Contoh Soal Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma beserta Pembahasannya
Hai sob, pada postingan kali ini mimin sajikan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi bentuk pangkat, bentuk akar, dan bentuk logaritma matematika SMA (Kelas 10). Selamat belajar. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Bentuk sederhana dari $(\frac{1}{1+p})^{5} \times (\frac{1}{1-p})^{-7} \times (\frac{p-1}{1+p})^{-6}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} (\frac{1}{1+p})^{5} \times (\frac{1}{1-p})^{-7} \times (\frac{p-1}{1+p})^{-6}&= \frac{1}{(1+p)^5} \times (1-p)^{7} \times (\frac{(-(1-p))}{(1+p)})^{-6}\\ &= \frac{(1-p)^{7}}{(1+p)^5} \times \frac{(1+p)^6}{(-(1-p))^6}\\ &= \frac{(1-p)^{7}}{(1+p)^5} \times \frac{(1+p)^6}{(1-p)^6}\\ &= (1-p)(1+p)\\ &= 1-p^2 \end{aligned}$
Contoh soal 2
Diketahui $x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=3$ maka nilai dari $x+x^{-1}$ adalah ...
Jawab:
Soal diatas dapat diselesaikan dengan mengkuadratkan kedua ruas.
$\begin{aligned} x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}&=3\\ (x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}})^2&=3^2\\ x+2.x^{\frac{1}{2}}.x^{-\frac{1}{2}}+x^{-1}&=9\\ x+2.x^0+x^{-1}&=9\\ x+2+x^{-1}&=9\\x+x^{-1}&=9-2\\x+x^{-1}&=7 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $x+x^{-1}$ adalah $7$
Contoh soal 3
Bentuk sederhana dari $-p {\begin{bmatrix} -p . (-p^{-3}) \end{bmatrix}}^{-3}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} -p {\begin{bmatrix} -p . (-p^{-3}) \end{bmatrix}}^{-3} &= -p {\begin{bmatrix} -p . (-\frac{1}{p^3}) \end{bmatrix}}^{-3}\\ &= -p {\begin{bmatrix} (\frac{1}{p^2}) \end{bmatrix}}^{-3}\\ &= -p .p^6\\ &= -p^7 \end{aligned}$
Contoh soal 4
Bentuk sederhana dari $(\frac{8m^{-9}.n^{-2}}{64m^{-6}.n})^{-1}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} (\frac{8m^{-9}.n^{-2}}{64m^{-6}.n})^{-1}&= \frac{64m^{-6}.n}{8m^{-9}.n^{-2}}\\ &= 8. m^{-6-(-9)}.n^{1-(-2)}\\&=2^3. m^3.n^3\\ &= (2mn)^3 \end{aligned}$
Contoh soal 5
Jika $8^{\frac{x+2}{3}}=(\frac{1}{32})^{2-x}$ maka nilai dari $8x-x^{2}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} 8^{\frac{x+2}{3}}&=(\frac{1}{32})^{2-x}\\ 2^{3(\frac{x+2}{3})}&=2^{-5(2-x)}\\ 2^{x+2}&=2^{-10+5x}\\ x+2&= -10+5x\\ 4x&=12\\x&=3 \end{aligned}$
Sehingga dapat diperoleh nilai dari $8x-x^{2}$ sebagai berikut
$\begin{aligned}8x-x^{2}&= 8.3-3^{2}\\ &= 24-9\\&=15 \end{aligned}$
Contoh soal 6
Bentuk sederhana dari $(\sqrt{a+3}+\sqrt{a-3})^{2}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} (\sqrt{a+3}+\sqrt{a-3})^{2}&= (\sqrt{a+3})^2+2.\sqrt{a+3}.\sqrt{a-3}+(\sqrt{a-3})^2\\ &= a+3+2\sqrt{a^2-3^2}+a-3\\ &= 2a+2\sqrt{a^2-9} \end{aligned}$
Contoh soal 7
Nilai dari $\sqrt{0,0625}+\frac{1}{\sqrt{16}}-(0,5)^{2}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} \sqrt{0,0625}+\frac{1}{\sqrt{16}}-(0,5)^{2}&= \sqrt{\frac{625}{10000}}+\frac{1}{4}-(0,5)^{2}\\&= \frac{25}{100}+\frac{1}{4}-(0,5)^{2}\\ &=0,25+0,25-0,25\\&=0,25 \end{aligned}$
Contoh soal 8
Bentuk sederhana dari $\sqrt{14+8\sqrt{3}}$ adalah ...
Jawab:
Ingat, ada salah satu sifat bentuk akar adalah $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{(a+b)+2\sqrt{a.b}}$
Sehingga,
$\begin{aligned} \sqrt{14+8\sqrt{3}}&= \sqrt{14+2\sqrt{48}}\\ &= \sqrt{(6+8)+2\sqrt{6.8}}\\ &= \sqrt{6}+\sqrt{8} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\sqrt{14+8\sqrt{3}}$ adalah $\sqrt{6}+\sqrt{8}$
Contoh soal 9
Jika $a={}^6 \log 5$ dan $b={}^5 \log 4$ maka nilai dari ${}^4 \log 0,24$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} {}^4 \log 0,24 &= \frac{\log 0,24}{\log 4}\\ &= \frac{{}^5 \log 0,24}{{}^5 \log 4}\\ &= \frac{{}^5 \log \frac{24}{100}}{{}^5 \log 4}\\ &= \frac{{}^5 \log 24 - {}^5 \log 100}{{}^5 \log 4}\\ &= \frac{{}^5 \log (6.4) - {}^5 \log (25.4)}{{}^5 \log 4}\\ &= \frac{{}^5 \log 6+{}^5 \log 4 - {}^5 \log 25-{}^5 \log 4}{{}^5 \log 4}\\ &= \frac{\frac{1}{{}^6 \log 5}+{}^5 \log 4 - 2.{}^5 \log 5-{}^5 \log 4}{{}^5 \log 4}\\ &= \frac{\frac{1}{a}+b - 2-b}{b}\\ &= \frac{\frac{1}{a} - 2}{b}\\ &= \frac{\frac{1-2a}{a}}{b}\\ &= \frac{1-2a}{ab} \end{aligned}$
Contoh soal 10
Nilai dari ${}^5 \log \sqrt{27}. {}^9 \log 125+{}^{16} \log 32 $ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} {}^5 \log \sqrt{27}. {}^9 \log 125+{}^{16} \log 32 &= {}^5 \log \sqrt{3^3}. {}^9 \log 125+{}^{16} \log 32\\ &= {}^5 \log 3^{\frac{3}{2}}. {}^{3^2} \log 5^3+{}^{2^4} \log 2^5\\ &= \frac{3}{2}.{}^5 \log 3. \frac{3}{2}.{}^{3} \log 5+\frac{5}{4}.{}^{2} \log 2\\ &= \frac{3}{2}.\frac{3}{2}.{}^5 \log 3. {}^{3} \log 5+\frac{5}{4}.{}^{2} \log 2\\ &= \frac{9}{4}. {}^{5} \log 5 +\frac{5}{4}.{}^{2} \log 2\\ &= \frac{9}{4}. 1 +\frac{5}{4}.1\\ &= \frac{14}{4}\\ &= \frac{7}{2} \end{aligned}$
Contoh soal 11
Jika $\log 3=a$ dan $\log 2=b$, maka nilai dari $\log \frac{27}{8}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} \log \frac{27}{8}&= \log 27 - \log 8\\ &= \log 3^3 - \log 2^3\\ &= 3. \log 3 - 3. \log 2\\ &= 3a - 3b\\ &= 3(a-b) \end{aligned}$
Contoh soal 12
Nilai dari $\frac{({}^5 \log 100)^{2}-({}^5 \log 4)^{2}}{{}^5 \log \sqrt[3]{20}}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} \frac{({}^5 \log 100)^{2}-({}^5 \log 4)^{2}}{{}^5 \log \sqrt[3]{20}}&= \frac{({}^5 \log 100+{}^5 \log 4)({}^5 \log 100-{}^5 \log 4)}{{}^5 \log 20^{\frac{1}{3}}}\\ &= \frac{({}^5 \log (100.4))({}^5 \log (\frac{100}{4}))}{{}^5 \log 20^{\frac{1}{3}}}\\ &= \frac{({}^5 \log 400)({}^5 \log 25)}{{}^5 \log 20^{\frac{1}{3}}}\\ &= \frac{({}^5 \log 20^2)({}^5 \log 5^2)}{{}^5 \log 20^{\frac{1}{3}}}\\ &= \frac{(2.{}^5 \log 20)(2.{}^5 \log 5)}{{}^5 \log 20^{\frac{1}{3}}}\\ &= \frac{(2.{}^5 \log 20)(2.1)}{{}^5 \log 20^{\frac{1}{3}}}\\ &= \frac{4.{}^5 \log 20}{\frac{1}{3}.{}^5 \log 20}\\ &= \frac{4}{\frac{1}{3}}\\ &= 12 \end{aligned}$
Contoh soal 13
Jika ${}^3 \log 7=a$ maka nilai dari ${}^{27} \log \sqrt[3]{\frac{1}{49}}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} {}^{27} \log \sqrt[3]{\frac{1}{49}}&= {}^{27} \log \sqrt[3]{49^{-1}}\\ &= {}^{27} \log \sqrt[3]{7^{-2}}\\ &= {}^{3^{3}} \log 7^{\frac{-2}{3}}\\ &= \frac{\frac{-2}{3}}{3} . {}^{3} \log 7\\ &= -\frac{2}{9} a \end{aligned}$
Contoh soal 14
Nilai dari $ \frac{{}^k \log x^{3}}{{}^k \log \sqrt[3]{x^{2}}}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} \frac{{}^k \log x^{3}}{{}^k \log \sqrt[3]{x^{2}}} &= \frac{{}^k \log x^{3}}{{}^k \log x^{\frac{2}{3}}} \\ &= \frac{3. {}^k \log x}{\frac{2}{3}.{}^k \log x}\\ &= \frac{3}{\frac{2}{3}}\\ &= \frac{9}{2} \end{aligned}$
Contoh soal 15
Nilai dari $ ({}^{27}\log 125)({}^{25} \log \frac{1}{64})({}^{64} \log \frac{1}{9})$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned}({}^{27}\log 125)({}^{25} \log \frac{1}{64})({}^{64} \log \frac{1}{9}) &= ({}^{27}\log 125)({}^{25} \log 64^{-1})({}^{64} \log {9}^{-1}) \\ &=({}^{3^{3}}\log 5^{3})({}^{5^{2}} \log {64}^{-1})({}^{64} \log {3}^{-2})\\ &= \frac{3}{3}.({}^{3}\log 5) . \frac{-1}{2}.({}^{5} \log {64}). \frac{-2}{1} ({}^{64} \log {3})\\ &= \frac{3}{3}. \frac{-1}{2}. \frac{-2}{1}. ({}^{3}\log 5) ({}^{5} \log {64}) ({}^{64} \log {3}) \\ &=1. {}^{3}\log 3 \\&= 1 \end{aligned}$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi bentuk pangkat, bentuk akar, dan bentuk logaritma matematika SMA (Kelas 10). Semoga bermanfaat.
Referensi
Suyatno. 2010. Jujitsu (Jurus Jitu Taklukkan Soal Ujian) Matematika SMA. Jakarta: Media Pusindo.