencari adjoint $A$
$kof~(A)= \begin{pmatrix}4 & -8 & 2\\2 & 10 & -6\\ -4 & 1 & 5\end{pmatrix} $
$adjoint~A=kof~(A)^{T}= \begin{pmatrix}4 & 2 & -4\\-8 & 10 & 1\\ 2 & -6 & 5\end{pmatrix} $
Sehingga,
$\begin{aligned} A^{-1} &= \dfrac{1}{det~A} \cdot adjoint~A\\ \\&= -\dfrac{1}{26}\begin{pmatrix}4 & 2 & -4\\-8 & 10 & 1\\ 2 & -6 & 5\end{pmatrix}\\ \\ &= \begin{pmatrix}-\frac{4}{26} & -\frac{2}{26} & \frac{4}{26}\\ \frac{8}{26} & -\frac{10}{26} & -\frac{1}{26}\\ -\frac{2}{26} & \frac{6}{26} & -\frac{5}{26}\end{pmatrix} \end{aligned} $
Demikianlah ulasan terkait cara menentukan determinan dan invers matriks ordo 3x3. Semoga bermanfaat.
Referensi:
E. S., Pesta dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 3: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XII SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 3: untuk kelas XII SMA/MA Program Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
