Contoh Soal Sifat-Sifat Eksponen SMA/MA dan Pembahasannya

Definisi Eksponen

Misalkan $a$ bilangan real dan $n$ bilangan bulat positif , bentuk $a^{n}= \underset{n\ faktor}{\underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a }}$ menyatakan hasil kali bilangan $a$ sebanyak $n$ faktor, dengan $a$ sebagai bilangan pokok (basis) dan $n$ sebagai pangkat. Bentuk $a^{n}$ merupakan bentuk pangkat atau disebut juga bentuk eksponen.

Contoh

$3^{4}= \underset{4\ faktor}{\underbrace{3 \times 3 \times 3 \times 3 }}=81$

$(-2)^{3}= \underset{3\ faktor}{\underbrace{-2 \times -2 \times -2 }}=-8$

Sifat-sifat Eksponen

Untuk $a,b$ bilangan real dan $m,n$ bilangan rasional berlaku sifat-sifat berikut:

$1.~~a^{m}a^{n}=a^{m+n}$

$2.~~\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$

$3.~~(a^{m})^{n}=a^{m \cdot n}$

$4.~~(ab)^{n}=a^{n} \times b^{n}$

$5.~~(\frac{a}{b})^{n}= \frac{a^{n}}{b^{n}}$

$6.~~a^{0}=1$ , dengan $a \neq 0$

$7.~~a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

$8.~~a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{ a^{m}}$

Contoh Soal 1

Tentukan hasil dari $((\sqrt{6} x^{2}y^{4})^{2})^{3}$

Jawab:

$\begin{aligned} ((\sqrt{6}x^{2}y^{4})^{2})^{3} & = (6^{\frac{1}{2}}x^{2}y^{4})^{6} \\  & = 6^{3}x^{12}y^{24} \\  & = 216~ x^{12}y^{24} \end{aligned}$  

Contoh Soal 2

Tentukan hasil dari $(2^{3}a^{}b^{2})^{4} \times (2a^{2}b^{3})^{3}$

Jawab:

$\begin{aligned} (2^{3}a^{}b^{2})^{4} \times (2a^{2}b^{3})^{3} & = (2^{12}a^{4}b^{8}) \times (2^{3}a^{6}b^{9}) \\  & = 2^{12+3}a^{4+6}b^{8+9} \\  & = 2^{15}a^{10}b^{17} \end{aligned}$  

Contoh Soal 3

Diketahui $f(x)=2^{x}$. Tentukan hasil dari $\frac{f(2x-3) \cdot f(4x+1)}{f(6x-3)}$

Jawab:

$\begin{aligned} \frac{f(2x-3) \cdot f(4x+1)}{f(6x-3)} & = \frac{2^{2x-3} \cdot 2^{4x+1}}{2^{6x-3}} \\  & = \frac{2^{2x+4x-3+1}}{2^{6x-3}} \\  & = 2^{6x-6x-2-(-3)} \\  & = 2 \end{aligned}$  

Contoh Soal 4

Tentukan hasil dari $\left ( \frac{6a^{-2}}{b \cdot a} \right )^{-1} \cdot \left ( \frac{3a^{-1}}{b} \right )^{-3}$

Jawab:

$\begin{aligned} \left ( \frac{6a^{-2}}{b \cdot a} \right )^{-1} \cdot \left ( \frac{3a^{-1}}{b} \right )^{-3} & = \frac{1}{ \left ( \frac{6a^{-2}}{b \cdot a} \right ) } \cdot   \frac{1}{\left ({ \frac{3a^{-1}}{b}} \right )^{3}}   \\  & = \frac{b \cdot a}{6a^{-2}} \cdot \frac{b^{3}}{3^{3}a^{-3}}  \\  & = \frac{b^{4}\cdot a}{6 \cdot 27 \cdot a^{-5}} \\  & = \frac{1}{162} \cdot b^{4} \cdot a^{1-(-5)}  \\  & = \frac{a^{6}b^{4}}{162}  \end{aligned}$  

Contoh Soal 5

Bentuk pangkat positif dari $\frac{x^{-1}-y^{-1}}{x^{-1}+y^{-1}}$ adalah ...

Jawab:

$\begin{aligned} \frac{x^{-1}-y^{-1}}{x^{-1}+y^{-1}} & = \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \\ & = \frac{\frac{y-x}{xy}}{\frac{y+x}{xy}}   \\ & = \frac{y-x}{xy} \cdot \frac{xy}{y+x} \\ & = \frac{y-x}{y+x} \end{aligned}$  

Contoh Soal 6

Bentuk pangkat positif dari $\frac{x^{-1}y-xy^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}}$ adalah ...

Jawab:

$\begin{aligned}\frac{x^{-1}y-xy^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}} & = \frac{\frac{y}{x}-\frac{x}{y}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}} \\ & = \frac{\frac{y^{2}-x^{2}}{xy}}{\frac{y-x}{xy}} \\ & = \frac{y^{2}-x^{2}}{xy} \cdot \frac{xy}{y-x} \\ & = \frac{y^{2}-x^{2}}{y-x} \\ & = \frac{(y+x)(y-x)}{y+x} \\ & = y+x  \end{aligned}$  

Contoh Soal 7

Sederhanakanlah $\frac{a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{2}}- a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{16}{6}}b^{\frac{1}{2}}- a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{5}{2}}}$

Jawab:

$\begin{aligned} \frac{a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{1}{2}}- a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{16}{6}}b^{\frac{1}{2}}- a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{5}{2}}} & = \frac{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}(a-b)}{a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}(a^{2}-b^{2})} \\  & = \frac{a-b}{a^{2}-b^{2}}  \\  & = \frac{a-b}{(a+b)(a-b)} \\  & = \frac{1}{a+b} \end{aligned}$

Contoh Soal 8

Nilai dari $\frac{(343)^{\frac{1}{3}}-(625)^{\frac{1}{4}}}{(27)^{\frac{1}{3}}+16^{\frac{1}{2}}}$

Jawab:

$\begin{aligned} &\frac{(343)^{\frac{1}{3}}-(625)^{\frac{1}{4}}}{(27)^{\frac{1}{3}}+16^{\frac{1}{2}}}\\&= \frac{(7^3)^{\frac{1}{3}}-(5^4)^{\frac{1}{4}}}{(3^3)^{\frac{1}{3}}+(2^4)^{\frac{1}{2}}} \\&=  \frac{7-5}{3+4}\\&= \frac{2}{7} \end{aligned}$

Contoh Soal 9

Hasil dari penyederhanaan $\frac{3^{n+1}.6^{n-3}}{18^{n-2}}$

Jawab:

$\begin{aligned} \frac{3^{n+1}.6^{n-3}}{18^{n-2}} &= \frac{3^n.3^1.6^n.6^{-3}}{18^n.18^{-2}}\\ &= \frac{3^n.6^n.3^1.6^{-3}}{18^n.18^{-2}}\\ &= \frac{(3.6)^n.\frac{3}{6^3}}{18^n.\frac{1}{18^2}}\\ &= \frac{3}{6^3}.\frac{18^2}{1}\\ &=\frac{9}{2}  \end{aligned}$

Contoh Soal 10

Hasil dari penyederhanaan $\frac{3^{\frac{3}{5}}.8^{-\frac{3}{2}}}{32^{\frac{1}{10}}.81^{-\frac{3}{5}}}$

Jawab:

$\begin{aligned} \frac{3^{\frac{3}{5}}.8^{-\frac{3}{2}}}{32^{\frac{1}{10}}.81^{-\frac{3}{5}}} &=  \frac{3^{\frac{3}{5}}.(2^3)^{-\frac{3}{2}}}{(2^5)^{\frac{1}{10}}.(3^4)^{-\frac{3}{5}}}\\&=  \frac{3^{\frac{3}{5}}.(2)^{-\frac{9}{2}}}{(2)^{\frac{1}{2}}.(3)^{-\frac{12}{5}}}\\&= 3^{\frac{3}{5}-(-\frac{12}{5})} \times 2^{-\frac{9}{2}-\frac{1}{2}}\\&= 3^3 \times 2^{-5}\\&=\frac{27}{32}  \end{aligned}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan dari sifat-sifat eksponen. Semoga bermanfaat.