Contoh Soal Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma beserta Pembahasannya #3
Berikut ini mimin sajikan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi bentuk pangkat, akar, dan logaritma. Selamat membaca, sobat. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Bentuk sederhana hari $\left ( \frac{81a^{-5}b^{-3}}{3^5 a^{-7}b^{-5}} \right )^{-1}$ adalah ...
Jawab:
Ingat rumus :
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}; \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, a\neq 0; (ab)^n=a^n \times b^n$
$\begin{aligned} \left ( \frac{81a^{-5}b^{-3}}{3^5 a^{-7}b^{-5}} \right )^{-1} &= \frac{3^5 a^{-7}b^{-5}}{81a^{-5}b^{-3}} \\&= \frac{3^5 a^{-7}b^{-5}}{3^4 a^{-5}b^{-3}} \\&= \frac{3}{a^2b^2}\\&= \frac{3}{(ab)^2} \end{aligned}$
Contoh soal 2
Bentuk sederhana hari $\frac{(6a^3b^{-2})^4}{(6a^{-4}b^{-5})^{-2}}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} &\frac{(6a^3b^{-2})^4}{(6a^{-4}b^{-5})^{-2}}\\&= \frac{6^4a^{12}b^{-8}}{6^{-2}a^8b^{10}}\\&=6^{4-(-2)}a^{12-8}b^{-8-10}\\&= 6^6 a^{4} b^{-18}\\&=\frac{6^6 a^4}{b^{18}} \end{aligned}$
Contoh soal 3
Diketahui $a=4, b=2,$ dan $c=\frac{1}{2}$. Nilai dari $(a^{-1})^4 \times \frac{b^4}{c^{-3}}=...$
Jawab:
$\begin{aligned} &(a^{-1})^4 \times \frac{b^4}{c^{-3}}\\&= \frac{b^4}{a^4c^{-3}}\\&= \frac{2^4}{4^4 (2^{-1})^{-3}}\\&= \frac{1}{2^7}\\&=\frac{1}{128} \end{aligned}$
Contoh soal 4
Bentuk sederhana hari $\frac{6}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} \frac{6}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}&=\frac{6}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}} \times \frac{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}} \\ &= \frac{6(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2})^2-(2 \sqrt{3})^2}\\ &= \frac{6(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{18-12}\\ &=\frac{6(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{6} \\&= 3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3} \end{aligned}$
Contoh soal 5
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\frac{9}{3^{2x-1}}=\sqrt[3]{27}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} &\frac{9}{3^{2x-1}}=\sqrt[3]{27}\\ &\frac{3^2}{3^{2x-1}}=3\\&3^{2-(2x-1)}=3\\&2-(2x-1)=1 \\&2-2x+1=1\\&-2x=-2\\&x=1 \end{aligned}$
Contoh soal 6
Grafik $y=3^{x+1}-(\frac{1}{9})^x$ berada di bawah grafik $y=3^x+1$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} &3^{x+1}-(\frac{1}{9})^x < 3^x +1\\ &3.3^x-(3^x)^{-2}<3^x+1\\ &2.3^x-(3^x)^{-2}-1<0\\&(3^x-1)(2.3^x)^2+(3^x+1)<0\\&3^x-1<0\\&3^x<1\\&x<0 \end{aligned}$
Contoh soal 7
Jika $x_1$ dan $x_2$ akar-akar persamaan $3^{x+1}+\frac{1}{3^{x-2}}=28$ maka ${x_1}^2+{x_2}^2=$...
Jawab:
$\begin{aligned} &3^{x+1}+\frac{1}{3^{x-2}}=28\\&3^{x+1}+3^{2-x}=28\\ & 3.3^x+\frac{9}{3^x}=28\\ \\ & \text{Misal, } 3^x=a \\ &3a^2-28a+9=0\\ &(3a-1)(a-9)=0\\ & a_1=\frac{1}{3} \vee a_2=9\\&3^{x_1}=\frac{1}{3} \rightarrow x_1=-1\\&3^{x_2}=9 \rightarrow x_2=2 \end{aligned}$
Jadi, ${x_1}^2+{x_2}^2=(-1)^2+2^2=5$
Contoh soal 8
Nilai $x$ yang memenuhi pertaksamaan $5^{2x-4}>5^{\frac{3x}{2}+6x}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} &5^{2x-4}>5^{\frac{3x}{2}+6x}\\ &2x-4>\frac{3x}{2}+6x \text{ (dikali 2)}\\&4x-8>3x+12x\\& -8>15x-4x\\&-8>11x\\&x< - \frac{8}{11} \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertaksamaan adalah $x< - \frac{8}{11}$
Contoh soal 9
Jika $6(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a)=3^{44}$ maka nilai $a$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} &6(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a)=3^{44}\\& 3^{41} (2. ^2 \log a + ^2 \log a )=3^{44}\\ &3^{41}.(3.^2 \log a)=3^{44}\\& ^2 \log a=9\\& a= 512 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ adalah $512$
Contoh soal 10
Diketahui $^2 \log 3=x$ dan $^2 \log 10=y$, maka nilai dari $^6 \log 60$ adalah ...
Jawab:
$^2 \log 3=x$ dan $^2 \log 10=y$
$\begin{aligned} &^6 \log 60\\&= \frac{\log 60}{\log 6}\\&=\frac{^2 \log 60}{^2 \log 6}\\&= \frac{^2 \log 2.3.10}{^2 \log 2.3}\\&= \frac{1+x+y}{1+x} \end{aligned}$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi bentuk pangkat, akar, dan logaritma. Semoga bermanfaat.
