Contoh Soal Transformasi Geometri - Dilatasi beserta Pembahasannya
Dilatasi
Dilatasi (perkalian) merupakan transformasi yang memperkecil atau memperbesar suatu objek. Faktor yang menyebabkan diperbesar dan diperkecilnya suatu objek ini disebut faktor dilatasi.
Faktor dilatasi biasanya dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya $k$.
$\bullet$ Jika $k<-1$ atau $k>1$, maka hasil dilatasinya diperbesar
$\bullet$ Jika $-1<k<1$, maka hasil dilatasinya diperkecil
$\bullet$ Jika $k=1$, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan
Rumus Transformasi Dilatasi
$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ didilatasikan terhadap titik pusat $O(0,0)$ dengan faktor skala $k$, maka akan diperoleh :
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$
$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ didilatasikan terhadap titik pusat $P(m,n)$ dengan faktor skala $k$, maka akan diperoleh :
$\begin{pmatrix} x'-m \\ y'-n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - m \\ y - n\end{pmatrix}$
atau
$\begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - m \\ y - n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} m \\ n\end{pmatrix}$
Berikut ini beberapa contoh soal transformasi dilatasi dan pembahasannya.
Contoh soal 1
Tentukanlah bayangan titik $A(1,2)$ bila didilatasikan dengan skala $2$ dan pusat $O(0,0)$ dilanjutkan dengan dilatasi dengan skala $-3$ dan pusat $O(0,0)$
Jawab:
Diketahui : Titik $A(1,2)$ didilatasikan dengan skala $2$ kemudian didilatasikan lagi dengan skala $-3$ dengan pusat yang sama yaitu $O(0,0)$
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'' \\ y''\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k_2 & 0 \\ 0 & k_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_1 & 0 \\ 0 & k_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \\ &= \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \\ &= \begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 0 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \\ &= \begin{pmatrix} -6 \\ -12 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh bayangannya yaitu titik $A''(-6,-12)$
Contoh soal 2
Tentukanlah bayangan segitiga $ABC$ dengan koordinat $A(2,0)$, $B(-3,3)$, dan $C(8,0)$ bila didilatasikan dengan faktor skala $-3$ dengan pusat $P(1,1)$
Jawab:
Diketahui : Segitiga ABC dengan koordinat $A(2,0)$, $B(-3,3)$, dan $C(8,0)$, didilatasikan dengan faktor skala $-3$ dengan pusat $P(1,1)$
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} {x_1}'-m & {x_2}'-m & {x_3}'-m \\ {y_1}'-n & {y_2}'-n & {y_3}'-n \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {x_1}-m & {x_2}-m & {x_3}-m \\ {y_1}-n & {y_2}-n & {y_3}-n \end{pmatrix} \\ \\ &= \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {2}-1 & {-3}-1 & {8}-1 \\ {0}-1 & {3}-1 & {0}-1 \end{pmatrix} \\ \\ &= \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -4 & 7 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}\\ \\ \begin{pmatrix} {x_1}'-1 & {x_2}'-1 & {x_3}'-1 \\ {y_1}'-1 & {y_2}'-1 & {y_3}'-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -3 & 12 & -21 \\ 3 & -6 & 3 \end{pmatrix} \\ \\ \begin{pmatrix} {x_1}' & {x_2}' & {x_3}' \\ {y_1}' & {y_2}' & {y_3}' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -2 & 13 & -20 \\ 4 & -5 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, bayangannya yaitu segitiga $A'B'C'$ dengan koordinat $A'(-2,4)$, $B'(13,-5)$, dan $C'(-20,4)$
Contoh soal 3
Sebuah garis $3x-5y+15=0$ didilatasikan dengan faktor $k=5$ dan pusat dilatasi pada titik $O(0,0)$. Tentukanlah bayangannya.
Jawab:
Diketahui : Garis $3x-5y+15=0$ didilatasikan dengan faktor $k=5$ dan pusat dilatasi pada titik $O(0,0)$
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \\ \\ &= \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \\ \\ &= \begin{pmatrix} 5x \\ 5y\end{pmatrix} \end{aligned}$
Sehingga diperoleh
$x'=5x \rightarrow x=\frac{x'}{5}$
$y'=5y \rightarrow y=\frac{y'}{5}$
Substitusi nilai $x$ dan $y$ pada persamaan $3x-5y+15=0$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 3x-5y+15 &= 0 \\ 3(\frac{x'}{5})-5(\frac{y'}{5})+15 &= 0 \\ \frac{3}{5}x'-y'+15&=0\ (\text{dikali}\ 5) \\ 3x'-5y'+75&=0 \end{aligned}$
Jadi, bayangannya adalah $3x-5y+75=0$
Contoh soal 4
Sebuah lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+6y-14=0$ didilatasikan dengan faktor $k=-5$ dan pusat dilatasi pada titik $P(-10,10)$. Tentukanlah bayangannya.
Jawab:
Diketahui : Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+6y-14=0$ didilatasikan dengan faktor $k=-5$ dan pusat dilatasi pada titik $P(-10,10)$
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - m \\ y - n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} m \\ n\end{pmatrix} \\ \\ &= \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x - (-10) \\ y - 10\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -10 \\ 10 \end{pmatrix} \\ \\ &= \begin{pmatrix} -5(x+10)-10 \\ -5(y-10)+10 \end{pmatrix}\\ \\ &= \begin{pmatrix} -5x-60 \\ -5y+60 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Sehingga diperoleh
$x'=-5x-60 \rightarrow x=\frac{x'+60}{-5}$
$y'=-5y+60 \rightarrow y=\frac{y'-60}{-5}$
Substitusi nilai $x$ dan $y$ pada persamaan $x^{2}+y^{2}-2x+6y-14=0$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x^{2}+y^{2}-2x+6y-14&=0 \\ (\frac{x'+60}{-5})^{2}+(\frac{y'-60}{-5})^{2}-2(\frac{x'+60}{-5})+6(\frac{y'-60}{-5})-14&=0 \\ \frac{(x'+60)^{2}}{25}+\frac{(y'-60)^{2}}{25}+2(\frac{x'+60}{5})-6(\frac{y'-60}{5})-14&=0\ (\text{dikali}\ 25) \\ (x'+60)^{2} + (y'-60)^{2} +10(x'+60)-30(y'-60)-14&=0 \\ (x')^{2}+(y')^{2}+130x'-150y'+9586&=0 \end{aligned}$
Jadi, bayangannya adalah $x^{2}+y^{2}+130x-150y+9586=0$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi transformasi dilatasi. Semoga bermanfaat.
Referensi
E. S., Pesta dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
