Contoh Soal Transformasi Geometri - Translasi beserta Pembahasannya

Translasi

Translasi (pergeseran) merupakan transformasi yang memindahkan titik pada bidang (objek) dengan arah dan jarak tertentu.

$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ ditranslasikan oleh $T=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$, maka akan diperoleh $A^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$, secara notasi ditulis :

$A(x,y)\stackrel{T=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)}{\to }{A}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$

$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ ditranslasikan oleh $T_1=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ dilanjutkan dengan $T_2=\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$ maka akan diperoleh $A^{″}(x^{″},y^{″})$, secara notasi ditulis :

$A(x,y)\stackrel{T_{2}o{T}_1=\left(\begin{array}{c}a+c\\ b+d\end{array}\right)}{\to }{A}^{″}(x^{″},y^{″})$

$\left(\begin{array}{c}{x}^{″}\\ y^{″}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}a+c\\ b+d\end{array}\right)$

Berikut ini beberapa contoh soal transformasi translasi dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Translasi $T=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ memetakan titik $A(2,-6)$ ke $A^{\prime }(-6,-3)$. Tentukan translasi tersebut.

Jawab:

$A(2,-6)\stackrel{T=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)}{\to }{A}^{\prime }(-6,-3)$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}-6\\ -3\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}2\\ -6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ -6\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}-8\\ 3\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, translasi tersebut adalah $T=\left(\begin{array}{c}-8\\ 3\end{array}\right)$

Contoh soal 2

Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut $A(2,3)$, $B(5,4)$, dan $C(3,6)$ oleh translasi $T=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$.

Jawab:

$\begin{array}{rl}& A(2,3)\stackrel{T=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)}{\to }{A}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })\\ & B(5,4)\to B^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })\\ & C(3,6)\to C^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })\end{array}$

$\bullet A^{\prime }$

$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)\end{array}$

$\bullet B^{\prime }$

$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 6\end{array}\right)\end{array}$

$\bullet C^{\prime }$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}6\\ 8\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, bayangan segitiga $ABC$ adalah segitiga $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ dengan titik $A^{\prime }(5,5)$, $B^{\prime }(8,6)$, dan $C^{\prime }(6,8)$.

Contoh soal 3

Tentukanlah bayangan garis $3x+2y-3=0$ oleh translasi $T=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$.

Jawab:

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\end{array}$

Sehingga diperoleh

$\begin{array}{r}x=x^{\prime }-1\\ y=y^{\prime }-2\end{array}$

Substitusi nilai $x$ dan $y$ pada persamaan garis $3x+2y-3=0$

$\begin{array}{rl}3x+2y-3& =0\\ 3(x^{\prime }-1)+2(y^{\prime }-2)-3& =0\\ 3x^{\prime }+2y^{\prime }-3-4-3& =0\\ 3x^{\prime }+2y^{\prime }-10& =0\end{array}$

Jadi, bayangan garis $3x+2y-3=0$ oleh translasi $T=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ adalah $3x+2y-10=0$

Contoh soal 4

Tentukanlah bayangan lingkaran $x^2+y^2-4x-6=0$ yang ditranslasikan oleh $T_2=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$ dilanjutkan oleh $T_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right)$.

Jawab:

$A(x,y)\stackrel{T_{2}o{T}_1=\left(\begin{array}{c}a+c\\ b+d\end{array}\right)}{\to }{A}^{″}(x^{″},y^{″})$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}^{″}\\ y^{″}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}a+c\\ b+d\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}{x}^{″}\\ y^{″}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-1+2\\ -1+(-3)\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}{x}^{″}\\ y^{″}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ -4\end{array}\right)\end{array}$

Sehingga diperoleh

$\begin{array}{r}x=x^{″}-1\\ y=y^{″}+4\end{array}$

Substitusi nilai $x$ dan $y$ pada persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x-6=0$

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2-4x-6& =0\\ (x^{″}-1{)}^2+(y^{″}+4{)}^2-4(x^{″}-1)-6& =0\\ (x^{″}{)}^2-2(x^{″})+1+(y^{″}{)}^2+8(y^{″})+16-4(x^{″})+4-6& =0\\ (x^{″}{)}^2+(y^{″}{)}^2-6(x^{″})+8(y^{″})+15& =0\end{array}$

Jadi, bayangan lingkaran $x^2+y^2-4x-6=0$ yang ditranslasikan oleh $T_2=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$ dilanjutkan oleh $T_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right)$ adalah $x^2+y^2-6x+8y+15=0$

Contoh soal 5

Bayangan lingkaran $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=1$ oleh translasi $T=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ adalah $(x+3{)}^2+(y-1{)}^2=1$. Tentukan nilai $a+b$.

Jawab:

Diketahui :

Persamaan awal : $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=1$

Persamaan bayangan : $(x+3{)}^2+(y-1{)}^2=1$, bisa ditulis dengan $(x^{\prime }+3{)}^2+(y^{\prime }-1{)}^2=1$

$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\end{array}$

Sehingga diperoleh

$\begin{array}{r}{x}^{\prime }=x+a\\ y^{\prime }=y+b\end{array}$

Substitusi nilai $x^{\prime }$ dan $y^{\prime }$ ke persamaan bayangan $(x^{\prime }+3{)}^2+(y^{\prime }-1{)}^2=1$ 

$\begin{array}{rl}(x^{\prime }+3{)}^2+(y^{\prime }-1{)}^2& =1\\ (x+a+3{)}^2+(y+b-1{)}^2& =1\end{array}$

Bentuk persamaan $(x+a+3{)}^2+(y+b-1{)}^2=1$ adalah sama dengan bentuk persamaan awal $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=1$. Sehingga dapat diperoleh

$\begin{array}{rl}x+a+3& =x-2\\ a& =x-x-2-3\\ a& =-5\end{array}$

$\begin{array}{rl}y+b-1& =y+3\\ b& =y-y+3+1\\ b& =4\end{array}$

Jadi, nilai $a+b=-5+4=-1$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi translasi. Semoga bermanfaat. 

Referensi

E. S., Pesta  dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. 

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.