Contoh Soal Sifat-Sifat Eksponen SMA/MA dan Pembahasannya

Definisi Eksponen

Misalkan $a$ bilangan real dan $n$ bilangan bulat positif , bentuk $a^n=\underset{nfaktor}{\underbrace{a\times a\times a\times \cdots \times a}}$ menyatakan hasil kali bilangan $a$ sebanyak $n$ faktor, dengan $a$ sebagai bilangan pokok (basis) dan $n$ sebagai pangkat. Bentuk $a^n$ merupakan bentuk pangkat atau disebut juga bentuk eksponen.

Contoh

$3^4=\underset{4faktor}{\underbrace{3\times 3\times 3\times 3}}=81$

$(-2{)}^3=\underset{3faktor}{\underbrace{-2\times -2\times -2}}=-8$

Sifat-sifat Eksponen

Untuk $a,b$ bilangan real dan $m,n$ bilangan rasional berlaku sifat-sifat berikut:

$1.a^m{a}^n=a^{m+n}$

$2.\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

$3.(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$

$4.(ab{)}^n=a^n\times b^n$

$5.(\frac{a}{b}{)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

$6.a^0=1$ , dengan $a\ne 0$

$7.a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

$8.a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

Contoh Soal 1

Tentukan hasil dari $((\sqrt{6}{x}^2{y}^4{)}^2{)}^3$

Jawab:

$\begin{array}{rl}((\sqrt{6}{x}^2{y}^4{)}^2{)}^3& =(6^{\frac{1}{2}}{x}^2{y}^4{)}^6\\ & =6^3{x}^{12}{y}^{24}\\ & =216x^{12}{y}^{24}\end{array}$  

Contoh Soal 2

Tentukan hasil dari $(2^3{a}^{}{b}^2{)}^4\times (2a^2{b}^3{)}^3$

Jawab:

$\begin{array}{rl}(2^3{a}^{}{b}^2{)}^4\times (2a^2{b}^3{)}^3& =(2^{12}{a}^4{b}^8)\times (2^3{a}^6{b}^9)\\ & =2^{12+3}{a}^{4+6}{b}^{8+9}\\ & =2^{15}{a}^{10}{b}^{17}\end{array}$  

Contoh Soal 3

Diketahui $f(x)=2^x$. Tentukan hasil dari $\frac{f(2x-3)\cdot f(4x+1)}{f(6x-3)}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}\frac{f(2x-3)\cdot f(4x+1)}{f(6x-3)}& =\frac{2^{2x-3}\cdot 2^{4x+1}}{2^{6x-3}}\\ & =\frac{2^{2x+4x-3+1}}{2^{6x-3}}\\ & =2^{6x-6x-2-(-3)}\\ & =2\end{array}$  

Contoh Soal 4

Tentukan hasil dari ${\left(\frac{6a^{-2}}{b\cdot a}\right)}^{-1}\cdot {\left(\frac{3a^{-1}}{b}\right)}^{-3}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}{\left(\frac{6a^{-2}}{b\cdot a}\right)}^{-1}\cdot {\left(\frac{3a^{-1}}{b}\right)}^{-3}& =\frac{1}{\left(\frac{6a^{-2}}{b\cdot a}\right)}\cdot \frac{1}{{\left(\frac{3a^{-1}}{b}\right)}^3}\\ & =\frac{b\cdot a}{6a^{-2}}\cdot \frac{b^3}{3^3{a}^{-3}}\\ & =\frac{b^4\cdot a}{6\cdot 27\cdot a^{-5}}\\ & =\frac{1}{162}\cdot b^4\cdot a^{1-(-5)}\\ & =\frac{a^6{b}^4}{162}\end{array}$  

Contoh Soal 5

Bentuk pangkat positif dari $\frac{x^{-1}-y^{-1}}{x^{-1}+y^{-1}}$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}\frac{x^{-1}-y^{-1}}{x^{-1}+y^{-1}}& =\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\\ & =\frac{\frac{y-x}{xy}}{\frac{y+x}{xy}}\\ & =\frac{y-x}{xy}\cdot \frac{xy}{y+x}\\ & =\frac{y-x}{y+x}\end{array}$  

Contoh Soal 6

Bentuk pangkat positif dari $\frac{x^{-1}y-x{y}^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}}$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}\frac{x^{-1}y-x{y}^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}}& =\frac{\frac{y}{x}-\frac{x}{y}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}\\ & =\frac{\frac{y^2-x^2}{xy}}{\frac{y-x}{xy}}\\ & =\frac{y^2-x^2}{xy}\cdot \frac{xy}{y-x}\\ & =\frac{y^2-x^2}{y-x}\\ & =\frac{(y+x)(y-x)}{y+x}\\ & =y+x\end{array}$  

Contoh Soal 7

Sederhanakanlah $\frac{a^{\frac{5}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{16}{6}}{b}^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{5}{2}}}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}\frac{a^{\frac{5}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{16}{6}}{b}^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{5}{2}}}& =\frac{a^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}(a-b)}{a^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}(a^2-b^2)}\\ & =\frac{a-b}{a^2-b^2}\\ & =\frac{a-b}{(a+b)(a-b)}\\ & =\frac{1}{a+b}\end{array}$

Contoh Soal 8

Nilai dari $\frac{(343{)}^{\frac{1}{3}}-(625{)}^{\frac{1}{4}}}{(27{)}^{\frac{1}{3}}+{16}^{\frac{1}{2}}}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}& \frac{(343{)}^{\frac{1}{3}}-(625{)}^{\frac{1}{4}}}{(27{)}^{\frac{1}{3}}+{16}^{\frac{1}{2}}}\\ & =\frac{(7^3{)}^{\frac{1}{3}}-(5^4{)}^{\frac{1}{4}}}{(3^3{)}^{\frac{1}{3}}+(2^4{)}^{\frac{1}{2}}}\\ & =\frac{7-5}{3+4}\\ & =\frac{2}{7}\end{array}$

Contoh Soal 9

Hasil dari penyederhanaan $\frac{3^{n+1}{.6}^{n-3}}{{18}^{n-2}}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}\frac{3^{n+1}{.6}^{n-3}}{{18}^{n-2}}& =\frac{3^n{.3}^1{.6}^n{.6}^{-3}}{{18}^n{.18}^{-2}}\\ & =\frac{3^n{.6}^n{.3}^1{.6}^{-3}}{{18}^n{.18}^{-2}}\\ & =\frac{(3.6{)}^n.\frac{3}{6^3}}{{18}^n.\frac{1}{{18}^2}}\\ & =\frac{3}{6^3}.\frac{{18}^2}{1}\\ & =\frac{9}{2}\end{array}$

Contoh Soal 10

Hasil dari penyederhanaan $\frac{3^{\frac{3}{5}}{.8}^{-\frac{3}{2}}}{{32}^{\frac{1}{10}}{.81}^{-\frac{3}{5}}}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}\frac{3^{\frac{3}{5}}{.8}^{-\frac{3}{2}}}{{32}^{\frac{1}{10}}{.81}^{-\frac{3}{5}}}& =\frac{3^{\frac{3}{5}}.(2^3{)}^{-\frac{3}{2}}}{(2^5{)}^{\frac{1}{10}}.(3^4{)}^{-\frac{3}{5}}}\\ & =\frac{3^{\frac{3}{5}}.(2{)}^{-\frac{9}{2}}}{(2{)}^{\frac{1}{2}}.(3{)}^{-\frac{12}{5}}}\\ & =3^{\frac{3}{5}-(-\frac{12}{5})}\times 2^{-\frac{9}{2}-\frac{1}{2}}\\ & =3^3\times 2^{-5}\\ & =\frac{27}{32}\end{array}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan dari sifat-sifat eksponen. Semoga bermanfaat.