Pembahasan Contoh Soal Materi Limit Tak Hingga
Berikut ini mimin sajikan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi limit tak hingga. Selamat membaca, sobat. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty } (\sqrt{9x^2+5x+5}-\sqrt{9x^2-7x-4})$ adalah ...
Jawab:
Gunakan rumus selisih akar kuadrat:
$\begin{aligned} &\color{red}{\lim\limits_{x \to \infty } (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r})} \\&=\frac{b-q}{2 \sqrt{a}} \text{ (Jika a=p)}\\&= \infty \text{ (Jika a>p)} \\&= - \infty \text{ (Jika a<p)} \end{aligned}$
$\begin{aligned} &\lim\limits_{x \to \infty } (\sqrt{9x^2+5x+5}-\sqrt{9x^2-7x-4}) \\&= \frac{b-q}{2 \sqrt{a}}\\&= \frac{5+7}{2 \sqrt{9}} \\&=\frac{12}{6}\\&= 2 \end{aligned}$
Contoh soal 2
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty } (\sqrt{4x^2+3x+4}-2x+2)$ adalah ...
Jawab:
Gunakan rumus selisih akar kuadrat:
$\begin{aligned} &\lim\limits_{x \to \infty } (\sqrt{4x^2+3x+4}-2x+2)\\&= \lim\limits_{x \to \infty } (\sqrt{4x^2+3x+4}-(2x-2))\\&= \lim\limits_{x \to \infty } (\sqrt{4x^2+3x+4}-\sqrt{(2x-2)^2})\\&= \lim\limits_{x \to \infty } (\sqrt{4x^2+3x+4}-\sqrt{4x^2-8x+4}) \end{aligned}$
Karena $a=p$, maka nilai limitnya adalah :
$\begin{aligned} &\frac{b-q}{2 \sqrt{a}}\\ &= \frac{3+8}{2 \sqrt{4}} \\&=\frac{11}{4} \end{aligned}$
Contoh soal 3
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty } \frac{6x-5}{2-3x}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} &\lim\limits_{x \to \infty } \frac{6x-5}{2-3x}\\&= \lim\limits_{x \to \infty } \frac{6x-5}{2-3x} \times \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \\&= \lim\limits_{x \to \infty } \frac{6-\frac{5}{x}}{\frac{2}{x}-3} \\&= \frac{6-\frac{5}{\infty}}{\frac{2}{\infty}-3}\\&= \frac{6-0}{0-3}\\&=-2 \end{aligned}$
Contoh soal 4
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty } (\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2+2x})$ adalah ...
Jawab:
Gunakan rumus selisih akar kuadrat:
$\begin{aligned} &\color{red}{\lim\limits_{x \to \infty } (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r})} \\&=\frac{b-q}{2 \sqrt{a}} \text{ (Jika a=p)} \end{aligned}$
Karena $a=p$, maka nilai limitnya adalah :
$\begin{aligned} &\frac{b-q}{2 \sqrt{a}}\\ &= \frac{1-2}{2 \sqrt{1}} \\&=-\frac{1}{2} \end{aligned}$
Contoh soal 5
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty } \frac{9x^3-6x^2+5x-3}{3x^3-2x^2+3x+2}$ adalah ...
Jawab:
Karena pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut, sesuai bentuk dari
$\lim\limits_{x \to \infty } \frac{a_1x^m+a_2x^{m-1}+...}{b_1x^n-b_2x^{n-1}+...} =\frac{a_1}{b_1}$, jika $m=n$, maka
$\begin{aligned} &\lim\limits_{x \to \infty } \frac{9x^3-6x^2+5x-3}{3x^3-2x^2+3x+2}\\&= \frac{9}{3}\\&=3 \end{aligned}$
Contoh soal 6
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty } \frac{2x^2+5x-3}{2-3x-4x^2}$ adalah ...
Jawab:
Karena pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut, sesuai bentuk dari
$\lim\limits_{x \to \infty } \frac{a_1x^m+a_2x^{m-1}+...}{b_1x^n-b_2x^{n-1}+...} =\frac{a_1}{b_1}$, jika $m=n$, maka
$\begin{aligned} &\lim\limits_{x \to \infty } \frac{2x^2+5x-3}{2-3x-4x^2}\\&= \frac{2}{-4}\\&=-\frac{1}{2} \end{aligned}$
Contoh soal 7
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty } \frac{10x^{-1}-18x^2}{3x^{-1}-6x^2}$ adalah ...
Jawab:
Karena pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut, sesuai bentuk dari
$\lim\limits_{x \to \infty } \frac{a_1x^m+a_2x^{m-1}+...}{b_1x^n-b_2x^{n-1}+...} =\frac{a_1}{b_1}$, jika $m=n$, maka
$\begin{aligned} &\lim\limits_{x \to \infty } \frac{10x^{-1}-18x^2}{3x^{-1}-6x^2}\\&= \frac{-18}{-6}\\&=3 \end{aligned}$
Contoh soal 8
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty } (5x-6-\sqrt{25x^2+10x-20})$ adalah ...
Jawab:
Gunakan rumus selisih akar kuadrat:
$\begin{aligned} &\lim\limits_{x \to \infty } (5x-6-\sqrt{25x^2+10x-20})\\&= \lim\limits_{x \to \infty } ((5x-6)-\sqrt{25x^2+10x-20})\\&= \lim\limits_{x \to \infty } (\sqrt{(5x-6)^2}-\sqrt{25x^2+10x-20}) \\&= \lim\limits_{x \to \infty } (\sqrt{25x^2-60x+36}-\sqrt{25x^2+10x-20}) \end{aligned}$
Karena $a=p$, maka nilai limitnya adalah :
$\begin{aligned} &\frac{b-q}{2 \sqrt{a}}\\ &= \frac{-60-10}{2 \sqrt{25}} \\&=\frac{-70}{10}\\&=-7 \end{aligned}$
Contoh soal 9
Nilai dari $\lim\limits_{x \to \infty } \frac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2-2x+1)}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} & \lim\limits_{x \to \infty } \frac{(1-2x)^3}{(x-1)(2x^2-2x+1)}\\&= \lim\limits_{x \to \infty } \frac{-8x^3+12x^-6x+1}{2x^3-4x^2+3x-1} \end{aligned}$
Karena pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut, sesuai bentuk dari
$\lim\limits_{x \to \infty } \frac{a_1x^m+a_2x^{m-1}+...}{b_1x^n-b_2x^{n-1}+...} =\frac{a_1}{b_1}$, jika $m=n$, maka
$\begin{aligned} &\lim\limits_{x \to \infty } \frac{-8x^3+12x^-6x+1}{2x^3-4x^2+3x-1}\\&= \frac{-8}{2}\\&=-4 \end{aligned}$
Contoh soal 10
Jika $\lim\limits_{x \to \infty } (\sqrt{9x^2+bx}-(3x-1))=\frac{7}{3}$, tentukan nilai $b$ yang memenuhi.
Jawab:
$\begin{aligned} &\lim\limits_{x \to \infty } (\sqrt{9x^2+bx}-(3x-1))=\frac{7}{3} \\& \lim\limits_{x \to \infty } (\sqrt{9x^2+bx}-(3x-1)) \times \frac{\sqrt{9x^2+bx}+(3x-1)}{\sqrt{9x^2+bx}+(3x-1)}=\frac{7}{3}\\& \lim\limits_{x \to \infty } \frac{(9x^2+bx)-(9x^2-6x+1)}{\sqrt{9x^2+bx}+(3x-1)}=\frac{7}{3}\\& \lim\limits_{x \to \infty } \frac{(b+6)x-1}{\sqrt{9x^2+bx}+(3x-1)}=\frac{7}{3}\\ &\lim\limits_{x \to \infty } \frac{(b+6)-\frac{1}{x}}{\sqrt{9+\frac{b}{x}}+(3-\frac{1}{x})}=\frac{7}{3}\\ &\frac{(b+6)-0}{\sqrt{9+0}+(3-0)}=\frac{7}{3}\\&\frac{b+6}{6}= \frac{7}{3}\\ &3(b+6)=42\\&3b+18=42\\&3b=24\\&b=8 \end{aligned}$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi limit tak hingga. Semoga bermanfaat.
