Contoh Soal Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma beserta Pembahasannya #3

 

Berikut ini mimin sajikan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi bentuk pangkat, akar, dan logaritma. Selamat membaca, sobat. Semoga bermanfaat. 

Contoh soal 1

Bentuk sederhana hari ${\left(\frac{81a^{-5}{b}^{-3}}{3^5{a}^{-7}{b}^{-5}}\right)}^{-1}$ adalah ...

Jawab:

Ingat rumus : 

$a^{-n}=\frac{1}{a^n};\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},a\ne 0;(ab{)}^n=a^n\times b^n$

$\begin{array}{rl}{\left(\frac{81a^{-5}{b}^{-3}}{3^5{a}^{-7}{b}^{-5}}\right)}^{-1}& =\frac{3^5{a}^{-7}{b}^{-5}}{81a^{-5}{b}^{-3}}\\ & =\frac{3^5{a}^{-7}{b}^{-5}}{3^4{a}^{-5}{b}^{-3}}\\ & =\frac{3}{a^2{b}^2}\\ & =\frac{3}{(ab{)}^2}\end{array}$

Contoh soal 2

Bentuk sederhana hari $\frac{(6a^3{b}^{-2}{)}^4}{(6a^{-4}{b}^{-5}{)}^{-2}}$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}& \frac{(6a^3{b}^{-2}{)}^4}{(6a^{-4}{b}^{-5}{)}^{-2}}\\ & =\frac{6^4{a}^{12}{b}^{-8}}{6^{-2}{a}^8{b}^{10}}\\ & =6^{4-(-2)}{a}^{12-8}{b}^{-8-10}\\ & =6^6{a}^4{b}^{-18}\\ & =\frac{6^6{a}^4}{b^{18}}\end{array}$

Contoh soal 3

Diketahui $a=4,b=2,$ dan $c=\frac{1}{2}$. Nilai dari $(a^{-1}{)}^4\times \frac{b^4}{c^{-3}}=...$

Jawab:

$\begin{array}{rl}& (a^{-1}{)}^4\times \frac{b^4}{c^{-3}}\\ & =\frac{b^4}{a^4{c}^{-3}}\\ & =\frac{2^4}{4^4(2^{-1}{)}^{-3}}\\ & =\frac{1}{2^7}\\ & =\frac{1}{128}\end{array}$

Contoh soal 4

Bentuk sederhana hari $\frac{6}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}\frac{6}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}& =\frac{6}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}\times \frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}\\ & =\frac{6(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}{)}^2-(2\sqrt{3}{)}^2}\\ & =\frac{6(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{18-12}\\ & =\frac{6(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{6}\\ & =3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\end{array}$

Contoh soal 5

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\frac{9}{3^{2x-1}}=\sqrt[3]{27}$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}& \frac{9}{3^{2x-1}}=\sqrt[3]{27}\\ & \frac{3^2}{3^{2x-1}}=3\\ & 3^{2-(2x-1)}=3\\ & 2-(2x-1)=1\\ & 2-2x+1=1\\ & -2x=-2\\ & x=1\end{array}$

Contoh soal 6

Grafik $y=3^{x+1}-(\frac{1}{9}{)}^x$ berada di bawah grafik $y=3^x+1$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}& 3^{x+1}-(\frac{1}{9}{)}^x<3^x+1\\ & {3.3}^x-(3^x{)}^{-2}<3^x+1\\ & {2.3}^x-(3^x{)}^{-2}-1<0\\ & (3^x-1)({2.3}^x{)}^2+(3^x+1)<0\\ & 3^x-1<0\\ & 3^x<1\\ & x<0\end{array}$

Contoh soal 7

Jika $x_1$ dan $x_2$ akar-akar persamaan $3^{x+1}+\frac{1}{3^{x-2}}=28$ maka ${x_1}^2+{x_2}^2=$...

Jawab:

$\begin{array}{rl}& 3^{x+1}+\frac{1}{3^{x-2}}=28\\ & 3^{x+1}+3^{2-x}=28\\ & {3.3}^x+\frac{9}{3^x}=28\\ \\ & \text{Misal, }{3}^x=a\\ & 3a^2-28a+9=0\\ & (3a-1)(a-9)=0\\ & a_1=\frac{1}{3}\vee a_2=9\\ & 3^{x_1}=\frac{1}{3}\to x_1=-1\\ & 3^{x_2}=9\to x_2=2\end{array}$

Jadi, ${x_1}^2+{x_2}^2=(-1{)}^2+2^2=5$

Contoh soal 8

Nilai $x$ yang memenuhi pertaksamaan $5^{2x-4}>5^{\frac{3x}{2}+6x}$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}& 5^{2x-4}>5^{\frac{3x}{2}+6x}\\ & 2x-4>\frac{3x}{2}+6x\text{ (dikali 2)}\\ & 4x-8>3x+12x\\ & -8>15x-4x\\ & -8>11x\\ & x<-\frac{8}{11}\end{array}$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertaksamaan adalah $x<-\frac{8}{11}$

Contoh soal 9

Jika $6(3^{40}){(}^2\log a)+3^{41}{(}^2\log a)=3^{44}$ maka nilai $a$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}& 6(3^{40}){(}^2\log a)+3^{41}{(}^2\log a)=3^{44}\\ & 3^{41}({2.}^2\log a{+}^2\log a)=3^{44}\\ & 3^{41}.({3.}^2\log a)=3^{44}\\ & {}^2\log a=9\\ & a=512\end{array}$

Jadi, nilai $a$ adalah $512$

Contoh soal 10

Diketahui ${}^2\log 3=x$ dan ${}^2\log 10=y$, maka nilai dari ${}^6\log 60$ adalah ... 

Jawab:

${}^2\log 3=x$ dan ${}^2\log 10=y$

$\begin{array}{rl}& {}^6\log 60\\ & =\frac{\log 60}{\log 6}\\ & =\frac{{}^2\log 60}{{}^2\log 6}\\ & =\frac{{}^2\log 2.3.10}{{}^2\log 2.3}\\ & =\frac{1+x+y}{1+x}\end{array}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi bentuk pangkat, akar, dan logaritma. Semoga bermanfaat.