Pembahasan Contoh Soal Materi Limit Tak Hingga

 

Berikut ini mimin sajikan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi limit tak hingga. Selamat membaca, sobat. Semoga bermanfaat. 

Contoh soal 1

Nilai dari $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{9x^2+5x+5}-\sqrt{9x^2-7x-4})$ adalah ...

Jawab:

Gunakan rumus selisih akar kuadrat:

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{a{x}^2+bx+c}-\sqrt{p{x}^2+qx+r})\\ & =\frac{b-q}{2\sqrt{a}}\text{ (Jika a=p)}\\ & =\mathrm{\infty }\text{ (Jika a>p)}\\ & =-\mathrm{\infty }\text{ (Jika a<p)}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{9x^2+5x+5}-\sqrt{9x^2-7x-4})\\ & =\frac{b-q}{2\sqrt{a}}\\ & =\frac{5+7}{2\sqrt{9}}\\ & =\frac{12}{6}\\ & =2\end{array}$

Contoh soal 2

Nilai dari $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{4x^2+3x+4}-2x+2)$ adalah ...

Jawab:

Gunakan rumus selisih akar kuadrat:

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{4x^2+3x+4}-2x+2)\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{4x^2+3x+4}-(2x-2))\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{4x^2+3x+4}-\sqrt{(2x-2{)}^2})\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{4x^2+3x+4}-\sqrt{4x^2-8x+4})\end{array}$

Karena $a=p$, maka nilai limitnya adalah :

$\begin{array}{rl}& \frac{b-q}{2\sqrt{a}}\\ & =\frac{3+8}{2\sqrt{4}}\\ & =\frac{11}{4}\end{array}$

Contoh soal 3

Nilai dari $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{6x-5}{2-3x}$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{6x-5}{2-3x}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{6x-5}{2-3x}\times \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{6-\frac{5}{x}}{\frac{2}{x}-3}\\ & =\frac{6-\frac{5}{\mathrm{\infty }}}{\frac{2}{\mathrm{\infty }}-3}\\ & =\frac{6-0}{0-3}\\ & =-2\end{array}$

Contoh soal 4

Nilai dari $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2+2x})$ adalah ...

Jawab:

Gunakan rumus selisih akar kuadrat:

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{a{x}^2+bx+c}-\sqrt{p{x}^2+qx+r})\\ & =\frac{b-q}{2\sqrt{a}}\text{ (Jika a=p)}\end{array}$

Karena $a=p$, maka nilai limitnya adalah :

$\begin{array}{rl}& \frac{b-q}{2\sqrt{a}}\\ & =\frac{1-2}{2\sqrt{1}}\\ & =-\frac{1}{2}\end{array}$

Contoh soal 5

Nilai dari $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{9x^3-6x^2+5x-3}{3x^3-2x^2+3x+2}$ adalah ...

Jawab:

Karena pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut, sesuai bentuk dari

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_1{x}^m+a_2{x}^{m-1}+...}{b_1{x}^n-b_2{x}^{n-1}+...}=\frac{a_1}{b_1}$, jika $m=n$, maka

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{9x^3-6x^2+5x-3}{3x^3-2x^2+3x+2}\\ & =\frac{9}{3}\\ & =3\end{array}$ 

Contoh soal 6

Nilai dari $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2+5x-3}{2-3x-4x^2}$ adalah ...

Jawab:

Karena pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut, sesuai bentuk dari

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_1{x}^m+a_2{x}^{m-1}+...}{b_1{x}^n-b_2{x}^{n-1}+...}=\frac{a_1}{b_1}$, jika $m=n$, maka

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2+5x-3}{2-3x-4x^2}\\ & =\frac{2}{-4}\\ & =-\frac{1}{2}\end{array}$ 

Contoh soal 7

Nilai dari $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{10x^{-1}-18x^2}{3x^{-1}-6x^2}$ adalah ...

Jawab:

Karena pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut, sesuai bentuk dari

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_1{x}^m+a_2{x}^{m-1}+...}{b_1{x}^n-b_2{x}^{n-1}+...}=\frac{a_1}{b_1}$, jika $m=n$, maka

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{10x^{-1}-18x^2}{3x^{-1}-6x^2}\\ & =\frac{-18}{-6}\\ & =3\end{array}$ 

Contoh soal 8

Nilai dari $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(5x-6-\sqrt{25x^2+10x-20})$ adalah ...

Jawab:

Gunakan rumus selisih akar kuadrat:

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(5x-6-\sqrt{25x^2+10x-20})\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}((5x-6)-\sqrt{25x^2+10x-20})\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{(5x-6{)}^2}-\sqrt{25x^2+10x-20})\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{25x^2-60x+36}-\sqrt{25x^2+10x-20})\end{array}$

Karena $a=p$, maka nilai limitnya adalah :

$\begin{array}{rl}& \frac{b-q}{2\sqrt{a}}\\ & =\frac{-60-10}{2\sqrt{25}}\\ & =\frac{-70}{10}\\ & =-7\end{array}$

Contoh soal 9

Nilai dari $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(1-2x{)}^3}{(x-1)(2x^2-2x+1)}$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(1-2x{)}^3}{(x-1)(2x^2-2x+1)}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-8x^3+12x^{-}6x+1}{2x^3-4x^2+3x-1}\end{array}$

Karena pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut, sesuai bentuk dari

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_1{x}^m+a_2{x}^{m-1}+...}{b_1{x}^n-b_2{x}^{n-1}+...}=\frac{a_1}{b_1}$, jika $m=n$, maka

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-8x^3+12x^{-}6x+1}{2x^3-4x^2+3x-1}\\ & =\frac{-8}{2}\\ & =-4\end{array}$ 

Contoh soal 10

Jika $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{9x^2+bx}-(3x-1))=\frac{7}{3}$, tentukan nilai $b$ yang memenuhi.

Jawab:

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{9x^2+bx}-(3x-1))=\frac{7}{3}\\ & \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{9x^2+bx}-(3x-1))\times \frac{\sqrt{9x^2+bx}+(3x-1)}{\sqrt{9x^2+bx}+(3x-1)}=\frac{7}{3}\\ & \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(9x^2+bx)-(9x^2-6x+1)}{\sqrt{9x^2+bx}+(3x-1)}=\frac{7}{3}\\ & \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(b+6)x-1}{\sqrt{9x^2+bx}+(3x-1)}=\frac{7}{3}\\ & \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(b+6)-\frac{1}{x}}{\sqrt{9+\frac{b}{x}}+(3-\frac{1}{x})}=\frac{7}{3}\\ & \frac{(b+6)-0}{\sqrt{9+0}+(3-0)}=\frac{7}{3}\\ & \frac{b+6}{6}=\frac{7}{3}\\ & 3(b+6)=42\\ & 3b+18=42\\ & 3b=24\\ & b=8\end{array}$ 

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi limit tak hingga. Semoga bermanfaat.