Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran beserta Pembahasannya
Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran
Misalkan diketahui titik $P(x_1,y_1)$ terletak diluar lingkaran. Terdapat dua garis singgung lingkaran yang melalui titik $P(x_1,y_1)$ seperti gambar berikut.
Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut:
1 ). Misalkan persamaan garis singgung yang melalui titik $P(x_1,y_1)$ dengan gradien $m$ adalah $y= m(x-x_1)+y_1$
2 ). Substitusi nilai $y= m(x-x_1)+y_1$ ke dalam persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel $x$
3 ). Tentukan nilai diskriminan ($D$) dari persamaan kuadrat tersebut. Oleh karena garis menyinggung lingkaran maka $D=0$ sehingga nilai-nilai $m$ dapat diperoleh
4 ). Substitusi nilai $m$ tersebut ke persamaan garis $y= m(x-x_1)+y_1$ sehingga didapatlah persamaan garis singgungnya
Untuk lebih jelasnya, berikut ini contoh soal persamaan garis singgung yang melalui suatu titik di luar lingkaran dan pembahasannya.
Contoh soal 1
Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2=25$ yang dapat ditarik dari titik $A(7,1)$. Kemudian carilah koordinat-koordinat titik singgungnya dan persamaan garis yang menghubungkan titik-titik singgung tersebut.
Jawab:
$\bullet$ Cek kedudukan titik
Titik $A(7,1)$ terletak di luar lingkaran sebab $(7)^2+(1)^2>25$
$\bullet$ Menentukan persamaan garis singgung
Misalkan persamaan garis singgung yang melalui titik $A(7,1)$ dengan gradien $m$ adalah $y= m(x-x_1)+y_1$
Sehingga
$\begin{aligned} y&= m(x-7)+1\\ y&= mx-7m+1 \end{aligned}$
Substitusi nilai $y= mx-7m+1$ ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=25$ diperoleh
$\begin{aligned} x^2+(mx-7m+1)^2&=25\\ x^2+m^2x^2-14m^2x+2mx-49m^2-14m+1 &=25\\ (1+m^2)x^2+(2m-14m^2)x+(-49m^2-14m-24) &=0 \end{aligned}$
Tentukan nilai diskriminan $D=b^2-4ac$
$\begin{aligned} D&=(2m-14m^2)^2-4(1+m^2)(-49m^2-14m-24)\\ &= 196m^4-56m^3+4m^2-196m^2 +56m +96 -196m^4+56m^3+96m^2\\ &= -96m^2+56m+96 \end{aligned}$
Syarat garis menyinggung lingkaran adalah $D=0$ sehingga
$\begin{aligned} -96m^2+56m+96&=0\ \text{(dibagi -8)}\\ 12m^2-7m-12&=0\\ (4m+3)(3m-4)&=0\\ m=-\frac{3}{4} \vee m&=\frac{4}{3} \end{aligned}$
Substitusi nilai $m$ ke persamaan garis $y= mx-7m+1$ untuk memperoleh persamaan garis singgungnya.
Untuk $m=-\frac{3}{4}$
$\begin{aligned} y&= mx-7m+1\\ y&= -\frac{3}{4}x-7.-\frac{3}{4}+1\\ y&= -\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}\ \text{(dikali 4)}\\ 4y &= -3x+25 \end{aligned}$
$4y+3x=25$
Untuk $m=\frac{4}{3}$
$\begin{aligned} y&= mx-7m+1\\ y&= \frac{4}{3}x-7.\frac{4}{3}+1\\ y&= \frac{4}{3}x-\frac{25}{3}\ \text{(dikali 3)}\\ 3y &= 4x-25 \end{aligned}$
$4x-3y=25$
Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2=25$ yang dapat ditarik dari titik $A(7,1)$ adalah $g_1:\ 4y+3x=25$ dan $g_2:\ 4x-3y=25$
$\bullet$ Menentukan koordinat titik singgung
Substitusi persamaan garis singgung yang telah diperoleh ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=25$
Untuk $\color{blue}{g_1:\ 4y+3x=25 \rightarrow y= -\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}} $
$\begin{aligned} x^2+y^2&=25\\ x^2+(-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4})^2&=25\\ x^2+\frac{9}{16}x^2-\frac{75}{8}x+\frac{625}{16}-25&=0\ \text{(dikali 16)}\\ 25x^2-150x+225&=0\ \text{(dibagi 25)}\\ x^2-6x+9&=0\\ (x-3)^2 &=0\\ x&=3 \end{aligned}$
Substitusi $x=3$ ke $y= -\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}$ sehingga didapatlah koordinat titik singgungnya sebagai berikut
$\begin{aligned} y&= -\frac{3}{4}.3+\frac{25}{4}\\ &= \frac{16}{4}\\ &=4 \end{aligned}$
Jadi, titik singgung garis $g_1:\ 4y+3x=25$ dengan lingkaran $x^2+y^2=25$ adalah $(3,4)$
Untuk $\color{green}{g_2:\ 4x-3y=25 \rightarrow y= \frac{4}{3}x-\frac{25}{3}}$
$\begin{aligned} x^2+y^2&=25\\ x^2+(\frac{4}{3}x-\frac{25}{3})^2&=25\\ x^2+\frac{16}{9}x^2- \frac{200}{9}x+\frac{625}{9}-25&=0\ \text{(dikali 9)}\\ 25x^2-200x+400&=0\ \text{(dibagi 25)}\\ x^2 -8x+16&=0\\ (x-4)^2&=0\\ x&=4 \end{aligned}$
Substitusi $x=4$ ke $y= \frac{4}{3}x-\frac{25}{3}$ sehingga didapatlah koordinat titik singgungnya sebagai berikut
$\begin{aligned} y&= \frac{4}{3}.4-\frac{25}{3}\\ &= -\frac{9}{3}\\ &=-3 \end{aligned}$
Jadi, titik singgung garis $g_2:\ 4x-3y=25$ dengan lingkaran $x^2+y^2=25$ adalah $(4,-3)$
$\bullet$ Menentukan persamaan garis yang melalui titik singgung $(3,4)$ dan $(4,-3)$
Untuk menyelesaikannya, gunakan rumus persamaan garis $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$ sehingga diperoleh hasil sebagai berikut
$\begin{aligned} \frac{y-4}{-3-4}&=\frac{x-3}{4-3}\\ y-4&=-7x+21\\ 7x+y&=25 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis yang melalui titik singgung $(3,4)$ dan $(4,-3)$ adalah $7x+y=25$
Ilustrasi gambarnya adalah seperti berikut
Demikianlah contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan garis singgung yang melalui suatu titik di luar lingkaran. Semoga bermanfaat.
Referensi:
Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
