Contoh Soal Persamaan Trigonometri dan Pembahasannya #2

 

Berikut ini mimin sajikan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan trigonometri. Selamat membaca, sobat. Semoga bermanfaat. 

Contoh soal 1

Himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos 2x+\cos x=0,0^{\circ }\le x\le {360}^{\circ }$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}& \cos 2x+\cos x=0\\ & 2{\cos }^{2}x-1+\cos x=0\\ & (2\cos x-1)(\cos x+1)=0\\ \\ & 2\cos x-1=0\\ & \cos x=\frac{1}{2}\\ & \cos x=\cos {60}^{\circ }\\ & x=\pm {60}^{\circ }+k.{360}^{\circ }\\ & \text{Diperoleh }x={60}^{\circ }\text{ dan }x={300}^{\circ }\\ & atau\\ & \cos x+1=0\\ & \cos x=-1\\ & \cos x=\cos {180}^{\circ }\\ & x=\pm {180}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & \text{Diperoleh }x={180}^{\circ }\end{array}$ 

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  $\{{60}^{\circ },{180}^{\circ }{300}^{\circ }\}$ 

Contoh soal 2

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2\cos x^{\circ }+2\sin x^{\circ }=\sqrt{2}$, untuk $0^{\circ }<x<{180}^{\circ }$ adalah ...

Jawab:

Persamaan berbentuk $a\cos x+b\sin x=c$, 

dengan $a=2$, $b=2$, dan $c=\sqrt{2}$, maka:

$\begin{array}{rl}k& =\sqrt{a^2+b^2}\\ & =\sqrt{2^2+2^2}\\ & =\sqrt{8}\\ & =2\sqrt{2}\\ \\ \tan \theta & =\frac{b}{a}\\ & =\frac{2}{2}\\ & =1\\ \theta & ={45}^{\circ }\end{array}$ 

Persamaannya menjadi:

$\begin{array}{rl}& k\cos (x-\theta )=c\\ & 2\sqrt{2}\cos (x-{45}^{\circ })=\sqrt{2}\\ & \cos (x-{45}^{\circ })=\frac{1}{2}\\ & \cos (x-{45}^{\circ })=\cos {60}^{\circ }\\ & x-{45}^{\circ }=\pm {60}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & \text{Diperoleh }x={105}^{\circ }\end{array}$ 

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  $\{{105}^{\circ }\}$ 

Contoh soal 3

Himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos 2x+7\sin x-4=0,0^{\circ }\le x\le {180}^{\circ }$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}& \cos 2x+7\sin x-4=0\\ & (1-2{\sin }^{2}x)+7\sin x-4=0\\ & 2{\sin }^{2}x-7\sin x+3=0\\ & (2\sin x-1)(\sin x-3)=0\\ \\ & 2\sin x-1=0\\ & \sin x=\frac{1}{2}\\ & \sin x={30}^{\circ }\\ & x_1={30}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & \text{Untuk k=0}\to x_1={30}^{\circ }\\ & x_2=({180}^{\circ }-{30}^{\circ })+k{.360}^{\circ }\\ & \text{Untuk k=0}\to x_2={150}^{\circ }\\ & atau\\ & \sin x-3=0\\ & \sin x=3(TM)\end{array}$ 

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  $\{{30}^{\circ },{150}^{\circ }\}$ 

Contoh soal 4

Himpunan penyelesaian dari persamaan $\sin (2x+110{)}^{\circ }+\sin (2x-10{)}^{\circ }=\frac{1}{2},0^{\circ }\le x\le {180}^{\circ }$ adalah ...

Jawab:

Ingat rumus:

$\sin A+\sin B=2\sin \frac{1}{2}(A+B).\cos \frac{1}{2}(A-B)$

Maka, persamaannya menjadi:

$\begin{array}{rl}& \sin (2x+110{)}^{\circ }+\sin (2x-10{)}^{\circ }=\frac{1}{2}\\ & 2\sin (2x+50{)}^{\circ }.\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}\\ & \sin (2x+50{)}^{\circ }.2.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\\ & \sin (2x+50{)}^{\circ }=\frac{1}{2}\\ & \sin (2x+50{)}^{\circ }=\sin {30}^{\circ }\\ \\ & \sin (2x+50{)}^{\circ }={30}^{\circ }+k.{360}^{\circ }\\ & 2x+{50}^{\circ }={30}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & x=-{10}^{\circ }+k{.180}^{\circ }\\ & \text{Untuk k=0 }x=-{10}^{\circ }(TM)\\ & \text{Untuk k=1 }x={170}^{\circ }\\ \\ & 2x+{50}^{\circ }=(180-30{)}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & x={50}^{\circ }+k{.180}^{\circ }\\ & \text{Untuk k=0 }x={50}^{\circ }\\ & \text{Untuk k=1 }x={230}^{\circ }(TM)\end{array}$ 

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah  $\{{50}^{\circ },{170}^{\circ }\}$ 

Contoh soal 5

Himpunan penyelesaiandari  persamaan $\cos 2x-3\cos x+2=0,0^{\circ }\le x\le {360}^{\circ }$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}& \cos 2x-3\cos x+2=0\\ & 2{\cos }^{2}x-3\cos x+1=0\\ & (2\cos x-1)(\cos x-1)=0\\ \\ & 2\cos x-1=0\\ & \cos x=\frac{1}{2}\\ & \text{Diperoleh }x={60}^{\circ }\text{ dan }x={300}^{\circ }\\ & atau\\ & \cos x-1=0\\ & \cos x=1\\ & \text{Diperoleh }x=0^{\circ }danx={360}^{\circ }\end{array}$  

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{0^{\circ },{60}^{\circ },{300}^{\circ },{360}^{\circ }\}$   

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan trigonometri. Semoga bermanfaat.