Cara Menentukan Determinan dan Invers Matriks Ordo 2x2

 

Determinan Matriks Ordo 2x2

Misalkan terdapat matriks $\begin{array}{rl}A& =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\end{array}$ yang berordo 2x2, determinan matriks $A$ didefinisikan sebagai berikut.

Jika $\begin{array}{rl}A& =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\end{array}$, maka determinan matriks A adalah $\begin{array}{rl}detA& =|A|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc\end{array}$

Berikut ini beberapa contoh soal determinan matriks ordo 2x2

Contoh soal 1

Jika $\begin{array}{rl}A& =\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 3& -1\end{array}\right)\end{array}$, maka $detA$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}|A|& =ad-bc\\ & =2\cdot (-1)-(-2)\cdot (3)\\ & =-2-(-6)\\ & =4\end{array}$

Jadi, $|A|=4$

Contoh soal 2

Jika $\begin{array}{rl}B& =\left(\begin{array}{cc}\sqrt{2}& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& \sqrt{8}\end{array}\right)\end{array}$, maka $detB$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}|B|& =ad-bc\\ & =(\sqrt{2})(\sqrt{8})-(\sqrt{3})(\sqrt{3})\\ & =\sqrt{1}6-\sqrt{9}\\ & =4-3\\ & =1\end{array}$

Jadi, $|B|=1$

Contoh soal 3

Diketahui $\left|\begin{array}{cc}-x& 3\\ -1& 9\end{array}\right|=6$. Tentukanlah nilai $x$ pada persamaan tersebut.

Jawab:

$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{cc}-x& 3\\ -1& 9\end{array}\right|& =6\\ -9x+3& =6\\ -9x& =3\\ x& =-\frac{1}{3}\end{array}$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $-\frac{1}{3}$

Contoh soal 4

Diketahui $\left|\begin{array}{cc}x+1& x\\ 2& x-1\end{array}\right|=7$. Tentukanlah nilai $x$ pada persamaan tersebut.

Jawab:

$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{cc}x+1& x\\ 2& x-1\end{array}\right|& =7\\ (x+1)(x-1)-2x& =7\\ x^2-1-2x& =7\\ x^2-2x-8& =0\\ (x-4)(x+2)& =0\\ x=4\vee x& =-2\end{array}$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=4$ atau $x=-2$

Contoh soal 5

Diketahui matriks $A=\left(\begin{array}{cc}-3& 5\\ 4& -8\end{array}\right)$. Selidikilah apakah matriks $A$ termasuk matriks nonsingular.

Jawab:

Nilai determinan dari suatu matriks nonsingular adalah tidak sama dengan nol.

Sehingga perlu diselidiki nilai determinan dari matriks $A=\left(\begin{array}{cc}-3& 5\\ 4& -8\end{array}\right)$

$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{cc}-3& 5\\ 4& -8\end{array}\right|& =(-3)(-8)-(5)(4)\\ & =24-20\\ & =4\end{array}$

Karena $|A|\ne 0$ maka matriks $A$ termasuk matriks nonsingular.

Invers Matriks Ordo 2x2

Untuk matriks $\begin{array}{rl}A& =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\end{array}$ berordo 2x2, maka invers matriks $A$ adalah 

$\begin{array}{rl}{A}^{-1}& ={\displaystyle \frac{1}{detA}}\cdot adjointA\\ & ={\displaystyle \frac{1}{ad-bc}}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)\end{array}$

dengan syarat : $detA\ne 0$

Berikut ini beberapa contoh soal invers matriks ordo 2x2

Contoh soal 6

Diketahui $A=\left(\begin{array}{cc}-1& 6\\ -3& 14\end{array}\right)$ maka $A^{-1}$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}{A}^{-1}& ={\displaystyle \frac{1}{ad-bc}}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{(-1)(14)-(6)(-3)}}\left(\begin{array}{cc}14& -6\\ 3& -1\end{array}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}14& -6\\ 3& -1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\frac{14}{4}& \frac{-6}{4}\\ \frac{3}{4}& \frac{-1}{4}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\frac{7}{2}& -\frac{3}{2}\\ \frac{3}{4}& -\frac{1}{4}\end{array}\right)\end{array}$

Contoh soal 7

Tentukanlah nilai $x$ agar matriks $A=\left(\begin{array}{cc}x& 2\\ 2& x\end{array}\right)$ tidak memiliki invers.

Jawab:

Syarat agar suatu matriks tidak memiliki invers adalah nilai determinannya sama dengan nol. Matriks semacam ini disebut matriks singular.

Maka,

nilai determinan matriks $A=\left(\begin{array}{cc}x& 2\\ 2& x\end{array}\right)$ haruslah sama dengan nol supaya tidak memiliki invers. Sehingga diperoleh,

$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{cc}x& 2\\ 2& x\end{array}\right|& =0\\ x^2-4& =0\\ (x-2)(x+2)& =0\\ x=2\vee x& =-2\end{array}$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=2$ atau $x=-2$

Contoh soal 8

Diketahui matriks $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 4\end{array}\right)$. Selidikilah apakah $(A^{-1}{)}^t=(A^t{)}^{-1}$

Jawab:

$\bullet (A^{-1}{)}^t$ 

$\begin{array}{rl}{A}^{-1}& ={\displaystyle \frac{1}{ad-bc}}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{1.4-2.(-1)}}\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -2& 1\end{array}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -2& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{6}& \frac{1}{6}\\ \frac{-2}{6}& \frac{1}{6}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& \frac{1}{6}\\ -\frac{1}{3}& \frac{1}{6}\end{array}\right)\end{array}$

Sehingga diperoleh $(A^{-1}{)}^t=\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{6}& \frac{1}{6}\end{array}\right)$

$\bullet (A^t{)}^{-1}$

$A^t=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 4\end{array}\right)$

$\begin{array}{rl}(A^t{)}^{-1}& ={\displaystyle \frac{1}{ad-bc}}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{1.4-2.(-1)}}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 1& 1\end{array}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 1& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{6}& \frac{-2}{6}\\ \frac{1}{6}& \frac{1}{6}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{6}& \frac{1}{6}\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, $(A^{-1}{)}^t=(A^t{)}^{-1}$

Demikianlah sedikit ulasan terkait cara menentukan determinan dan invers matriks 2x2. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

E. S., Pesta  dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. 

Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 3: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XII SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.