Contoh Soal Limit Fungsi SMA/MA beserta Pembahasannya
Definisi Limit
Secara intuitif, limit fungsi dapat diartikan sebagai berikut.
Misalkan $f$ suatu fungsi dalam variabel $x$ dan $L$ adalah bilangan real.
$ \displaystyle \lim_{x \to a}\ f\left ( x \right ) = L \ $
diartikan untuk $x$ mendekati $a$; $x \neq a$, nilai $f(x)$ mendekati $L$
Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit di titik $a$ jika limit dari kiri dan limit dari kanan bernilai sama.
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-}}\ f\left ( x \right ) = L \ $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+}}\ f\left ( x \right ) = L \ $ maka
$ \displaystyle \lim_{x \to a^{-}}\ f\left ( x \right ) = \lim_{x \to a^{+}}\ f\left ( x \right ) = \lim_{x \to a}\ f\left ( x \right ) = L \ $
Artinya, nilai limit $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$ ada, yaitu $L$
Contoh Soal 1
Apakah nilai limit fungsi berikut ada?
$ \displaystyle \lim_{x \to 2}\ f\left ( x \right )$, untuk $f(x)= \begin{cases} 2x - 1 &; x< 2 \\ 3x^2 &; x\geq 2 \end{cases}$
Jawab:
Misalkan $x \to 2^{-}$
Artinya, $ \displaystyle \lim_{x \to 2^{-}}\ f\left ( x \right ) = \displaystyle \lim_{x \to 2^{-}}\ 2x-1 = 2(2) - 1 = 3$
Misalkan $x \to 2^{+}$
Artinya, $ \displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\ f\left ( x \right ) = \displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\ 3x^2 = 3(2)^2 = 12$
Karena $ \displaystyle \lim_{x \to 2^{+}}\ f\left ( x \right ) \neq \displaystyle \lim_{x \to 2^{-}}\ f\left ( x \right )$ maka $\displaystyle \lim_{x \to 2}\ f\left ( x \right )$ tidak ada.
Contoh Soal 2
$ \displaystyle \lim_{x \to 1}\ f\left ( x \right )$, untuk $f(x)= \begin{cases} 10x - 1 &; x< 1 \\ 9x &; x\geq 1 \end{cases}$
Jawab:
Misalkan $x \to 1^{-}$
Artinya, $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}\ f\left ( x \right ) = \displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}\ 10x-1 = 10(1) - 1 = 9$
Misalkan $x \to 1^{+}$
Artinya, $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}\ f\left ( x \right ) = \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}\ 9x = 9(1) = 9$
Karena $ \displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}\ f\left ( x \right ) = \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}\ f\left ( x \right )=9$ maka $\displaystyle \lim_{x \to 1}\ f\left ( x \right )=9$
Teorema Limit
$\displaystyle \lim_{x \to c}\ k=k$; $k$ adalah suatu konstanta
$\displaystyle \lim_{x \to c}\ x=c$
$\displaystyle \lim_{x \to c}\ x^{n} = c^{n}$; $n$ bilangan asli
$ \displaystyle \lim_{x \to c}k \ f\left ( x \right )= k\lim_{x \to c} \ f\left ( x \right )$
$ \displaystyle \lim_{x \to c}( \ f\left ( x \right ) \pm \ g\left ( x \right ))= \lim_{x \to c} \ f\left ( x \right ) \pm \lim_{x \to c} \ g\left ( x \right )$
$ \displaystyle \lim_{x \to c}(\ f\left ( x \right ) \cdot \ g\left ( x \right ))= \lim_{x \to c} \ f\left ( x \right ) \cdot \lim_{x \to c} \ g\left ( x \right )$
$ \displaystyle \lim_{x \to c}\frac{\ f\left ( x \right )}{\ g\left ( x \right )}= \frac{\displaystyle \lim_{x \to c}\ f\left ( x \right )}{\displaystyle \lim_{x \to c}\ g\left ( x \right )};\lim_{x \to c}\ g\left ( x \right )\neq 0$
$\displaystyle \lim_{x \to c}\ \left [ f\left ( x \right ) \right ]^{n} = \left [\lim_{x \to c}\ f\left ( x \right ) \right ]^{n}$; $n$ bilangan asli
$\displaystyle \lim_{x \to c}\ \sqrt[n]{f\left ( x \right )} = \sqrt[n]{\lim_{x \to c}\ f\left ( x \right )} $; $n$ bilangan asli dan $\displaystyle \lim_{x \to c}\ f\left ( x \right )\geq 0$
Menentukan Limit dengan Subtitusi Langsung
Dalam mencari nilai limit dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara substitusi langsung seperti contoh berikut.
Contoh Soal 3
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3}\ (2x^{2}-x+5)$
Jawab:
$\begin{aligned} \lim_{x \to 3}\ (2x^{2}-x+5) &= \lim_{x \to 3}\ 2x^{2} - \lim_{x \to 3}\ x + \lim_{x \to 3}\ 5 \\ &= 2\lim_{x \to 3}\ x^{2} - \lim_{x \to 3}\ x + \lim_{x \to 3}\ 5 \\ &= 2(3)^{2}-3+5 \\ &= 20 \end{aligned}$
Contoh Soal 4
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2}\ (x^{3}+2)(x^{2}-8x)$
Jawab:
$\begin{aligned} \lim_{x \to 2}\ (x^{3}+2)(x^{2}-8x) &= \lim_{x \to 2}\ (x^{3}+2) \cdot \lim_{x \to 2}\ (x^{2}-8x) \\ &= ((2)^{3}+2) \cdot (2^{2}-8(2)) \\ &= 10 \cdot (-12) \\ &= -120 \end{aligned}$
Contoh Soal 5
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to -1}\ \frac{2x + 1}{x^{2} +3x +4}$
Jawab:
$\begin{aligned} \lim_{x \to -1}\ \frac{2x + 1}{x^{2} +3x +4} &= \frac{\displaystyle \lim_{x \to -1}\ 2x + 1}{\displaystyle \lim_{x \to -1}\ x^{2} +3x +4} \\ &= \frac{2(-1) + 1}{(-1)^{2} +3(-1) +4} \\ &= -\frac{ 1}{2} \end{aligned}$
Menentukan Limit dengan Cara Memfaktorkan Terlebih Dahulu
Limit suatu fungsi yang dikerjakan dengan cara subtitusi langsung terkadang menghasilkan nilai $\frac{0}{0}$. Limit model ini disebut sebagai limit bentuk tak tentu. Cara menghitung limit jenis ini adalah dengan cara melakukan pemfaktoran terlebih dahulu, kemudian disederhanakan ke bentuk paling sederhana.
Contoh Soal 6
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{t \to -5}\ \frac{t^{2} - 25}{t + 5}$
Jawab:
Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh
$ \displaystyle \lim_{t \to -5}\ \frac{t^{2} - 25}{t + 5}=\frac{(-5)^{2} - 25}{(-5) + 5}= \frac{0}{0}$
Agar tidak muncul bentuk $\frac{0}{0}$, faktorkanlah $t^{2} - 25$ sebagai berikut
$ \begin{aligned} \displaystyle \lim_{t \to -5}\ \frac{(t-5)(t+5)}{(t + 5)}&= \displaystyle \lim_{t \to -5}\ (t-5) \\&= -5-5 \\&= -10 \end{aligned}$
Contoh Soal 7
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to 9}\ \frac{9-x}{3-\sqrt{x}}$
Jawab:
Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh
$ \displaystyle \lim_{x \to 9}\ \frac{9-x}{3-\sqrt{x}}=\frac{9-9}{3-\sqrt{9}}= \frac{0}{0}$
Agar tidak muncul bentuk $\frac{0}{0}$, faktorkanlah $9-x$ sebagai berikut
$ \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 9}\ \frac{(3+\sqrt{x})(3-\sqrt{x})}{(3-\sqrt{x})}&= \displaystyle \lim_{x \to 9}\ 3+\sqrt{x} \\&= 3+3 \\&= 6 \end{aligned}$
Contoh Soal 8
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{t \to 1}\ \frac{t^{2} - 3t+2}{t -1}$
Jawab:
Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh
$ \displaystyle \lim_{t \to 1}\ \frac{t^{2} - 3t+2}{t -1}=\frac{1^{2} - 3(1)+2}{1 -1}= \frac{0}{0}$
Agar tidak muncul bentuk $\frac{0}{0}$, faktorkanlah $t^{2} - 3t+2$ sebagai berikut
$ \begin{aligned} \displaystyle \lim_{t \to 1}\ \frac{(t-2)(t-1)}{(t -1)}&= \displaystyle \lim_{t \to 1}\ (t-2) \\&= 1-2 \\&= -1 \end{aligned}$
Menentukan Limit dengan Mengalikan Faktor Sekawan
Jika pada $ \displaystyle \lim_{x \to c}\ \frac{f(x)}{g(x)}$ diperoleh bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ untuk $x=c$ dan sulit untuk memfaktorkan $f(x)$ dan $g(x)$, nilai limitnya dapat ditentukan dengan perkalian dengan faktor sekawan dari $f(x)$ atau $g(x)$.
Contoh Soal 9
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to 4}\ \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}$
Jawab:
Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh
$ \displaystyle \lim_{x \to 4}\ \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}= \frac{3-\sqrt{5+4}}{1-\sqrt{5-4}}= \frac{0}{0}$
Agar tidak muncul bentuk tak tentu, kalikanlah $ \displaystyle \lim_{x \to 4}\ \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}$ dengan faktor sekawannya sebagai berikut
$ \displaystyle \lim_{x \to 4}\ \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}} \cdot \frac{3+\sqrt{5+x}}{3+\sqrt{5+x}} \cdot \frac{1+\sqrt{5-x}}{1+\sqrt{5-x}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 4}\ \frac{9-5-x}{1-5+x} \cdot \frac{1+\sqrt{5-x}}{3+\sqrt{5+x}}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 4}\ \frac{4-x}{-4+x} \cdot \frac{1+\sqrt{5-x}}{3+\sqrt{5+x}}$
$= \displaystyle - \lim_{x \to 4}\ \frac{-4+x}{-4+x} \cdot \frac{1+\sqrt{5-x}}{3+\sqrt{5+x}}$
$= \displaystyle - \lim_{x \to 4}\ \frac{1+\sqrt{5-x}}{3+\sqrt{5+x}}$
$= - \frac{1+\sqrt{5-4}}{3+\sqrt{5+4}}$
$= - \frac{2}{6} $
$= - \frac{1}{3} $
Contoh Soal 10
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to 2}\ \frac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}}$
Jawab:
Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh
$ \displaystyle \lim_{x \to 2}\ \frac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}}= \frac{4-2^{2}}{3-\sqrt{2^{2}+5}}= \frac{0}{0}$
Agar tidak muncul bentuk tak tentu, kalikanlah $ \displaystyle \lim_{x \to 2}\ \frac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}}$ dengan $\frac{3+\sqrt{x^{2}+5}}{3+\sqrt{x^{2}+5}}$ sebagai berikut
$ \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2}\ \frac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \cdot \frac {3+\sqrt{x^{2}+5}}{3+\sqrt{x^{2}+5}} &= \displaystyle \lim_{x \to 2}\ \frac{(4-x^{2}) (3+\sqrt{x^{2}+5})}{(4-x^{2})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2}\ 3+\sqrt{x^{2}+5} \\ &= 3 + 3 \\&= 6 \end{aligned}$
Limit Fungsi di Tak Hingga
Suatu bentuk limit $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{f(x)}{g(x)}$ yang apabila dikerjakan dengan cara subtitusi, diperoleh $\frac{\infty}{\infty}$ dapat dikerjakan atas dasar $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{1}{x^{n}}=0$.
Misalkan pangkat tertinggi dari variabel $f(x)$ dan $g(x)$ adalah $m$, maka variabel berpangkat tertinggi adalah $x^m$. Nilai limitnya dapat ditentukan sebagai berikut.
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to \infty }\ \frac{f(x)}{g(x)}\cdot \frac{(\frac{1}{x^{m}})}{(\frac{1}{x^{m}})} $
Contoh Soal 11
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{4x^{3}-2x +1}{3x^{3}-x -1}$
Jawab:
$ \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{4x^{3}-2x +1}{3x^{3}-x -1} &= \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{4x^{3}-2x +1}{3x^{3}-x -1} \cdot \frac{(\frac{1}{x^{3}})}{(\frac{1}{x^{3}})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{4-\frac{2}{x^{2}} +\frac{1}{x^{3}}}{3-\frac{1}{x^{2}} -\frac{1}{x^{3}}} \\ &= \frac{4-\frac{2}{\infty} +\frac{1}{\infty}}{3-\frac{1}{\infty} -\frac{1}{\infty}} \\&= \frac{4-0 +0}{3-0 -0} \\&= \frac{4}{3} \end{aligned}$
Contoh Soal 12
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{2x^{3}-4x^{2}}{2x^{4}+1}$
Jawab:
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{2x^{3}-4x^{2}}{2x^{4}+1} &= \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{2x^{3}-4x^{2}}{2x^{4}+1} \cdot \frac{(\frac{1}{x^{4}})}{(\frac{1}{x^{4}})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{\frac{2}{x}-\frac{4}{x^{2}}}{2-\frac{1}{x^{4}}} \\ &= \frac{\frac{2}{\infty}-\frac{4}{\infty}}{2-\frac{1}{\infty}} \\&= \frac{0-0}{2-0} \\&= 0 \end{aligned}$
Contoh Soal 13
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{-x^{2}+1}{3x -2}$
Jawab:
$ \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{-x^{2}+1}{3x -2} &= \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{-x^{2}+1}{3x -2} \cdot \frac{(\frac{1}{x^{2}})}{(\frac{1}{x^{2}})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{-1 +\frac{1}{x^{2}}}{\frac{3}{x} -\frac{2}{x^{2}}} \\ &= \frac{-1 +\frac{1}{\infty}}{\frac{3}{\infty} -\frac{2}{\infty}} \\&= \frac{-1 +0}{0 -0} \\&= \frac{-1}{0} \\&= -\infty \end{aligned}$
Contoh Soal 14
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{x^{2}-2x +1}{3x -2}$
Jawab:
$ \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{x^{2}-2x +1}{3x -2} &= \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{x^{2}-2x +1}{3x -2} \cdot \frac{(\frac{1}{x^{2}})}{(\frac{1}{x^{2}})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{1-\frac{2}{x} +\frac{1}{x^{2}}}{\frac{3}{x} -\frac{2}{x^{2}}} \\ &= \frac{1-\frac{2}{\infty} +\frac{1}{\infty}}{\frac{3}{\infty} -\frac{2}{\infty}} \\&= \frac{1-0 +0}{0 -0} \\&= \frac{1}{0} \\&= \infty \end{aligned}$
Bentuk limit $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{f(x)}{g(x)}$ dapat dikerjakan dengan cara cepat.
Untuk $f(x)= ax^{m}+bx^{m-1}+ ... + a_{0}$ dan $g(x)=px^{n}+qx^{n-1}+ ... + b_{0}$, berlaku:
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{a}{p} $ jika $m=n$
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{f(x)}{g(x)}= + \infty $ jika $m>n$ dan$a>0$
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{f(x)}{g(x)}= - \infty $ jika $m>n$ dan$a<0$
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{f(x)}{g(x)}= 0 $ jika $m<n$
*Jika contoh soal limit di tak hingga no 11-14 diatas dikerjakan dengan cara cepat maka hasilnya adalah sebagai berikut.
Contoh Soal 15
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{4x^{3}-2x +1}{3x^{3}-x -1}$
Jawab:
Misalkan $f(x)= 4x^{3}-2x +1$ dan $g(x)=3x^{3}-x -1$. Tampak bahwa pangkat tertinggi kedua fungsi sama, yaitu 3. Sehingga,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{4x^{3}-2x +1}{3x^{3}-x -1}= \frac{4}{3}$
note: $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{a}{p} $ jika $m=n$
Contoh Soal 16
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{2x^{3}-4x^{2}}{2x^{4}+1}$
Jawab:
Misalkan $f(x)= 2x^{3}-4x^{2}$ dan $g(x)=2x^{4}+1$. Pangkat tertinggi $f(x)$ adalah 3, pangkat tertinggi $g(x)$ adalah 4. Sehingga,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{2x^{3}-4x^{2}}{2x^{4}+1}= 0$
note: $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{f(x)}{g(x)}= 0 $ jika $m<n$
Contoh Soal 17
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{-x^{2}+1}{3x -2}$
Jawab:
Misalkan $f(x)= -x^{2}+1$ dan $g(x)=3x -2$. Pangkat tertinggi $f(x)$ adalah 2, pangkat tertinggi $g(x)$ adalah 1, dan koefisien $x^{2}$ adalah $-1<0$. Sehingga,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{-x^{2}+1}{3x -2}= -\infty $
note: $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{f(x)}{g(x)}= - \infty $ jika $m>n$ dan$a<0$
Contoh Soal 18
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{x^{2}-2x +1}{3x -2}$
Jawab:
Misalkan $f(x)= x^{2}-2x +1$ dan $g(x)=3x -2$. Pangkat tertinggi $f(x)$ adalah 2, pangkat tertinggi $g(x)$ adalah 1, dan koefisien $x^{2}$ adalah $1>0$. Sehingga,
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{x^{2}-2x +1}{3x -2}= \infty $
note: $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{f(x)}{g(x)}= + \infty $ jika $m>n$ dan$a>0$
Limit Tak Berhingga Dalam Bentuk Akar
Contoh Soal 19
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty }\ \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x+3}$
Jawab:
Untuk menyelesaikan soal limit ini, bagi pembilang dengan $\sqrt{x^{2}}$ dan bagi penyebut dengan $x$, sehingga diperoleh
$ \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to + \infty }\ \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x+3} &= \displaystyle \lim_{x \to +\infty }\ \frac{\sqrt{1+\frac{9}{x^{2}}}}{1+\frac{3}{x}} \\ &= \frac{\sqrt{1+\frac{9}{\infty}}}{1+\frac{3}{\infty}} \\ &= \frac{\sqrt{1+0}}{1+0}\\ &= 1 \end{aligned}$
Contoh Soal 20
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty }\ \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x+3}$
Jawab:
Untuk menyelesaikan soal limit ini, bagi pembilang dengan $\sqrt{x^{2}}$ dan bagi penyebut dengan $-x$, sehingga diperoleh
$ \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to - \infty }\ \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x+3} &= \displaystyle \lim_{x \to -\infty }\ \frac{\sqrt{1+\frac{9}{x^{2}}}}{-1+\frac{3}{-x}} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to -\infty }\ \frac{\sqrt{1+\frac{9}{x^{2}}}}{-1-\frac{3}{x}} \\ &= \frac{\sqrt{1+\frac{9}{\infty}}}{-1-\frac{3}{\infty}} \\ &= \frac{\sqrt{1+0}}{-1-0}\\ &= -1 \end{aligned}$
Contoh Soal 21
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \sqrt{x^{2}+1}-x$
Jawab:
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \sqrt{x^{2}+1}-x &= \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \sqrt{x^{2}+1}-x \cdot \frac {\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}+x} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+ 1} \\ &= \frac{\frac{1}{\infty}}{\sqrt{1+\frac{1}{\infty}}+ 1} \\ &= \frac{0}{2} \\ &= 0 \end{aligned}$
Contoh Soal 22
Tentukan nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}$
Jawab:
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1} &= \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{x^{2}+1-(x^{2}-1)}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty }\ \frac{\frac {2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}} \\ &= \frac{\frac {2}{\infty}}{\sqrt{1+\frac{1}{\infty}}+\sqrt{1-\frac{1}{\infty}}} \\ &= \frac{0}{2} \\ &= 0 \end{aligned}$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi limit fungsi. Semoga bermanfaat.
Referensi
Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Sutrima dan Budi Usodo. 2009. Matematika 2: untuk SMA / MA Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 2: untuk kelas XI SMA/MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
