Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) SMA/MA beserta Pembahasannya

Definisi 

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linear dengan tiga variabel. Bentuk umum-nya adalah sebagai berikut.

$\{\begin{array}{ll}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z& =d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z& =d_2\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z& =d_3\end{array}$

dengan,

$a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3,d_1,d_2,d_3$ merupakan bilangan real

$a_1,b_1,c_1$ tidak sekaligus ketiganya nol

$a_2,b_2,c_2$ tidak sekaligus ketiganya nol

$a_3,b_3,c_3$ tidak sekaligus ketiganya nol

keterangan:

$x,y,z$ adalah variabel

$a_1,a_2,a_3$ adalah koefisien variabel $x$

$b_1,b_2,b_3$ adalah koefisien variabel $y$

$c_1,c_2,c_3$ adalah koefisien variabel $z$

$d_1,d_2,d_3$ adalah konstanta persamaan

Cara Penyelesaian SPLTV

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, diantaranya yaitu metode eliminasi, metode substitusi, metode gabungan (eliminasi-substitusi), dan metode determinan.

Namun untuk bahasan kali ini, akan kita pelajari metode penyelesaian SPLTV dengan cara gabungan (eliminasi-subtitusi) saja. Berikut ini contoh soalnya.

Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi)

Contoh Soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut.

$\{\begin{array}{ll}2x+3y-z& =11\\ 2x-2y+2z& =4\\ -2x+y+z& =-3\end{array}$

Jawab:

$\{\begin{array}{llll}2x+3y-z& =11& & (\cdots 1)\\ 2x-2y+2z& =4& & (\cdots 2)\\ -2x+y+z& =-3& & (\cdots 3)\end{array}$

Eliminasi $x$ dari $(1)$ dan $(2)$

$\underline{\begin{array}{r}\begin{array}{rl}2x+3y-z& =11\\ 2x-2y+2z& =4-\end{array}\end{array}}$  

$5y-3z=7(\cdots 4)$

Eliminasi $x$ dari $(1)$ dan $(3)$

$\underline{\begin{array}{r}\begin{array}{rl}2x+3y-z& =11\\ -2x+y+z& =-3+\end{array}\end{array}}$  

$4y=8$  

$y=2$

Subtitusi $y=2$ ke $(4)$

$5y-3z=7$

$\iff 5(2)-3z=7$

$\iff 5(2)-3z=7$

$\iff -3z=-3$

$\iff z=1$

Subtitusi $y=2$ dan $z=1$ ke $(1)$

$2x+3y-z=11$

$\iff 2x+3(2)-(1)=11$

$\iff 2x+5=11$

$\iff 2x=6$

$\iff x=3$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{(3,2,1)\}$

Contoh Soal 2

Diketahui sistem persamaan:

$\{\begin{array}{ll}2x+5y+7z& =3\\ 3x-4y+z& =-13\\ 5x-y-8z& =30\end{array}$

Nilai dari $x+y+z$ adalah ...

Jawab:

$\{\begin{array}{llll}2x+5y+7z& =3& & (\cdots 1)\\ 3x-4y+z& =-13& & (\cdots 2)\\ 5x-y-8z& =30& & (\cdots 3)\end{array}$

Eliminasi $y$ dari $(1)$ dan $(2)$

$\begin{array}{rl}\begin{array}{rl}2x+5y+7z& =3\\ 3x-4y+z& =-13\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 4\\ \times 5\end{array}\right|& \begin{array}{rl}8x+20y+28z& =12\\ 15x-20y+5z& =-65\end{array}\\ & +\\ & \begin{array}{r}23x+33z=-53(\cdots 4)\end{array}\end{array}$

Eliminasi $y$ dari $(2)$ dan $(3)$

$\begin{array}{rl}\begin{array}{rl}3x-4y+z& =-13\\ 5x-y-8z& =30\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 1\\ \times 4\end{array}\right|& \begin{array}{rl}3x-4y+z& =-13\\ 20x-4y-32z& =120\end{array}\\ & -\\ & \begin{array}{r}-17x+33z=-133(\cdots 5)\end{array}\end{array}$

Eliminasi $z$ dari $(4)$ dan $(5)$

$\underline{\begin{array}{r}\begin{array}{rl}23x+33z& =-53\\ -17x+33z& =-133-\end{array}\end{array}}$  

$40x=80$  

$x=2$

Subtitusi $x=2$ ke $(4)$

$23x+33z=-53$

$\iff 23(2)+33z=-53$

$\iff 46-33z=-53$

$\iff -33z=-99$

$\iff z=3$

Subtitusi $x=2$ dan $z=3$ ke $(3)$

$5x-y-8z=30$

$\iff 5(2)-y-8(3)=30$

$\iff 10-y-24=30$

$\iff -y=44$

$\iff y=-44$

Jadi, nilai dari $x+y+z=2+(-44)+3=-39$

SPLTV Bentuk Pecahan

Berikut ini adalah contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dalam bentuk pecahan.

Contoh Soal 3

Diketahui sistem persamaan:

$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{y}}+{\displaystyle \frac{3}{z}}& =-11\\ {\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{5}{y}}+{\displaystyle \frac{6}{z}}& =12\\ {\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{y}}+{\displaystyle \frac{2}{z}}& =45\end{array}$

Jawab:

Misal, ${\displaystyle \frac{1}{x}}=a,{\displaystyle \frac{1}{y}}=b,{\displaystyle \frac{1}{z}}=c$

Sehingga bentuk persamaannya menjadi berikut

$\{\begin{array}{llll}a-2b+3c& =-11& & (\cdots 1)\\ a+5b+6c& =12& & (\cdots 2)\\ 3a+4b+2c& =45& & (\cdots 3)\end{array}$

Eliminasi $a$ dari $(1)$ dan $(2)$

$\underline{\begin{array}{r}\begin{array}{rl}a-2b+3c& =-11\\ a+5b+6c& =12-\end{array}\end{array}}$  

$-7b-3c=-23(\cdots 4)$

Eliminasi $a$ dari $(1)$ dan $(3)$

$\begin{array}{rl}\begin{array}{rl}a-2b+3c& =-11\\ 3a+4b+2c& =45\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 3\\ \times 1\end{array}\right|& \begin{array}{rl}3a-6b+9c& =-33\\ 3a+4b+2c& =45\end{array}\\ & -\\ & \begin{array}{r}-10b+7c=-88(\cdots 5)\end{array}\end{array}$

Eliminasi $c$ dari $(4)$ dan $(5)$  

$\begin{array}{rl}\begin{array}{rl}-7b-3c& =-23\\ -10b+7c& =-88\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 7\\ \times 3\end{array}\right|& \begin{array}{rl}-49b-21c& =-161\\ -30b+21c& =-264\end{array}\\ & +\\ & \begin{array}{r}-79b=-375\end{array}\\ & \begin{array}{r}b=5\end{array}\end{array}$

Substitusi $b=5$ ke $(4)$

$-7b-3c=-23$

$\iff -7(5)-3c=-23$

$\iff -35-3c=-23$

$\iff -3c=12$

$\iff c=-4$

Substitusi $b=5$ dan $c=-4$ ke $(1)$

$a-2b+3c=-11$

$\iff a-2(5)+3(-4)=-11$

$\iff a-10-12=-11$

$\iff a=11$

Maka diperoleh, 

${\displaystyle \frac{1}{x}}=11,{\displaystyle \frac{1}{y}}=5,{\displaystyle \frac{1}{z}}=-4$

Jadi, 

$\begin{array}{rl}x+y+z& ={\displaystyle \frac{1}{11}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ & =\frac{9}{220}\end{array}$

SPLTV Bentuk Soal Cerita

Contoh Soal 4

Diketahui tiga bilangan $a,b$ dan $c$. Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama dengan $17$. Bilangan kedua ditambah $23$ sama dengan jumlah bilangan lainnya. Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan lain dikurang $7$. Carilah bilangan-bilangan itu.

Jawab:

Berdasarkan informasi pada soal diperoleh informasi berikut.

$\bullet$ Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama dengan $17$. Secara matematis, ditulis

$\frac{a+b+c}{3}=17\iff a+b+c=51(\cdots 1)$

$\bullet$ Bilangan kedua ditambah $23$ sama dengan jumlah bilangan lainnya. Secara matematis, ditulis

$23+b=a+c\iff a-b+c=23(\cdots 2)$

$\bullet$ Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan lain dikurang $7$. Secara matematis, ditulis

$c=a+b-7\iff a+b-c=7(\cdots 3)$

Eliminasi $(1)$ dan $(2)$ diperoleh

$\underline{\begin{array}{r}\begin{array}{rl}a+b+c& =51\\ a-b+c& =23-\end{array}\end{array}}$  

$2b=28$  

$b=14$

Eliminasi $(1)$ dan $(3)$ diperoleh

$\underline{\begin{array}{r}\begin{array}{rl}a+b+c& =51\\ a+b-c& =7-\end{array}\end{array}}$  

$2c=44$  

$c=22$

Subtitusi $b=14$ dan $c=22$ ke $(3)$

$a+b-c=7$

$\iff a+14-22=7$

$\iff a-8=7$

$\iff a=15$

Jadi, bilangan-bilangan tersebut adalah $a=15$, $b=14$, dan $c=22$.

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Semoga bermanfaat.

Referensi

Sinaga, Bornok, dkk. 2017. Matematika Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.