Contoh Soal Sifat-Sifat Logaritma SMA/MA dan Pembahasannya

Definisi

Logaritma adalah invers (balikan) dari eksponen. Logaritma dituliskan sebagai "log" dan didefinisikan sebagai berikut.

Misalkan $a,b~\in~ R, a>0, a \neq 1, b>0,$ dan $c $ rasional maka ${}^a \log b = c $ jika dan hanya jika $ a^c=b$

dimana:

$a$ disebut basis 

$b$ disebut numerus 

$c$ disebut hasil logaritma

Sebagai contoh sesuai definisi diatas adalah sebagai berikut.

$ 2^{3} = 8  \Leftrightarrow {}^2 \log 8 = 3$

$ 5^{2} = 25  \Leftrightarrow {}^5 \log 25 = 2$

$ 3^{4} = 81  \Leftrightarrow {}^3 \log 81 = 4$

Dalam bahasa sederhananya, 

bentuk ${}^a \log b = ... $ dapat dimaknai sebagai $a$ pangkat berapa ... yang menghasilkan $b$

Misal, ${}^2 \log 8 = ... $ dapat dimaknai sebagai $2$ pangkat berapa ... yang menghasilkan $8$

Sifat-sifat logaritma

Untuk $a \neq 1, a > 0$ dan $b,c > 0$ berlaku sifat-sifat berikut:

$1).~~{}^a \log 1 = 0 ; {}^a \log a = 1$

$2).~~{}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $

$3).~~{}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log (\frac{b}{c}) $

$4).~~{}^a \log b  = \frac{{}^m \log b}{{}^m \log a} $; $m>0$, $m \neq 1$

$5).~~{{}^a}^{m} \log b^{n} = \frac{n}{m} \cdot {}^a \log b $

$6).~~{}^a \log b^n = n. {}^a \log b$

$7).~~{a}^{a \log b} = b$

$8).~~{}^a \log b \cdot {}^b \log c = {}^a \log c $

$9).~~{}^a \log b = \frac{1}{ {}^b \log a }$

Berikut ini beberapa contoh soal logaritma dari sifat-sifat diatas.

Contoh Soal 1

Nilai dari $ {}^2 \log ~(0,125) $ adalah ...

Jawab:

$\begin{aligned} {}^2 \log ~(0,125) &= {}^2 \log \frac{1}{8} \\ &= {}^2 \log 2^{-3} \\ &= -3 \end{aligned}$ 

Contoh Soal 2

Tentukan nilai dari $\frac{1}{8} \cdot {}^2 \log 16 - \frac{1}{4} \cdot {}^2 \log 8 $

Jawab:

$\begin{aligned} \frac{1}{8} \cdot {}^2 \log 16 - \frac{1}{4} \cdot {}^2 \log 8 &=  \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot {}^2 \log 16 - \frac{1}{4} \cdot {}^2 \log 8 \\ &= \frac{1}{4} ({}^2 \log {16}^\frac{1}{2}-{}^2 \log 8) \\ &= \frac{1}{4} ({}^2 \log 4-{}^2 \log 8) \\ &= \frac{1}{4} ({}^2 \log \frac{4}{8}) \\ &= \frac{1}{4} ({}^2 \log \frac{1}{2}) \\ &= \frac{1}{4} ({}^2 \log 2^{-1}) \\ &= -\frac{1}{4}  \end{aligned}$  

Contoh Soal 3

Tentukan nilai dari ${}^3 \log 4 . \, {}^2 \log 3^{6} $

Jawab:

$\begin{align} {}^3 \log 4 . \, {}^2 \log 3^{6} & = {}^3 \log 4 . \, {{}^4}^\frac{1}{2} \log 3^6   \\ & = {}^3 \log 4 . \frac{6}{\frac{1}{2}} . {}^4 \log 3  \\ & = \frac{6}{\frac{1}{2}} . {}^3 \log 4 . {}^4 \log 3   \\ & = 12 . {}^3 \log 3   \\ & = 12   \end{align}$

Contoh Soal 4

Tentukan nilai dari ${}^2 \log 20 + {}^2 \log 8- {}^2 \log 10 $

Jawab:

$\begin{align} {}^2 \log 20 + {}^2 \log 8- {}^2 \log 10 &=  {}^2 \log \left ( \frac{20 \cdot 8}{10} \right )  \\ &= {}^2 \log 16 \\ &= {}^2 \log 2^{4} \\ &= 4  \end{align}$

Contoh Soal 5

Jika ${}^2 \log 7=a$ dan ${}^2 \log 3=b$. Tentukan nilai dari ${}^6 \log 14$

Jawab:

$\begin{align} {}^6 \log 14 &= \frac{{}^2 \log 14}{{}^2 \log 6} \\ &= \frac{{}^2 \log (2.7)}{{}^2 \log (2.3)} \\ &= \frac{{}^2 \log 2 + {}^2 \log 7}{{}^2 \log 2 + {}^2 \log 3} \\ &= \frac{1+a}{1+b} \end{align}$

Contoh Soal 6

Jika $ \log 3=p$ dan $ \log 5=q$. Tentukan nilai dari $ \log 45$

Jawab:

$\begin{align}  \log 45 &=  \log (9.5) \\ &= \log 9 + \log 5 \\ &= \log 3^{2} + \log 5  \\ &= 2. \log 3 + \log 5 \\ &= 2p+q \end{align}$

Contoh Soal 7

Tentukan nilai dari $\ 3^{\displaystyle ^{9}log\ 16} + 4^{\displaystyle ^{16}log\ 25} $

Jawab:

$\begin{align}  \ 3^{\displaystyle ^{9}log\ 16} + 4^{\displaystyle ^{16}log\ 25} &=  \ 3^{\displaystyle ^{3^{2}}log\ 16} + 4^{\displaystyle ^{4^{2}}log\ 25} \\ &=  \ 3^{\displaystyle ^{3}log\ 16^{\frac{1}{2}}} + 4^{\displaystyle ^{4}log\ 25^{\frac{1}{2}}} \\ &=  \ 3^{\displaystyle ^{3}log\ \sqrt{16}} + 4^{\displaystyle ^{4}log\  \sqrt{25}} \\ &= \sqrt{16} + \sqrt{25} \\ &= 4 + 5 \\ &= 9 \end{align}$

Contoh Soal 8

Tentukan nilai dari $\left ( {}^5 \log 49 \right ) \left ( {}^{49} \log 216 \right ) \left ( {}^6 \log 25 \right )$

Jawab:

$ \left ( {}^5 \log 49 \right ) \left ( {}^{49} \log 216 \right ) \left ( {}^6 \log 25 \right )$ 

$\Leftrightarrow  \left ( {}^5 \log 7^{2} \right ) \left ( {}^{7^{2}} \log 6^{3} \right ) \left ( {}^6 \log 5^{2} \right )$

$\Leftrightarrow  \frac{2}{1}. \left ( {}^5 \log 7 \right ) \frac{3}{2}.\left ( {}^{7} \log 6 \right ) \frac{2}{1}.\left ( {}^6 \log 5 \right )$  

$\Leftrightarrow   \frac{2}{1}. \frac{3}{2}.\frac{2}{1}. \left ( {}^5 \log 7 \right ) \left ( {}^{7} \log 6 \right ) \left ( {}^6 \log 5 \right ) $

$\Leftrightarrow   6 ~~{}^5 \log 5$

$\Leftrightarrow  6 $

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan dari sifat-sifat logaritma. Semoga bermanfaat.