Contoh Soal Persamaan Lingkaran beserta Pembahasannya

Definisi 

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu tersebut disebut dengan pusat lingkaran dan jarak yang sama antara pusat lingkaran dengan setiap titik disebut dengan jari-jari lingkaran.

Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0,0) dan Berjari-jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari-jari $r$ adalah $\boxed{{\displaystyle x^2+y^2=r^2}}$

Persamaan Lingkaran dengan Pusat P(a,b) dan Berjari-jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat di $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$ adalah $\boxed{{\displaystyle (x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2}}$

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran 

Jika rumus persamaan lingkaran yang berpusat di $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$ dijabarkan, maka dapat diperoleh bentuk berikut

$\begin{array}{rl}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x^2-2ax+a^2)+(y^2-2by+b^2)& =r^2\\ x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)& =0\end{array}$

Bentuk terakhir yang diperoleh diatas adalah sama dengan 

$\boxed{{\displaystyle x^2+y^2+Ax+By+C=0}}$ 

dengan

$A=-2a$;

$B=-2b$; dan

$C=(a^2+b^2-r^2)$; $A$,$B$, dan $C$ bilangan real

Jadi, $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ merupakan bentuk umum persamaan lingkaran. Jika bentuk umum persamaan lingkaran ini diubah dalam bentuk kuadrat sempurna maka dapat diperoleh pusat dan jari-jari lingkaran.

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+Ax+By+C& =0\\ (x^2+Ax)+(y^2+By)& =-C\\ (x^2+Ax+(\frac{1}{2}A{)}^2)+(y^2+By+(\frac{1}{2}B{)}^2)& =(\frac{1}{2}A{)}^2+(\frac{1}{2}B{)}^2-C\\ (x+\frac{1}{2}A{)}^2+(x+\frac{1}{2}B{)}^2& =\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C\end{array}$

Sehingga diperoleh

$\text{Pusat lingkaran :}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)$ dan

$\begin{array}{rl}\text{Jari-jari lingkaran :}{r}^2& =\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C\\ r& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\end{array}$

Berikut ini beberapa contoh soal persamaan lingkaran beserta pembahasannya.

Contoh soal 1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $O(0,0)$ dengan panjang jari-jari $4\sqrt{3}$.

Jawab:

Diketahui jari-jari $r=4\sqrt{3}$ sehingga $r^2=(4\sqrt{3}{)}^2=48$

Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari-jari $r$ adalah $x^2+y^2=r^2$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah 

$\boxed{{\displaystyle x^2+y^2=48}}$

Contoh soal 2

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $O(0,0)$ dan melalui titik $(-12,5)$.

Jawab:

Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari-jari $r$ adalah $x^2+y^2=r^2$

Karena lingkaran melalui titik $(-12,5)$, maka dengan menyubstitusikan titik $(-12,5)$ pada pers. $x^2+y^2=r^2$ diperoleh

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =r^2\\ (-12{)}^2+5^2& =r^2\\ 144+25& =r^2\\ 169& =r^2\end{array}$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah 

$x^2+y^2=r^2$

$\boxed{{\displaystyle x^2+y^2=169}}$

Contoh soal 3

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $P(3,-4)$ dengan jari-jari $2$.

Jawab:

Persamaan lingkaran yang berpusat di $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$ adalah $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$

Untuk pusat $P(3,-4)$ dengan jari-jari $2$, diperoleh

$\begin{array}{rl}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x-3{)}^2+(y-(-4){)}^2& =2^2\\ (x-3{)}^2+(y+4{)}^2& =4\end{array}$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{{\displaystyle (x-3{)}^2+(y+4{)}^2=4}}$

Contoh soal 4

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $P(4,-3)$ dan menyinggung sumbu $Y$

Jawab:

Dari ilustrasi gambar diatas dapat diketahui bahwa dengan pusat lingkaran di titik $P(4,-3)$ maka panjang jari-jarinya adalah $4$ (karena lingkaran menyinggung sumbu Y)

Sehingga diperoleh persamaan lingkaran

$\begin{array}{rl}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x-4{)}^2+(y-(-3){)}^2& =4^2\\ (x-4{)}^2+(y+3{)}^2& =16\end{array}$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{{\displaystyle (x-4{)}^2+(y+3{)}^2=16}}$

Contoh soal 5

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $P(3,4)$ dan menyinggung sumbu $X$

Jawab:

Dari ilustrasi gambar diatas dapat diketahui bahwa dengan pusat lingkaran di titik $P(3,4)$ maka panjang jari-jarinya adalah $4$ (karena lingkaran menyinggung sumbu X)

Sehingga diperoleh persamaan lingkaran

$\begin{array}{rl}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x-3{)}^2+(y-4{)}^2& =4^2\\ (x-3{)}^2+(y-4{)}^2& =16\end{array}$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{{\displaystyle (x-3{)}^2+(y-4{)}^2=16}}$

Contoh soal 6

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran $x^2+y^2+6x-4y-3=0$

Jawab:

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $x^2+y^2+Ax+By+C=0$. Dengan demikian $A=6$, $B=-4$, dan $C=-3$

Sehingga diperoleh

$\text{Pusat lingkaran :}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(-3,2)$ 

$\begin{array}{rl}\text{Jari-jari lingkaran :}r& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}.36+\frac{1}{4}.16+3}\\ & =\sqrt{16}\\ & =4\end{array}$

Jadi, pusat lingkarannya adalah $P(-3,2)$ dengan jari-jari $r=4$

Contoh soal 7

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $P(3,4)$ dan melalui titik $Q(5,6)$

Jawab:

Rumus jarak antara titik $P(x_1,y_1)$ dan $Q(x_2,y_2)$ adalah $PQ=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Jarak antara titik $P(3,4)$ dan titik $Q(5,6)$ adalah jari-jari lingkaran, yaitu

$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{(5-3{)}^2+(6-4{)}^2}\\ & =\sqrt{(2{)}^2+(2{)}^2}\\ & =\sqrt{8}\end{array}$

Sehingga diperoleh persamaan lingkaran

$\begin{array}{rl}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x-3{)}^2+(y-4{)}^2& =(\sqrt{8}{)}^2\\ (x-3{)}^2+(y-4{)}^2& =8\end{array}$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{{\displaystyle (x-3{)}^2+(y-4{)}^2=8}}$

Contoh soal 8

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $P(6,5)$ dan menyinggung garis $y=1$

Jawab:

Rumus jarak dari titik $P(x_1,y_1)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah

$\begin{array}{r}d=\left|\frac{a.x_1+b.y_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|\end{array}$

Jarak dari pusat $P(6,5)$ ke garis $y=1$ adalah jari-jari lingkaran, yaitu

$\begin{array}{rl}r& =\left|\frac{0.6+1.5+(-1)}{\sqrt{0^2+1^2}}\right|\\ & =\left|\frac{4}{1}\right|\\ & =4\end{array}$

Sehingga diperoleh persamaan lingkaran

$\begin{array}{rl}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x-6{)}^2+(y-5{)}^2& =(4{)}^2\\ (x-6{)}^2+(y-5{)}^2& =16\end{array}$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{{\displaystyle (x-6{)}^2+(y-5{)}^2=16}}$

Contoh soal 9

Tentukan persamaan lingkaran dari gambar di bawah ini 

Jawab:

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Substitusi titik $P,Q,$ dan $R$ ke bentuk umum persamaan lingkaran

$\bullet$ untuk titik $P(2,-2)$

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+Ax+By+C& =0\\ 2^2+(-2{)}^2+A.2+B.(-2)+C& =0\\ 8+2A-2B+C& =0\\ 2A-2B+C& =-8...(1)\end{array}$

$\bullet$ untuk titik $Q(7,3)$

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+Ax+By+C& =0\\ 7^2+3^2+A.7+B.3+C& =0\\ 58+7A+3B+C& =0\\ 7A+3B+C& =-58...(2)\end{array}$

$\bullet$ untuk titik $R(6,4)$

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+Ax+By+C& =0\\ 6^2+4^2+A.6+B.4+C& =0\\ 52+6A+4B+C& =0\\ 6A+4B+C& =-52...(3)\end{array}$

Sehingga didapat 3 persamaan yaitu

$2A-2B+C=-8...(1)$

$7A+3B+C=-58...(2)$

$6A+4B+C=-52...(3)$

Kita selesaikan ketiga persamaan tersebut untuk memperoleh nilai A, B, dan C

Eliminasi C dari (1) dan (2)

$\begin{array}{rl}2A-2B+C& =-8\\ 7A+3B+C& =-58-\\ \\ -5A-5B& =50...(4)\end{array}$

Eliminasi C dari (2) dan (3)

$\begin{array}{rl}7A+3B+C& =-58\\ 6A+4B+C& =-52-\\ \\ A-B& =-6...(5)\end{array}$

Eliminasi $B$ dari $(4)$ dan $(5)$  

$\begin{array}{rl}\begin{array}{rl}-5A-5B& =50\\ A-B& =-6\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 1\\ \times 5\end{array}\right|& \begin{array}{rl}-5A-5B& =50\\ 5A-5B& =-30\end{array}\\ & -\\ & \begin{array}{r}-10A=80\end{array}\\ & \begin{array}{r}A=-8\end{array}\end{array}$

Substitusi $A=-8$ ke $(5)$

$A-B=-6$

$\iff -8-B=-6$

$\iff B=-2$

Substitusi $A=-8$ dan $B=-2$ ke $(1)$

$2A-2B+C=-8$

$\iff 2(-8)-2(-2)+C=-8$

$\iff -16+4+C=-8$

$\iff C=4$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah 

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

$\boxed{{\displaystyle x^2+y^2-8x-2y+4=0}}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan lingkaran. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.