Contoh Soal Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma beserta Pembahasannya #2
Hai sob, pada postingan kali ini mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi bentuk pangkat, bentuk akar, dan bentuk logaritma matematika SMA (Kelas 10). Selamat belajar. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Bentuk pangkat positif dari $\frac{x^{-2}-y^{-2}}{(xy)^{-2}}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} \frac{x^{-2}-y^{-2}}{(xy)^{-2}}&= \frac{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}}{\frac{1}{(xy)^2}}\\ &=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2} \times (xy)^2\\ &= \frac{y^2-x^2}{(xy)^2} \times (xy)^2\\ &= y^2-x^2 \end{aligned}$
Jadi, bentuk pangkat positifnya adalah $y^2-x^2$
Contoh soal 2
Nilai dari $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}} &= \frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+...+\sqrt{63}-\sqrt{64}}{-1}\\ &= \frac{1-\sqrt{64}}{-1}\\ &=\frac{1-8}{-1}\\ &= \frac{-7}{-1}\\ &= 7 \end{aligned}$
Contoh soal 3
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian persamaan $(\frac{4}{9})^{x^2-3}(\frac{8}{27})^{1-x}=\frac{3}{2}$, maka $(x_1-x_2)^2=...$
Jawab:
$\begin{aligned} (\frac{4}{9})^{x^2-3}(\frac{8}{27})^{1-x}&=\frac{3}{2}\\ (\frac{2}{3})^{2(x^2-3)}(\frac{2}{3})^{3(1-x)}&=(\frac{2}{3})^{-1}\\ (\frac{2}{3})^{2x^2-6+3-3x}&=(\frac{2}{3})^{-1}\\ (\frac{2}{3})^{2x^2-3x-3}&=(\frac{2}{3})^{-1} \\ \\ 2x^2-3x-3&=-1\\ 2x^2-3x-2&=0\\ (2x+1)(x-2)&=0\\ x_1=-\frac{1}{2} \vee x_2&=2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $(x_1-x_2)^2=(-\frac{1}{2}-2)^2=\frac{25}{4}$
Contoh soal 4
Jika bilangan bulat $a$ dan $b$ memenuhi $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{5}}=a+b \sqrt{2}$, maka $a+b=...$
Jawab:
$\begin{aligned} \frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{5}}&= \frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{\sqrt{10}-\sqrt{5}}\\ &= \frac{(\sqrt{10}-\sqrt{5})^2}{10-5}\\ &= \frac{10-2\sqrt{50}+5}{5}\\ &= \frac{15-10\sqrt{2}}{5}\\ &= 3-2\sqrt{2}\\ \end{aligned}$
Bentuk $3-2\sqrt{2}$ adalah sama dengan $a+b \sqrt{2}$ sehingga didapat nilai $a=3$ dan $b=-2$.
Jadi, nilai $a+b=3-2=1$
Contoh soal 5
Jika $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar-akar persamaan $5^{x-1}+5^{2-x}=6$, maka $x_1+x_2=...$
Jawab:
$\begin{aligned} 5^{x-1}+5^{2-x}&=6\\ 5^x.5^{-1}+5^2.5^{-x}&=6\\ \frac{5^x}{5}+\frac{25}{5^x}&=6\\ \frac{(5x)^2+25.5}{5^x.5}&=6\\ (5x)^2+25.5&= 30 .5^x\\ (5x)^2-30 .5^x+25.5&= 0\\ \\ \text{Misalkan, } 5^x=y \text{ maka dapat diperoleh} \\ y^2-30y+125&=0\\ (y-25)(y-5)&=0\\ y_1=25 \vee y_2&=5 \end{aligned}$
$\bullet$ Untuk $y_1=25$
$\begin{aligned} y_1&=25\\ 5^{x_1}&=25\\ x_1&=2 \end{aligned}$
$\bullet$ Untuk $y_2=5$
$\begin{aligned} y_2&=5\\ 5^{x_2}&=5\\ x_2&=1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $x_1+x_2=2+1=3$
Contoh soal 6
Jika $6(3^{40})({}^2 \log a)+3^{41}.({}^2 \log a)=3^{43}$, maka nilai $a$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} 6(3^{40})({}^2 \log a)+3^{41}.({}^2 \log a)&=3^{43}\\ 2.3.(3^{40})({}^2 \log a)+3^{41}.({}^2 \log a)&=3^{43}\\ 2.3^{41}.({}^2 \log a)+3^{41}.({}^2 \log a)&=3^{43}\\ 3^{41}.({}^2 \log a)(2+1)&=3^{43}\\ 3.3^{41}.({}^2 \log a)&=3^{43}\\ 3^{42}.({}^2 \log a)&=3^{43}\\ {}^2 \log a&=\frac{3^{43}}{3^{42}}\\ {}^2 \log a&=3\\ {}^2 \log a&=3.{}^2 \log 2\\ {}^2 \log a&={}^2 \log 2^3\\ {}^2 \log a&={}^2 \log 8\\ a&=8 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ adalah $8$
Contoh soal 7
Hasil perkalian nilai-nilai $x$ yang memenuhi $\frac{x^2}{10000}=\frac{10000}{x^{2({}^{10} \log x)-8}}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} \frac{x^2}{10000}&=\frac{10000}{x^{2({}^{10} \log x)-8}}\\ x^2 \times x^{2({}^{10} \log x)-8} &= 10000^2\\ x^{2+2({}^{10} \log x)-8} &= 10000^2\\ x^{2({}^{10} \log x)-6} &= 10000^2\\ {}^x \log 10000^2 &= 2({}^{10} \log x)-6\\ {}^x \log 10^8 &= 2({}^{10} \log x)-6\\ 8.{}^x \log 10 &= 2(\frac{1}{{}^{x} \log 10})-6\\ 8.{}^x \log 10 &= \frac{2}{{}^{x} \log 10}-\frac{6.{}^{x} \log 10}{{}^{x} \log 10}\\ 8.{}^x \log 10 &= \frac{2-6.{}^{x} \log 10}{{}^{x} \log 10}\\ 8.{}^x \log^2 10 &= 2-6.{}^{x} \log 10\\ 8.{}^x \log^2 10 +6.{}^{x} \log 10 -2 &= 0\\ \\ \text{Misalkan} {}^x \log 10 =y \text{ maka dapat diperoleh} \\ 8y^2+6y-2 &=0\\ (8y-2)(y+1)&=0\\ y=\frac{1}{4} \vee y&=-1 \end{aligned}$
$\bullet$ Untuk $y=\frac{1}{4}$
$\begin{aligned} y&=\frac{1}{4}\\ {}^{x} \log 10&=\frac{1}{4}\\ x&= 10^4 \end{aligned}$
$\bullet$ Untuk $y=-1$ (tidak memenuhi)
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $10^4$
Contoh soal 8
Jika ${}^3 \log 8=x$ dan ${}^3 \log 25=y$, maka nilai ${}^3 \log (15.4)$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} {}^3 \log 8&=x\\{}^3 \log 2^3&=x\\ 3. {}^3 \log 2&=x\\ {}^3 \log 2&=\frac{x}{3} \\ \\ {}^3 \log 25&=y\\ {}^3 \log 5^2&=y\\ 2.{}^3 \log 5&=y\\ {}^3 \log 5&=\frac{y}{2} \\ \\ {}^3 \log (15.4)&= {}^3 \log 15+ {}^3 \log 4\\ &= {}^3 \log 3.5 + {}^3 \log 2^2\\ &= {}^3 \log 3+ {}^3 \log 5 + 2.{}^3 \log 2\\ &= 1+\frac{y}{2}+2.\frac{x}{3}\\ &= \frac{6+3y+4x}{6} \end{aligned}$
Jadi, nilai ${}^3 \log (15.4)$ adalah $\frac{6+3y+4x}{6}$
Contoh soal 9
Jika $ \log \frac{a^2}{b^2}=18$ maka nilai $ \log (5 \sqrt[3]{\frac{8b}{a}})$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} \log \frac{a^2}{b^2}&=18\\ \log (\frac{a}{b})^2&=18\\ 2.\log (\frac{a}{b})&=18\\ \log (\frac{a}{b})&=9\\\log (\frac{b}{a})&=-9 \end{aligned}$
$\begin{aligned} \log (5 \sqrt[3]{\frac{8b}{a}}) &= \log (5. (\frac{8b}{a})^{\frac{1}{3}})\\ &= \log (5. (\frac{2^3.b}{a})^{\frac{1}{3}})\\ &= \log (10. (\frac{b}{a})^{\frac{1}{3}})\\ &= \log 10 + \log (\frac{b}{a})^{\frac{1}{3}}\\ &= 1+ \frac{1}{3}. \log (\frac{b}{a})\\ &= 1+ \frac{1}{3}. (-9)\\ &= 1-3\\ &= -2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $ \log (5 \sqrt[3]{\frac{8b}{a}})$ adalah $-2$
Contoh soal 10
Jika ${}^9 \log a=-1$ dan ${}^{\frac{1}{a}} \log x=\frac{1}{2}$ maka nilai $x$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} {}^9 \log a&=-1\\ \frac{\log a}{\log 9}&= -1\\ \log a&= -\log 9\\ \\ \text{Sehingga dapat diperoleh} \\{}^{\frac{1}{a}} \log x&=\frac{1}{2}\\ {}^{a^{-1}} \log x&=\frac{1}{2}\\ -1 . {}^a \log x&= \frac{1}{2}\\ -1. \frac{\log x}{\log a}&= \frac{1}{2}\\ -1. \frac{\log x}{-\log 9}&= \frac{1}{2}\\ \frac{\log x}{\log 9}&= \frac{1}{2}\\ {}^9 \log x&=\frac{1}{2}\\ {}^{3^{2}} \log x&=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} {}^3 \log x&=\frac{1}{2}\\ {}^3 \log x&=1\\ x&=3 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ adalah $3$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi bentuk pangkat, bentuk akar, dan bentuk logaritma matematika SMA (Kelas 10). Semoga bermanfaat.
Referensi
Yusuf, Muhammad. 2013. Pendalaman Materi Kilat Matematika IPA SMA/MA Kelas 10, 11, 12. Jakarta: Dunia Cerdas.
