Contoh Soal Persamaan Kuadrat beserta Pembahasannya

 

Berikut ini mimin sajikan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan kuadrat. Selamat membaca, sobat. Semoga bermanfaat. 

Contoh soal 1

Akar-akar persamaan kuadrat $x^2+ax-1=0$ adalah $p$ dan $q$. Jika $p^2-2pq+q^2=4a$ maka nilai $a$ adalah ...

Jawab:

Ingat sifat tambah dan kali akar-akar:

$\begin{array}{rl}& x^2+ax-1=0\\ & p+q=-\frac{b}{a}=-\frac{a}{1}=-a\\ & p\times q=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1\end{array}$

Mencari nilai $a$:

$\begin{array}{rl}{p}^2-2pq+q^2& =4a\\ (p+q{)}^2-4pq& =4a\\ (-a{)}^2-4(-1)& =4a\\ a^2-4a+4& =0\\ (a-2{)}^2& =0\\ a& =2\end{array}$

Contoh soal 2

Persamaan kuadrat dari $x^2-2px-2p+3=0$ mempunyai dua akar yang sama. Nilai $p$ yang memenuhi adalah ...

Jawab:

Ingat $D=0$ untuk kedua akar sama, maka:

$\begin{array}{rl}{b}^2-4ac& =0\\ (-2p{)}^2-4(1)(-2p+3)& =0\\ 4p^2+8p-12& =0\\ p^2+2p-3& =0\\ (p+3)(p-1)& =0\\ p=-3\vee p& =1\end{array}$

Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $-3$ atau $1$

Contoh soal 3

Grafik $y=p{x}^2+(p-4)x+p+1$ memotong sumbu $X$ di dua titik. Batas-batas nilai $p$ yang memenuhi adalah ...

Jawab:

Ingat $D>0$ grafik berpotongan di dua titik maka:

$\begin{array}{rl}{b}^2-4ac& >0\\ (p-4{)}^2-4(p)(p+1)& >0\\ p^2-8p+16-4p^2-4p& >0\\ -3p^2-8p+16& >0\\ (-3p+4)(p+4)& >0\end{array}$

Jadi, batas-batas  nilai $p$ yang memenuhi adalah $p<-4$ atau $p>\frac{4}{3}$

Contoh soal 4

Persamaan kuadrat $2x^2-2(p-4)+p=0$ mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai $p$ yang memenuhi adalah ...

Jawab:

Ingat $D>0$ untuk kedua akar real berbeda, maka:

$\begin{array}{rl}{b}^2-4ac& >0\\ (-2p+8{)}^2-4(2)(p)& >0\\ 4p^2-32p+64-8p& >0\\ 4p^2-40p+64& >0\\ p^2-10p+16& >0\\ (p-8)(p-2)& >0\end{array}$

Jadi, batas-batas  nilai $p$ yang memenuhi adalah $p<2$ atau $p>8$

Contoh soal 5

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $x^2-ax+b=0$ serta ${x_1}^2{x}_2+x_1{x_2}^2=30$ dan $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{6}{5}$ maka nilai $a^2-b^2$ adalah ...

Jawab: 

${x_1}^2{x}_2+x_1{x_2}^2=30\Rightarrow x_1{x}_2(x_1+x_2)=30$

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{6}{5}\Rightarrow \frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}=\frac{6}{5}$

Dari bentuk diatas diperoleh:

$x_1+x_2=6$  

$x_1.x_2=5$

Jadi, nilai $a^2-b^2=6^2-5^2=11$ 

Contoh soal 6

Persamaan kuadrat yang mempunyai akar $a$ dan $b$ sehingga $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{5}{6}$ adalah ...

Jawab:

Konstanta $a$ dan $b$ merupakan akar-akar suatu persamaan kuadrat

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{5}{6}\iff \frac{(a+b)}{ab}=\frac{5}{6}$

Dari bentuk diatas diperoleh:

$a+b=5$

$a.b=6$

Menyusun persamaan kuadrat:

$x^2-(a+b)x+a.b=0$

$x^2-5x+6=0$

Contoh soal 7

Jika $(a,b)$ dengan $b\ne 2$ adalah penyelesaian dari sistem persamaan

$\{\begin{array}{ll}& x^2-y^2-2x+4=0\\ & 2xy-4xy=0\end{array}$

Maka $a+b=...$  

Jawab:

Persamaan 1:

$\begin{array}{rl}& 2xy-4y=0\\ & \iff 2y(x-2)=0\\ & \iff x=2\vee y=0\text{ (tidak memenuhi)}\end{array}$

Persamaan 2:

$\begin{array}{rl}& x^2-y^2-2x+4=0\\ & \iff 4-y^2-4+4=0\\ & \iff 4-y^2=0\\ & \iff y=2\vee y=-2\end{array}$

Penyelesaian dari sistem persamaan $(a,b)$ dengan $b\ne 2$ maka

$a=x=2$

$b=y=-2$

Jadi, nilai dari $a+b=2+(-2)=0$

Contoh soal 8

Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+bx+16=0$ adalah $p$ dan $q$. Jika $p=2q$ dan $p,q>0$, maka nilai $b$ adalah ...

Jawab:

$p=2q$ maka :

$p+q=-\frac{b}{a}=-\frac{b}{2}\iff 3q=-\frac{b}{2}$

$\begin{array}{rl}p.q=\frac{c}{a}=\frac{16}{2}=8& \iff 2q.q=8\\ & \iff q=\pm \sqrt{4}=\pm 2\end{array}$

Syarat: $p,q>0$ maka $q=2$

$\begin{array}{rl}& 3q=-\frac{b}{2}\\ & \iff 6=-\frac{b}{2}\\ & \iff -b=12\\ & \iff b=-12\end{array}$

Contoh soal 9

Persamaan kuadrat $(p-2)x^2-4px+2p-4=0$, mempunyai dua akar yang saling berkebalikan. Nilai $p$ yang memenuhi adalah ...

Jawab:

Akar-akar saling berkebalikan: $a=c$

$p-2=2p-4$

$2p-p=-2+4$

$p=2$

Contoh soal 10

Persamaan kuadrat $x^2+(p-2)x+2p-4=0$, tidak mempunyai akar-akar real. Batas-batas nilai $p$ yang memenuhi adalah ... 

Jawab:

Tidak mempunyai akar-akar real : $D<0$

$D<0$

$\iff b^2-4ac<0$

$\iff (p-2{)}^2-4.1.(2p-4)<0$

$\iff p^2-4p+4-8p+16<0$

$\iff p^2-12p+10<0$

$\iff (p-10)(p-2)<0$

$2<p<10$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan kuadrat. Semoga bermanfaat.