Contoh Soal Persamaan Trigonometri dan Pembahasannya #2
Berikut ini mimin sajikan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan trigonometri. Selamat membaca, sobat. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Himpunan penyelesaian dari persamaan $ \cos 2x+ \cos x=0, 0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} & \cos 2x+ \cos x=0 \\& 2\cos^2 x-1+ \cos x=0 \\& (2 \cos x-1)( \cos x+1)=0\\ \\&2 \cos x-1=0\\ & \cos x=\frac{1}{2}\\ & \cos x = \cos 60^\circ \\ & x = \pm 60^\circ + k. 360^\circ \\ &\text{Diperoleh } x=60^\circ \text{ dan } x=300^\circ\\ &\color{red}{atau} \\ &\cos x+1=0\\&\cos x=-1\\ &\cos x = \cos 180^\circ\\ &x= \pm 180^\circ +k.360^\circ \\ &\text{Diperoleh } x=180^\circ\\ \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ \{ 60^\circ, 180^\circ \, 300^\circ \}$
Contoh soal 2
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $ 2 \cos x^\circ + 2 \sin x^\circ = \sqrt{2}$, untuk $0^\circ<x<180^\circ$ adalah ...
Jawab:
Persamaan berbentuk $a \cos x+ b \sin x=c$,
dengan $a=2$, $b=2$, dan $c=\sqrt{2}$, maka:
$\begin{aligned} k &= \sqrt{a^2+b^2}\\ &=\sqrt{2^2+2^2}\\&=\sqrt{8}\\&= 2 \sqrt{2}\\ \\ \tan \theta &= \frac{b}{a}\\&= \frac{2}{2}\\&=1\\ \theta &= 45^\circ \end{aligned}$
Persamaannya menjadi:
$\begin{aligned} &k \cos (x-\theta)=c \\ & 2 \sqrt{2} \cos(x-45^\circ) = \sqrt{2}\\& \cos(x-45^\circ)= \frac{1}{2}\\ & \cos(x-45^\circ)= \cos 60^\circ\\ & x-45^\circ = \pm 60^\circ + k.360^\circ\\ &\text{Diperoleh } x=105^\circ \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ \{105^\circ \}$
Contoh soal 3
Himpunan penyelesaian dari persamaan $ \cos 2x+ 7 \sin x-4=0, 0^\circ \leq x \leq 180^\circ$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} &\cos 2x+ 7 \sin x-4=0 \\ & (1-2 \sin^2 x)+ 7 \sin x-4=0 \\& 2 \sin^2 x-7 \sin x+3=0 \\ &(2 \sin x-1)(\sin x-3)=0 \\ \\ &2 \sin x-1=0\\ & \sin x = \frac{1}{2}\\ &\sin x = 30^\circ\\ &x_1 = 30^\circ +k.360^\circ \\ & \text{Untuk k=0} \rightarrow x_1= 30^\circ \\&x_2 = (180^\circ-30^\circ) +k.360^\circ \\ & \text{Untuk k=0} \rightarrow x_2= 150^\circ \\ & \color{red}{atau} \\ & \sin x-3=0\\ & \sin x =3 (TM) \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ \{30^\circ, 150^\circ \}$
Contoh soal 4
Himpunan penyelesaian dari persamaan $ \sin (2x+110)^\circ+ \sin (2x-10)^\circ=\frac{1}{2}, 0^\circ \leq x \leq 180^\circ$ adalah ...
Jawab:
Ingat rumus:
$\sin A + \sin B= 2 \sin \frac{1}{2}(A+B). \cos \frac{1}{2}(A-B) $
Maka, persamaannya menjadi:
$\begin{aligned} & \sin (2x+110)^\circ+ \sin (2x-10)^\circ=\frac{1}{2} \\ & 2\sin (2x+50)^\circ. \cos 60^\circ=\frac{1}{2} \\ & \sin (2x+50)^\circ. 2. \frac{1}{2}= \frac{1}{2}\\ & \sin (2x+50)^\circ =\frac{1}{2} \\ &\sin (2x+50)^\circ =\sin 30^\circ\\ \\ &\sin (2x+50)^\circ = 30^\circ+k. 360^\circ \\ &2x+50^\circ=30^\circ+k.360^\circ\\ & x=-10^\circ+k.180^\circ\\ &\text{Untuk k=0 } x= -10^\circ (TM) \\ &\text{Untuk k=1 } x= 170^\circ \\ \\ &2x+50^\circ=(180-30)^\circ+k.360^\circ\\ & x=50^\circ+k.180^\circ\\ &\text{Untuk k=0 } x= 50^\circ \\ &\text{Untuk k=1 } x= 230^\circ (TM) \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ \{50^\circ, 170^\circ \}$
Contoh soal 5
Himpunan penyelesaiandari persamaan $ \cos 2x-3 \cos x+2=0, 0^\circ \leq x \leq 360^\circ$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} & \cos 2x-3 \cos x+2=0\\ & 2 \cos^2 x-3 \cos x+1=0 \\ & (2 \cos x-1)(\cos x -1)=0 \\ \\ &2 \cos x-1=0\\ & \cos x=\frac{1}{2}\\ &\text{Diperoleh } x=60^\circ \text{ dan } x=300^\circ\\ &\color{red}{atau} \\ &\cos x-1=0\\&\cos x=1\\ &\text{Diperoleh } x=0^\circ ~dan~x=360^\circ \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{ 0^\circ,60^\circ,300^\circ,360^\circ \} $
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan trigonometri. Semoga bermanfaat.
