Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) SMA/MA beserta Pembahasannya
Definisi
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linear dengan tiga variabel. Bentuk umum-nya adalah sebagai berikut.
$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{cases}$
dengan,
$a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, c_3, d_1, d_2, d_3$ merupakan bilangan real
$a_1, b_1, c_1$ tidak sekaligus ketiganya nol
$a_2, b_2, c_2$ tidak sekaligus ketiganya nol
$a_3, b_3, c_3$ tidak sekaligus ketiganya nol
keterangan:
$x,y,z$ adalah variabel
$a_1, a_2, a_3$ adalah koefisien variabel $x$
$b_1, b_2, b_3$ adalah koefisien variabel $y$
$c_1, c_2, c_3$ adalah koefisien variabel $z$
$d_1, d_2, d_3$ adalah konstanta persamaan
Cara Penyelesaian SPLTV
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, diantaranya yaitu metode eliminasi, metode substitusi, metode gabungan (eliminasi-substitusi), dan metode determinan.
Namun untuk bahasan kali ini, akan kita pelajari metode penyelesaian SPLTV dengan cara gabungan (eliminasi-subtitusi) saja. Berikut ini contoh soalnya.
Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi)
Contoh Soal 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut.
$\begin{cases} 2x + 3y -z & = 11 \\ 2x -2y + 2z & = 4 \\ -2x + y + z & = -3 \end{cases}$
Jawab:
$\begin{cases} 2x + 3y -z & =11 && (\cdots 1) \\ 2x -2y + 2z & =4 && (\cdots 2) \\ -2x + y + z & = -3 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari $(1)$ dan $(2)$
$\begin{aligned} \begin{aligned} 2x + 3y -z & = 11 \\ 2x -2y + 2z & = 4 ~~~~~- \end{aligned} \\ \hline \end{aligned}$
$~~~~~~~~~~\color{black}{5y-3z = 7~~~~(\cdots 4)}$
Eliminasi $x$ dari $(1)$ dan $(3)$
$\begin{aligned} \begin{aligned} 2x + 3y -z & = 11 \\ -2x + y + z & = -3 ~~~+ \end{aligned} \\ \hline \end{aligned}$
$ ~~~~~~~~~~~~~~~~\color{black}{4y = 8 }$
$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \color{black}{y =2}$
Subtitusi $y=2$ ke $(4)$
$ 5y-3z = 7 $
$ \Leftrightarrow 5(2)-3z = 7$
$ \Leftrightarrow 5(2)-3z = 7$
$ \Leftrightarrow -3z = -3$
$ \Leftrightarrow z = 1$
Subtitusi $y=2$ dan $z = 1$ ke $(1)$
$2x + 3y -z =11$
$ \Leftrightarrow 2x+3(2)-(1) = 11$
$ \Leftrightarrow 2x+5 = 11$
$ \Leftrightarrow 2x = 6$
$ \Leftrightarrow x = 3$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ \left \{ (3,2,1) \right \}$
Contoh Soal 2
Diketahui sistem persamaan:
$\begin{cases} 2x + 5y +7z & = 3 \\ 3x -4y + z & = -13 \\ 5x - y -8 z & = 30 \end{cases}$
Nilai dari $x+y+z$ adalah ...
Jawab:
$\begin{cases} 2x + 5y +7z & = 3 && (\cdots 1) \\ 3x -4y + z & = -13 && (\cdots 2) \\ 5x - y -8 z & = 30 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari $(1)$ dan $(2)$
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x + 5y +7z & = 3 \\ 3x -4y + z & = -13 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 5 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~8x + 20y +28z & = 12 \\~15x -20y + 5z & = -65 \end{aligned} \\ & \rule{6.5 cm}{0.4pt} + \\ & \! \begin{aligned} \color{black}{23x+33z = -53~~~~(\cdots 4)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $y$ dari $(2)$ dan $(3)$
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x -4y + z & = -13 \\ 5x - y -8 z & = 30 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 4 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3x -4y + z & = -13 \\~20x - 4y -32 z & = 120 \end{aligned} \\ & \rule{6.5 cm}{0.4pt} - \\ & \! \begin{aligned} \color{black}{-17x+33z = -133~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $z$ dari $(4)$ dan $(5)$
$\begin{aligned} \begin{aligned} 23x+33z &= -53 \\ -17x+33z &= -133 ~~~- \end{aligned} \\ \hline \end{aligned}$
$ ~~~~~~~~~~~~~~\color{black}{40x = 80 }$
$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \color{black}{x =2}$
Subtitusi $x=2$ ke $(4)$
$ 23x+33z = -53$
$ \Leftrightarrow 23(2)+33z = -53$
$ \Leftrightarrow 46-33z = -53$
$ \Leftrightarrow -33z = -99$
$ \Leftrightarrow z = 3$
Subtitusi $x=2$ dan $z = 3$ ke $(3)$
$5x - y -8 z = 30$
$ \Leftrightarrow 5(2) - y -8 (3) = 30$
$ \Leftrightarrow 10 - y - 24 = 30$
$ \Leftrightarrow -y = 44$
$ \Leftrightarrow y = -44$
Jadi, nilai dari $x+y+z =2+(-44)+3=-39$
SPLTV Bentuk Pecahan
Berikut ini adalah contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dalam bentuk pecahan.
Contoh Soal 3
Diketahui sistem persamaan:
$\begin{cases} \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{y} + \dfrac{3}{z} & = -11 \\ \dfrac{1}{x} +\dfrac{5}{y}+ \dfrac{6}{z} & = 12 \\ \dfrac{3}{x} +\dfrac{4}{y} + \dfrac{2}{z} & = 45 \end{cases}$
Jawab:
Misal, $\dfrac{1}{x}=a, \dfrac{1}{y}=b, \dfrac{1}{z}=c$
Sehingga bentuk persamaannya menjadi berikut
$\begin{cases} a -2b +3c & = -11 && (\cdots 1) \\ a +5b + 6c & = 12 && (\cdots 2) \\ 3a + 4b +2c & = 45 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $a$ dari $(1)$ dan $(2)$
$\begin{aligned} \begin{aligned} a -2b +3c & = -11 \\ a +5b + 6c & = 12 ~~~~~- \end{aligned} \\ \hline \end{aligned}$
$~~~~~\color{black}{-7b-3c = -23~~~~(\cdots 4)}$
Eliminasi $a$ dari $(1)$ dan $(3)$
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a -2b +3c & = -11 \\ 3a + 4b +2c & = 45 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3a -6b +9c & = -33 \\~3a + 4b +2c & = 45 \end{aligned} \\ & \rule{5.5 cm}{0.4pt} - \\ & \! \begin{aligned} \color{black}{-10b+7c = -88~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $c$ dari $(4)$ dan $(5)$
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -7b-3c &= -23 \\ -10b+7c &= -88 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 7 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~-49b-21c &= -161 \\~-30b+21c &= -264 \end{aligned} \\ & \rule{5.5 cm}{0.4pt} + \\ & \! \begin{aligned} \color{black}{-79b = -375 } \end{aligned} \\ & \! \begin{aligned} \color{black}{~~~~~~~b = 5} \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $b=5$ ke $(4)$
$-7b-3c = -23$
$ \Leftrightarrow -7(5)-3c = -23$
$ \Leftrightarrow -35-3c = -23$
$ \Leftrightarrow -3c = 12$
$ \Leftrightarrow c = -4$
Substitusi $b=5$ dan $c=-4$ ke $(1)$
$a -2b +3c = -11$
$ \Leftrightarrow a -2(5) +3(-4) = -11$
$ \Leftrightarrow a -10 -12 = -11$
$ \Leftrightarrow a = 11$
Maka diperoleh,
$\dfrac{1}{x}=11, \dfrac{1}{y}=5, \dfrac{1}{z}=-4$
Jadi,
$\begin{aligned} x + y +z & = \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{5}- \dfrac{1}{4} \\ & = \frac{9}{220} \end{aligned}$
SPLTV Bentuk Soal Cerita
Contoh Soal 4
Diketahui tiga bilangan $a, b$ dan $c$. Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama dengan $17$. Bilangan kedua ditambah $23$ sama dengan jumlah bilangan lainnya. Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan lain dikurang $7$. Carilah bilangan-bilangan itu.
Jawab:
Berdasarkan informasi pada soal diperoleh informasi berikut.
$\bullet$ Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama dengan $17$. Secara matematis, ditulis
$\frac{a+b+c}{3}=17 \Leftrightarrow a+b+c=51 ~~~(\cdots 1)$
$\bullet$ Bilangan kedua ditambah $23$ sama dengan jumlah bilangan lainnya. Secara matematis, ditulis
$23+b=a+c \Leftrightarrow a-b+c=23 ~~~(\cdots 2)$
$\bullet$ Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan lain dikurang $7$. Secara matematis, ditulis
$c=a+b-7 \Leftrightarrow a+b-c=7 ~~~(\cdots 3)$
Eliminasi $(1)$ dan $(2)$ diperoleh
$\begin{aligned} \begin{aligned} a+b+c &=51 \\ a-b+c&=23 ~~~- \end{aligned} \\ \hline \end{aligned}$
$ ~~~~~~~~~~~\color{black}{2b = 28 }$
$ ~~~~~~~~~~~ \color{black}{b =14}$
Eliminasi $(1)$ dan $(3)$ diperoleh
$\begin{aligned} \begin{aligned} a+b+c&=51 \\ a+b-c&=7 ~~~- \end{aligned} \\ \hline \end{aligned}$
$ ~~~~~~~~~~~\color{black}{2c = 44 }$
$ ~~~~~~~~~~~ \color{black}{c =22}$
Subtitusi $b=14$ dan $c = 22$ ke $(3)$
$a+b-c=7$
$ \Leftrightarrow a+14-22=7$
$ \Leftrightarrow a-8=7$
$ \Leftrightarrow a = 15$
Jadi, bilangan-bilangan tersebut adalah $a=15$, $b=14$, dan $c=22$.
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Semoga bermanfaat.
Referensi
Sinaga, Bornok, dkk. 2017. Matematika Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.
 SMA/MA beserta Pembahasannya){kind=link}