Contoh Soal Limit Fungsi SMA/MA beserta Pembahasannya

Definisi Limit 

Secara intuitif, limit fungsi dapat diartikan sebagai berikut.

Misalkan $f$ suatu fungsi dalam variabel $x$ dan $L$ adalah bilangan real. 

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=L}$

diartikan untuk $x$ mendekati $a$; $x\ne a$, nilai $f(x)$ mendekati $L$

Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit di titik $a$ jika limit dari kiri dan limit dari kanan bernilai sama.

Jika ${\displaystyle \underset{x\to a^{-}}{lim}f\left(x\right)=L}$ dan ${\displaystyle \underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=L}$ maka 

${\displaystyle \underset{x\to a^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=L}$ 

Artinya, nilai limit $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ ada, yaitu $L$

Contoh Soal 1

Apakah nilai limit fungsi berikut ada?

${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)}$, untuk $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-1& ;x<2\\ 3x^2& ;x\ge 2\end{array}$

Jawab:

Misalkan $x\to 2^{-}$

Artinya, ${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)={\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}2x-1=2(2)-1=3}}$

Misalkan $x\to 2^{+}$

Artinya, ${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)={\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{lim}3x^2=3(2{)}^2=12}}$

Karena ${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)\ne {\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)}}$ maka ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)}$ tidak ada.

Contoh Soal 2

${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)}$, untuk $f(x)=\{\begin{array}{ll}10x-1& ;x<1\\ 9x& ;x\ge 1\end{array}$

Jawab:

Misalkan $x\to 1^{-}$

Artinya, ${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)={\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{lim}10x-1=10(1)-1=9}}$

Misalkan $x\to 1^{+}$

Artinya, ${\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)={\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{lim}9x=9(1)=9}}$

Karena ${\displaystyle \underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)={\displaystyle \underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=9}}$ maka ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)=9}$ 

Teorema Limit 

${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}k=k}$; $k$ adalah suatu konstanta

${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}x=c}$

${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{x}^n=c^n}$; $n$ bilangan asli

${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}kf\left(x\right)=k\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)}$

${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}(f\left(x\right)\pm g\left(x\right))=\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)\pm \underset{x\to c}{lim}g\left(x\right)}$

${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right))=\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)\cdot \underset{x\to c}{lim}g\left(x\right)}$

${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{{\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)}}{{\displaystyle \underset{x\to c}{lim}g\left(x\right)}};\underset{x\to c}{lim}g\left(x\right)\ne 0}$

${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\left[f\left(x\right)\right]}^n={\left[\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)\right]}^n}$; $n$ bilangan asli

${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}\sqrt[n]{f\left(x\right)}=\sqrt[n]{\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)}}$; $n$ bilangan asli dan ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)\ge 0}$

Menentukan Limit dengan Subtitusi Langsung

Dalam mencari nilai limit dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara substitusi langsung seperti contoh berikut. 

Contoh Soal 3

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}(2x^2-x+5)}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}\underset{x\to 3}{lim}(2x^2-x+5)& =\underset{x\to 3}{lim}2x^2-\underset{x\to 3}{lim}x+\underset{x\to 3}{lim}5\\ & =2\underset{x\to 3}{lim}{x}^2-\underset{x\to 3}{lim}x+\underset{x\to 3}{lim}5\\ & =2(3{)}^2-3+5\\ & =20\end{array}$

Contoh Soal 4

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}(x^3+2)(x^2-8x)}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}\underset{x\to 2}{lim}(x^3+2)(x^2-8x)& =\underset{x\to 2}{lim}(x^3+2)\cdot \underset{x\to 2}{lim}(x^2-8x)\\ & =((2{)}^3+2)\cdot (2^2-8(2))\\ & =10\cdot (-12)\\ & =-120\end{array}$

Contoh Soal 5

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to -1}{lim}\frac{2x+1}{x^2+3x+4}}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}\underset{x\to -1}{lim}\frac{2x+1}{x^2+3x+4}& =\frac{{\displaystyle \underset{x\to -1}{lim}2x+1}}{{\displaystyle \underset{x\to -1}{lim}{x}^2+3x+4}}\\ & =\frac{2(-1)+1}{(-1{)}^2+3(-1)+4}\\ & =-\frac{1}{2}\end{array}$

Menentukan Limit dengan Cara Memfaktorkan Terlebih Dahulu

Limit suatu fungsi yang dikerjakan dengan cara subtitusi langsung terkadang menghasilkan nilai $\frac{0}{0}$.  Limit model ini disebut sebagai limit bentuk tak tentu. Cara menghitung limit jenis ini adalah dengan cara melakukan pemfaktoran terlebih dahulu, kemudian disederhanakan ke bentuk paling sederhana.

Contoh Soal 6

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{t\to -5}{lim}\frac{t^2-25}{t+5}}$

Jawab:

Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh

${\displaystyle \underset{t\to -5}{lim}\frac{t^2-25}{t+5}=\frac{(-5{)}^2-25}{(-5)+5}=\frac{0}{0}}$

Agar tidak muncul bentuk $\frac{0}{0}$, faktorkanlah $t^2-25$ sebagai berikut

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{t\to -5}{lim}\frac{(t-5)(t+5)}{(t+5)}}& ={\displaystyle \underset{t\to -5}{lim}(t-5)}\\ & =-5-5\\ & =-10\end{array}$

Contoh Soal 7

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to 9}{lim}\frac{9-x}{3-\sqrt{x}}}$

Jawab:

Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh

${\displaystyle \underset{x\to 9}{lim}\frac{9-x}{3-\sqrt{x}}=\frac{9-9}{3-\sqrt{9}}=\frac{0}{0}}$

Agar tidak muncul bentuk $\frac{0}{0}$, faktorkanlah $9-x$ sebagai berikut

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to 9}{lim}\frac{(3+\sqrt{x})(3-\sqrt{x})}{(3-\sqrt{x})}}& ={\displaystyle \underset{x\to 9}{lim}3+\sqrt{x}}\\ & =3+3\\ & =6\end{array}$

Contoh Soal 8

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{t\to 1}{lim}\frac{t^2-3t+2}{t-1}}$

Jawab:

Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh

${\displaystyle \underset{t\to 1}{lim}\frac{t^2-3t+2}{t-1}=\frac{1^2-3(1)+2}{1-1}=\frac{0}{0}}$

Agar tidak muncul bentuk $\frac{0}{0}$, faktorkanlah $t^2-3t+2$ sebagai berikut

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{t\to 1}{lim}\frac{(t-2)(t-1)}{(t-1)}}& ={\displaystyle \underset{t\to 1}{lim}(t-2)}\\ & =1-2\\ & =-1\end{array}$

Menentukan Limit dengan Mengalikan Faktor Sekawan

Jika pada ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}}$ diperoleh bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ untuk $x=c$ dan sulit untuk memfaktorkan $f(x)$ dan $g(x)$, nilai limitnya dapat ditentukan dengan perkalian dengan faktor sekawan dari $f(x)$ atau $g(x)$. 

Contoh Soal 9

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to 4}{lim}\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}}$

Jawab:

Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh

${\displaystyle \underset{x\to 4}{lim}\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}=\frac{3-\sqrt{5+4}}{1-\sqrt{5-4}}=\frac{0}{0}}$

Agar tidak muncul bentuk tak tentu, kalikanlah ${\displaystyle \underset{x\to 4}{lim}\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}}$ dengan faktor sekawannya sebagai berikut

${\displaystyle \underset{x\to 4}{lim}\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}\cdot \frac{3+\sqrt{5+x}}{3+\sqrt{5+x}}\cdot \frac{1+\sqrt{5-x}}{1+\sqrt{5-x}}}$

$={\displaystyle \underset{x\to 4}{lim}\frac{9-5-x}{1-5+x}\cdot \frac{1+\sqrt{5-x}}{3+\sqrt{5+x}}}$

$={\displaystyle \underset{x\to 4}{lim}\frac{4-x}{-4+x}\cdot \frac{1+\sqrt{5-x}}{3+\sqrt{5+x}}}$

$={\displaystyle -\underset{x\to 4}{lim}\frac{-4+x}{-4+x}\cdot \frac{1+\sqrt{5-x}}{3+\sqrt{5+x}}}$

$={\displaystyle -\underset{x\to 4}{lim}\frac{1+\sqrt{5-x}}{3+\sqrt{5+x}}}$

$=-\frac{1+\sqrt{5-4}}{3+\sqrt{5+4}}$

$=-\frac{2}{6}$

$=-\frac{1}{3}$

 

Contoh Soal 10

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}\frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}}$

Jawab:

Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh

${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}\frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}=\frac{4-2^2}{3-\sqrt{2^2+5}}=\frac{0}{0}}$

Agar tidak muncul bentuk tak tentu, kalikanlah ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}\frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}}$ dengan $\frac{3+\sqrt{x^2+5}}{3+\sqrt{x^2+5}}$ sebagai berikut

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}\frac{4-x^2}{3-\sqrt{x^2+5}}\cdot \frac{3+\sqrt{x^2+5}}{3+\sqrt{x^2+5}}}& ={\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}\frac{(4-x^2)(3+\sqrt{x^2+5})}{(4-x^2)}}\\ & ={\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}3+\sqrt{x^2+5}}\\ & =3+3\\ & =6\end{array}$

Limit Fungsi di Tak Hingga

Suatu bentuk limit ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}}$  yang apabila dikerjakan dengan cara subtitusi, diperoleh $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ dapat dikerjakan atas dasar ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^n}=0}$.

Misalkan pangkat tertinggi dari variabel $f(x)$ dan $g(x)$ adalah $m$, maka variabel berpangkat tertinggi adalah $x^m$. Nilai limitnya dapat ditentukan sebagai berikut.

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}\cdot \frac{(\frac{1}{x^m})}{(\frac{1}{x^m})}}$

Contoh Soal 11

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4x^3-2x+1}{3x^3-x-1}}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4x^3-2x+1}{3x^3-x-1}}& ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4x^3-2x+1}{3x^3-x-1}\cdot \frac{(\frac{1}{x^3})}{(\frac{1}{x^3})}}\\ & ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{3-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}}}\\ & =\frac{4-\frac{2}{\mathrm{\infty }}+\frac{1}{\mathrm{\infty }}}{3-\frac{1}{\mathrm{\infty }}-\frac{1}{\mathrm{\infty }}}\\ & =\frac{4-0+0}{3-0-0}\\ & =\frac{4}{3}\end{array}$

Contoh Soal 12

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^3-4x^2}{2x^4+1}}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^3-4x^2}{2x^4+1}}& ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^3-4x^2}{2x^4+1}\cdot \frac{(\frac{1}{x^4})}{(\frac{1}{x^4})}}\\ & ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{2}{x}-\frac{4}{x^2}}{2-\frac{1}{x^4}}}\\ & =\frac{\frac{2}{\mathrm{\infty }}-\frac{4}{\mathrm{\infty }}}{2-\frac{1}{\mathrm{\infty }}}\\ & =\frac{0-0}{2-0}\\ & =0\end{array}$

Contoh Soal 13

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x^2+1}{3x-2}}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x^2+1}{3x-2}}& ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x^2+1}{3x-2}\cdot \frac{(\frac{1}{x^2})}{(\frac{1}{x^2})}}\\ & ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-1+\frac{1}{x^2}}{\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}}}\\ & =\frac{-1+\frac{1}{\mathrm{\infty }}}{\frac{3}{\mathrm{\infty }}-\frac{2}{\mathrm{\infty }}}\\ & =\frac{-1+0}{0-0}\\ & =\frac{-1}{0}\\ & =-\mathrm{\infty }\end{array}$

Contoh Soal 14

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-2x+1}{3x-2}}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-2x+1}{3x-2}}& ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-2x+1}{3x-2}\cdot \frac{(\frac{1}{x^2})}{(\frac{1}{x^2})}}\\ & ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}}}\\ & =\frac{1-\frac{2}{\mathrm{\infty }}+\frac{1}{\mathrm{\infty }}}{\frac{3}{\mathrm{\infty }}-\frac{2}{\mathrm{\infty }}}\\ & =\frac{1-0+0}{0-0}\\ & =\frac{1}{0}\\ & =\mathrm{\infty }\end{array}$

Bentuk limit  ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}}$ dapat dikerjakan dengan cara cepat.

Untuk $f(x)=a{x}^m+b{x}^{m-1}+...+a_0$ dan $g(x)=p{x}^n+q{x}^{n-1}+...+b_0$, berlaku:

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{p}}$ jika $m=n$

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=+\mathrm{\infty }}$ jika $m>n$ dan$a>0$

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=-\mathrm{\infty }}$ jika $m>n$ dan$a<0$

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=0}$ jika $m<n$

*Jika contoh soal limit di tak hingga no 11-14 diatas dikerjakan dengan cara cepat maka hasilnya adalah sebagai berikut.

Contoh Soal 15

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4x^3-2x+1}{3x^3-x-1}}$

Jawab:

Misalkan $f(x)=4x^3-2x+1$ dan $g(x)=3x^3-x-1$. Tampak bahwa pangkat tertinggi kedua fungsi sama, yaitu 3. Sehingga, 

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4x^3-2x+1}{3x^3-x-1}=\frac{4}{3}}$  

note: ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{p}}$ jika $m=n$

Contoh Soal 16

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^3-4x^2}{2x^4+1}}$

Jawab:

Misalkan $f(x)=2x^3-4x^2$ dan $g(x)=2x^4+1$. Pangkat tertinggi $f(x)$ adalah 3, pangkat tertinggi $g(x)$ adalah 4. Sehingga, 

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^3-4x^2}{2x^4+1}=0}$

note: ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=0}$ jika $m<n$

Contoh Soal 17

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x^2+1}{3x-2}}$

Jawab:

Misalkan $f(x)=-x^2+1$ dan $g(x)=3x-2$. Pangkat tertinggi $f(x)$ adalah 2, pangkat tertinggi $g(x)$ adalah 1, dan koefisien $x^2$ adalah $-1<0$. Sehingga, 

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x^2+1}{3x-2}=-\mathrm{\infty }}$

note: ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=-\mathrm{\infty }}$ jika $m>n$ dan$a<0$

Contoh Soal 18

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-2x+1}{3x-2}}$

Jawab:

Misalkan $f(x)=x^2-2x+1$ dan $g(x)=3x-2$. Pangkat tertinggi $f(x)$ adalah 2, pangkat tertinggi $g(x)$ adalah 1, dan koefisien $x^2$ adalah $1>0$. Sehingga, 

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-2x+1}{3x-2}=\mathrm{\infty }}$

note: ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=+\mathrm{\infty }}$ jika $m>n$ dan$a>0$

Limit Tak Berhingga Dalam Bentuk Akar

Contoh Soal 19

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2+9}}{x+3}}$

Jawab:

Untuk menyelesaikan soal limit ini, bagi pembilang dengan $\sqrt{x^2}$ dan bagi penyebut dengan $x$, sehingga diperoleh

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2+9}}{x+3}}& ={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+\frac{9}{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}}\\ & =\frac{\sqrt{1+\frac{9}{\mathrm{\infty }}}}{1+\frac{3}{\mathrm{\infty }}}\\ & =\frac{\sqrt{1+0}}{1+0}\\ & =1\end{array}$

Contoh Soal 20

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2+9}}{x+3}}$

Jawab:

Untuk menyelesaikan soal limit ini, bagi pembilang dengan $\sqrt{x^2}$ dan bagi penyebut dengan $-x$, sehingga diperoleh

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2+9}}{x+3}}& ={\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+\frac{9}{x^2}}}{-1+\frac{3}{-x}}}\\ & ={\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+\frac{9}{x^2}}}{-1-\frac{3}{x}}}\\ & =\frac{\sqrt{1+\frac{9}{\mathrm{\infty }}}}{-1-\frac{3}{\mathrm{\infty }}}\\ & =\frac{\sqrt{1+0}}{-1-0}\\ & =-1\end{array}$

Contoh Soal 21

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2+1}-x}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2+1}-x}& ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2+1}-x\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}+x}}\\ & ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}}\\ & ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}}\\ & ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1}}\\ & =\frac{\frac{1}{\mathrm{\infty }}}{\sqrt{1+\frac{1}{\mathrm{\infty }}}+1}\\ & =\frac{0}{2}\\ & =0\end{array}$

Contoh Soal 22

Tentukan nilai dari ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}& ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}}\\ & ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+1-(x^2-1)}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}}\\ & ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}}\\ & ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}}\\ & =\frac{\frac{2}{\mathrm{\infty }}}{\sqrt{1+\frac{1}{\mathrm{\infty }}}+\sqrt{1-\frac{1}{\mathrm{\infty }}}}\\ & =\frac{0}{2}\\ & =0\end{array}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi limit fungsi. Semoga bermanfaat.

Referensi

Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Sutrima dan Budi Usodo. 2009. Matematika 2: untuk SMA / MA Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 2: untuk kelas XI SMA/MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.