Contoh Soal Integral Fungsi Aljabar beserta Pembahasannya (Part 2)

Contoh Soal Integral Fungsi Aljabar - part 2

Berikut ini adalah lanjutan contoh-contoh soal dan pembahasan pada materi integral fungsi aljabar. Untuk postingan kali ini, akan kita pelajari bersama terkait contoh soal dan pembahasan pada integral tertentu. Selamat membaca, sobat. Semoga bermanfaat.

Definisi Integral Tertentu

Jika fungsi $f$ terdefinisi pada interval $[a,b]$, maka $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) ~dx$ adalah integral tertentu terhadap fungsi $f$ dari $a$ ke $b$ yang dituliskan sebagai berikut.

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\ dx = \left.\begin{matrix} F(x) \end{matrix}\right|_a^b = F(b) - F(a)$

Teorema Integral Tertentu

Teorema 1 (Kelinearan)

Jika $f$ dan $g$ terintegralkan pada interval $[a,b]$ dan $k$ suatu konstanta, maka

$\bullet ~\displaystyle \int_{a}^{b} kf(x) ~dx = k \int_{a}^{b} f(x) ~dx$

$\bullet ~\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x) \pm g(x)) ~dx = \int_{a}^{b} f(x) ~dx \pm \int_{a}^{b} g(x) ~dx$

Teorema 2 (Perubahan batas)

Jika $f$ terintegralkan pada interval $[a,b]$ maka

$\bullet ~\displaystyle \int_{a}^{a} f(x) ~dx = 0$

$\bullet ~\displaystyle \int_{b}^{a} f(x) ~dx = -\int_{a}^{b} f(x) ~dx$

Teorema 3 (Penambahan Interval)

Jika $f$ terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titik $a,b,$ dan $c,$ maka

$\bullet ~\displaystyle \int_{a}^{c} f(x) ~dx = \int_{a}^{b} f(x) ~dx + \int_{b}^{c} f(x) ~dx$

Teorema 4 (Kesimetrian)

Jika $f$ fungsi genap maka $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) ~dx = 2\int_{0}^{a} f(x) ~dx $

Jika $f$ fungsi ganjil maka $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) ~dx = 0$

Untuk lebih jelasnya, berikut ini adalah contoh-contoh soal dan pembahasan dari teorema-teorema integral tertentu diatas.

Contoh Soal 1

Tentukan nilai dari $\displaystyle \int_{-1}^{2} \left ( 3x^{2} - \frac{2}{x^{2}} \right )~dx$

Jawab:

$\begin{align} \displaystyle \int_{-1}^{2} \left ( 3x^{2} - \frac{2}{x^{2}} \right ) ~dx &= \displaystyle \int_{-1}^{2} \left (3 x^{2} - 2x^{-2} \right )~dx \\ &= \displaystyle x^{3} + \frac{2}{x} \Bigr|_{-1}^{2} \\ &= \displaystyle \left [ 2^{3} + \frac{2}{2} \right ] - \left [ \left ( -1 \right )^{3} + \frac{2}{\left ( -1\right )} \right ] \\ &= 9 -(-3) \\ &= 12 \end{align}$

Contoh Soal 2

Tentukan hasil dari $\displaystyle \int_{0}^{4} \frac{2x^{2} - 5x + 3}{x - 1}~dx$

Jawab:

$\begin{align} \displaystyle \int_{0}^{4} \frac{2x^{2} - 5x + 3}{x - 1}~dx &= \int_{0}^{4}\frac{\left ( x-1 \right )\left ( 2x-3 \right )}{x - 1}dx \\ &= \int_{0}^{4} \left ( 2x - 3 \right ) dx \\ &= x^{2} - 3x \Bigr|_{0}^{4} \\ &= \displaystyle \left [ 4^{2} -3.(4) \right ] - \left [ 0^{2} -3.0 \right ] \\ &= 16-12 \\ &= 4 \end{align}$

Contoh Soal 3

Tentukan hasil dari $\displaystyle \int_{-1}^{2}\frac{4x - 8}{(x^{2} - 4x + 3)^{2}}~ dx$

Jawab:

$\displaystyle \int \frac{4x - 8}{(x^{2} - 4x + 3)^{2}}~ dx $

Misalkan $u=x^{2}- 4x + 3 $, maka $du = \left ( 2x - 4\right ) dx \Leftrightarrow dx = \frac{du}{\left ( 2x - 4\right )}$

Sehingga,

$\begin{align} \displaystyle \int \frac{4x - 8}{(x^{2} - 4x + 3)^{2}}~ dx &= \int \frac{\left ( 4x - 8\right )}{ (u)^{2}}. \frac{du}{\left ( 2x - 4\right )} \\ &= \int \frac{2\left ( 2x - 4\right )}{ (u)^{2}}. \frac{du}{\left ( 2x - 4\right )} \\ &= \int \frac{2}{ (u)^{2}} du \\ &= -\frac{2}{u} \\ &= -\frac{2}{x^{2}- 4x + 3} \end{align}$

$\begin{align} \displaystyle \int_{-1}^{2}\frac{4x - 8}{(x^{2} - 4x + 3)^{2}}~ dx &= -\frac{2}{x^{2}- 4x + 3} \Bigr|_{-1}^{2} \\ &= \left [ -\frac{2}{(2)^{2}- 4(2) + 3} \right ] - \left [ -\frac{2}{(-1)^{2}- 4(-1) + 3} \right ] \\ &= 2- \left(- \frac{2}{8} \right ) \\ &= \frac{9}{4} \end{align}$

Contoh Soal 4

Hitunglah nilai integral dari $\displaystyle \int_{0}^{2}\left (2x + 3 \right )\left (x - 1 \right )~dx + \int_{2}^{6}\left (2x + 3 \right )\left (x - 1 \right )~dx$

Jawab:

$\displaystyle \int_{0}^{2}\left (2x + 3 \right )\left (x - 1 \right )dx + \int_{2}^{6}\left (2x + 3 \right )\left (x - 1 \right )dx $

$\Leftrightarrow \displaystyle \int_{0}^{6}\left (2x + 3 \right )\left (x - 1 \right )dx$

Note: $\displaystyle \int_{a}^{c} ( f\left ( x \right ) dx = \int_{a}^{b}f\left (x \right )dx + \int_{b}^{c}f\left (x \right )dx $

$\begin{align} \displaystyle \int_{0}^{6}\left (2x + 3 \right )\left (x - 1 \right )~dx &= \int_{0}^{6}\left (2x^{2}+x-3 \right )~dx \\ &= \frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}-3x \Bigr|_{0}^{6} \\ &= \left [ \frac{2}{3}6^{3}+\frac{1}{2}6^{2}-3.6 \right ] - \left [ \frac{2}{3}0^{3}+\frac{1}{2}0^{2}-3.0 \right ] \\ &= 144 \end{align}$

Contoh Soal 5

Hitunglah nilai integral dari $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left ( 8x + 3x^{2} \right )dx - \int_{4}^{\frac{1}{2}}\left ( 8x + 3x^{2} \right )dx$

Jawab:

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left ( 8x + 3x^{2} \right )dx - \int_{4}^{\frac{1}{2}}\left ( 8x + 3x^{2} \right )dx$

$\Leftrightarrow \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left ( 8x + 3x^{2} \right )dx + \int_{\frac{1}{2}}^{4}\left ( 8x + 3x^{2} \right )dx $

Note: $\displaystyle \int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx= -\int_{b}^{a}f\left ( x \right )dx$

$ \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left ( 8x + 3x^{2} \right )dx + \int_{\frac{1}{2}}^{4}\left ( 8x + 3x^{2} \right )dx \Leftrightarrow \int_{0}^{4}\left ( 8x + 3x^{2} \right )dx$

$\begin{align} \displaystyle \int_{0}^{4}\left ( 8x + 3x^{2} \right )dx &= 4x^{2}+x^{3} \Bigr|_{0}^{4} \\ &= \left [ 4.4^{2}+4^{3} \right ] - \left [ 4.0^{2}+0^{3} \right ] \\ &= 128 \end{align}$

Contoh Soal 6

Tentukan nilai $a$ yang memenuhi $\displaystyle \int_{-2}^{0}\left ( 2x - 2 \right )dx + \int_{0}^{a}\left ( 2x - 2 \right )dx = 0$

Jawab:

$\displaystyle \int_{-2}^{0}\left ( 2x - 2 \right )dx + \int_{0}^{a}\left ( 2x - 2 \right )dx = 0 $

$\Leftrightarrow \displaystyle \int_{-2}^{a}\left ( 2x - 2 \right )dx = 0$

$\begin{align} \displaystyle \int_{-2}^{a}\left ( 2x -2 \right )dx &= x^{2}-2x \Bigr|_{-2}^{a} \\ 0 &= \left [ a^{2}-2a \right ] - \left [ \left ( -2 \right )^{2}-2\left ( -2\right )\right ] \\ 0 &= a^{2}-2a-8 \\ a &= 4 \vee a= -2 \end{align}$

Jadi, nilai a yang dimaksud adalah $ a = 4$ atau $a= -2$

Contoh Soal 7

Jika $\displaystyle \int_{0}^{1} f\left (x \right ) dx = 4$ dan $ \displaystyle \int_{0}^{1} g\left (x \right ) dx = -2$.

Hitunglah integral dari $\displaystyle \int_{0}^{1}\left ( 2g\left ( x \right ) - 3f\left (x \right ) \right ) dx$

Jawab:

$\displaystyle \int_{0}^{1}\left ( 2g\left ( x \right ) - 3f\left (x \right ) \right ) dx $

$\Leftrightarrow \displaystyle \int_{0}^{1} 2g\left (x \right ) dx - \int_{0}^{1} 3f\left (x \right ) dx$

$\Leftrightarrow \displaystyle 2\int_{0}^{1} g\left (x \right ) dx - 3\int_{0}^{1} f\left (x \right ) dx$

$\Leftrightarrow 2\left (-2 \right )-3\left (4 \right ) = -16$

Contoh Soal 8

Tentukanlah $\displaystyle \int_{0}^{4} f\left (x \right )~ dx$. Jika fungsi $f$ didefinisikan sebagai

$f\left (x \right ) = \begin{cases} x+2,&\text{jika}~0\leq x < 2 \\ 6-x,&\text{jika}~x\geq 2 \end{cases}$

Jawab:

$\begin{align} \displaystyle \int_{0}^{4} f\left (x \right ) dx &= \int_{0}^{2} f\left (x \right ) dx + \int_{2}^{4} f\left (x \right ) ~dx \\ &= \int_{0}^{2} \left (x+2 \right ) dx + \int_{2}^{4} \left (6-x \right ) dx \\ &= \left ( \frac{1}{2}x^{2}+2x\right ) \Bigr|_{0}^{2} +\left ( 6x- \frac{1}{2}x^{2} \right ) \Bigr|_{2}^{4}\\ &= 6 + 6 \\ &= 12\end{align}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi integral fungsi aljabar. Semoga bermanfaat.

Referensi:

E. S., Pesta dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 3: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XII SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.