Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran beserta Pembahasannya

Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Misalkan diketahui titik $P(x_1,y_1)$ terletak diluar lingkaran. Terdapat dua garis singgung lingkaran yang melalui titik $P(x_1,y_1)$ seperti gambar berikut.

Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut:

1 ). Misalkan persamaan garis singgung yang melalui titik $P(x_1,y_1)$ dengan gradien $m$ adalah $y=m(x-x_1)+y_1$

2 ). Substitusi nilai $y=m(x-x_1)+y_1$ ke dalam persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel $x$

3 ). Tentukan nilai diskriminan ($D$) dari persamaan kuadrat tersebut. Oleh karena garis menyinggung lingkaran maka $D=0$ sehingga nilai-nilai $m$ dapat diperoleh

4 ). Substitusi nilai $m$ tersebut ke persamaan garis $y=m(x-x_1)+y_1$ sehingga didapatlah persamaan garis singgungnya

Untuk lebih jelasnya, berikut ini contoh soal persamaan garis singgung yang melalui suatu titik di luar lingkaran dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2=25$ yang dapat ditarik dari titik $A(7,1)$. Kemudian carilah koordinat-koordinat titik singgungnya dan persamaan garis yang menghubungkan titik-titik singgung tersebut.

Jawab:

$\bullet$ Cek kedudukan titik

Titik $A(7,1)$ terletak di luar lingkaran sebab $(7{)}^2+(1{)}^2>25$

$\bullet$ Menentukan persamaan garis singgung

Misalkan persamaan garis singgung yang melalui titik $A(7,1)$ dengan gradien $m$ adalah $y=m(x-x_1)+y_1$ 

Sehingga

$\begin{array}{rl}y& =m(x-7)+1\\ y& =mx-7m+1\end{array}$

Substitusi nilai $y=mx-7m+1$ ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=25$ diperoleh

$\begin{array}{rl}{x}^2+(mx-7m+1{)}^2& =25\\ x^2+m^2{x}^2-14m^{2}x+2mx-49m^2-14m+1& =25\\ (1+m^2)x^2+(2m-14m^2)x+(-49m^2-14m-24)& =0\end{array}$

Tentukan nilai diskriminan $D=b^2-4ac$

$\begin{array}{rl}D& =(2m-14m^2{)}^2-4(1+m^2)(-49m^2-14m-24)\\ & =196m^4-56m^3+4m^2-196m^2+56m+96-196m^4+56m^3+96m^2\\ & =-96m^2+56m+96\end{array}$

Syarat garis menyinggung lingkaran adalah $D=0$ sehingga

$\begin{array}{rl}-96m^2+56m+96& =0\text{(dibagi -8)}\\ 12m^2-7m-12& =0\\ (4m+3)(3m-4)& =0\\ m=-\frac{3}{4}\vee m& =\frac{4}{3}\end{array}$

Substitusi nilai $m$ ke persamaan garis $y=mx-7m+1$ untuk memperoleh persamaan garis singgungnya.

Untuk $m=-\frac{3}{4}$ 

$\begin{array}{rl}y& =mx-7m+1\\ y& =-\frac{3}{4}x-7.-\frac{3}{4}+1\\ y& =-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}\text{(dikali 4)}\\ 4y& =-3x+25\end{array}$

$4y+3x=25$

Untuk $m=\frac{4}{3}$ 

$\begin{array}{rl}y& =mx-7m+1\\ y& =\frac{4}{3}x-7.\frac{4}{3}+1\\ y& =\frac{4}{3}x-\frac{25}{3}\text{(dikali 3)}\\ 3y& =4x-25\end{array}$

$4x-3y=25$

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2=25$ yang dapat ditarik dari titik $A(7,1)$ adalah $g_1:4y+3x=25$ dan $g_2:4x-3y=25$

$\bullet$ Menentukan koordinat titik singgung

Substitusi persamaan garis singgung yang telah diperoleh ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=25$

Untuk $g_1:4y+3x=25\to y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}$

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =25\\ x^2+(-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}{)}^2& =25\\ x^2+\frac{9}{16}{x}^2-\frac{75}{8}x+\frac{625}{16}-25& =0\text{(dikali 16)}\\ 25x^2-150x+225& =0\text{(dibagi 25)}\\ x^2-6x+9& =0\\ (x-3{)}^2& =0\\ x& =3\end{array}$

Substitusi $x=3$ ke $y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}$ sehingga didapatlah koordinat titik singgungnya sebagai berikut

$\begin{array}{rl}y& =-\frac{3}{4}.3+\frac{25}{4}\\ & =\frac{16}{4}\\ & =4\end{array}$

Jadi, titik singgung garis $g_1:4y+3x=25$ dengan lingkaran $x^2+y^2=25$  adalah $(3,4)$

Untuk $g_2:4x-3y=25\to y=\frac{4}{3}x-\frac{25}{3}$

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =25\\ x^2+(\frac{4}{3}x-\frac{25}{3}{)}^2& =25\\ x^2+\frac{16}{9}{x}^2-\frac{200}{9}x+\frac{625}{9}-25& =0\text{(dikali 9)}\\ 25x^2-200x+400& =0\text{(dibagi 25)}\\ x^2-8x+16& =0\\ (x-4{)}^2& =0\\ x& =4\end{array}$

Substitusi $x=4$ ke $y=\frac{4}{3}x-\frac{25}{3}$ sehingga didapatlah koordinat titik singgungnya sebagai berikut

$\begin{array}{rl}y& =\frac{4}{3}.4-\frac{25}{3}\\ & =-\frac{9}{3}\\ & =-3\end{array}$

Jadi, titik singgung garis $g_2:4x-3y=25$ dengan lingkaran $x^2+y^2=25$  adalah $(4,-3)$

$\bullet$ Menentukan persamaan garis yang melalui titik singgung $(3,4)$ dan $(4,-3)$

Untuk menyelesaikannya, gunakan rumus persamaan garis $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$ sehingga diperoleh hasil sebagai berikut

$\begin{array}{rl}\frac{y-4}{-3-4}& =\frac{x-3}{4-3}\\ y-4& =-7x+21\\ 7x+y& =25\end{array}$

Jadi, persamaan garis yang melalui titik singgung $(3,4)$ dan $(4,-3)$ adalah $7x+y=25$

Ilustrasi gambarnya adalah seperti berikut

Demikianlah contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan garis singgung yang melalui suatu titik di luar lingkaran. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.