Cara Menentukan Determinan dan Invers Matriks Ordo 2x2
Determinan Matriks Ordo 2x2
Misalkan terdapat matriks $\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{aligned}$ yang berordo 2x2, determinan matriks $A$ didefinisikan sebagai berikut.
Jika $\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{aligned}$, maka determinan matriks A adalah $\begin{aligned} \det~A & = |A| = \begin{vmatrix} \color{blue}{a} & \color{red}{b}\\ \color{red}{c} & \color{blue}{d} \end{vmatrix} = \color{blue}{ad} - \color{red}{bc} \end{aligned}$
Berikut ini beberapa contoh soal determinan matriks ordo 2x2
Contoh soal 1
Jika $\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$, maka $\det~A $ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} |A| & = ad-bc \\ & = 2 \cdot (-1) - (-2) \cdot (3) \\ & = -2-(-6) \\ & = 4 \end{aligned}$
Jadi, $ |A|=4$
Contoh soal 2
Jika $\begin{aligned} B & = \begin{pmatrix} \sqrt2 & \sqrt3 \\ \sqrt3 & \sqrt8 \end{pmatrix} \end{aligned}$, maka $\det~B $ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} |B| & = ad-bc \\ & = (\sqrt2)(\sqrt8)-(\sqrt3)(\sqrt3) \\ & = \sqrt16-\sqrt9 \\ & = 4-3 \\ & = 1 \end{aligned}$
Jadi, $ |B|=1$
Contoh soal 3
Diketahui $\begin{vmatrix} -x & 3\\ -1 & 9 \end{vmatrix}=6$. Tentukanlah nilai $x$ pada persamaan tersebut.
Jawab:
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} -x & 3\\ -1 & 9 \end{vmatrix} &=6 \\ -9x+3 &= 6 \\ -9x &= 3 \\ x &= -\frac{1}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $-\frac{1}{3}$
Contoh soal 4
Diketahui $\begin{vmatrix} x+1 & x\\ 2 & x-1 \end{vmatrix}=7$. Tentukanlah nilai $x$ pada persamaan tersebut.
Jawab:
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} x+1 & x\\ 2 & x-1 \end{vmatrix}&=7 \\ (x+1)(x-1)-2x &= 7 \\ x^{2}-1-2x &= 7 \\ x^{2}-2x-8 &= 0 \\ (x-4)(x+2) &= 0 \\ x=4 \vee x&=-2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=4$ atau $x=-2$
Contoh soal 5
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix}-3 &5\\4 & -8\end{pmatrix}$. Selidikilah apakah matriks $A$ termasuk matriks nonsingular.
Jawab:
Nilai determinan dari suatu matriks nonsingular adalah tidak sama dengan nol.
Sehingga perlu diselidiki nilai determinan dari matriks $A = \begin{pmatrix}-3 &5\\4 & -8\end{pmatrix}$
$\begin{aligned} \begin{vmatrix} -3 & 5\\ 4 & -8 \end{vmatrix} &= (-3)(-8)-(5)(4) \\ &= 24-20 \\ &= 4 \end{aligned}$
Karena $ |A| \neq 0$ maka matriks $A$ termasuk matriks nonsingular.
Invers Matriks Ordo 2x2
Untuk matriks $\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{aligned}$ berordo 2x2, maka invers matriks $A$ adalah
$\begin{aligned} A^{-1} &= \dfrac{1}{det~A} \cdot adjoint~A \\&= \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d &-b\\-c & a\end{pmatrix} \end{aligned}$
dengan syarat : $ det~A \neq 0$
Berikut ini beberapa contoh soal invers matriks ordo 2x2
Contoh soal 6
Diketahui $A = \begin{pmatrix}-1 &6\\-3 & 14\end{pmatrix}$ maka $A^{-1}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} A^{-1} &= \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d &-b\\-c & a\end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{(-1)(14) - (6)(-3)}\begin{pmatrix}14 &-6\\3 & -1\end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{4} \begin{pmatrix}14 &-6\\3 & -1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}\frac{14}{4} & \frac{-6}{4} \\ \frac{3}{4} & \frac{-1}{4}\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}\frac{7}{2} & -\frac{3}{2} \\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{4}\end{pmatrix} \end{aligned}$
Contoh soal 7
Tentukanlah nilai $x$ agar matriks $A = \begin{pmatrix}x &2\\2 & x\end{pmatrix}$ tidak memiliki invers.
Jawab:
Syarat agar suatu matriks tidak memiliki invers adalah nilai determinannya sama dengan nol. Matriks semacam ini disebut matriks singular.
Maka,
nilai determinan matriks $A = \begin{pmatrix}x &2\\2 & x\end{pmatrix}$ haruslah sama dengan nol supaya tidak memiliki invers. Sehingga diperoleh,
$\begin{aligned} \begin{vmatrix}x &2\\2 & x\end{vmatrix} &= 0 \\ x^{2}-4 &= 0 \\ (x-2)(x+2)&=0\\ x=2 \vee x&=-2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=2$ atau $x=-2$
Contoh soal 8
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix}1 &-1\\2 & 4\end{pmatrix}$. Selidikilah apakah $(A^{-1})^{t}=(A^{t})^{-1}$
Jawab:
$\bullet (A^{-1})^{t}$
$\begin{aligned} A^{-1} &= \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d &-b\\-c & a\end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{1.4 - 2.(-1)}\begin{pmatrix}4 &1\\-2 & 1\end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}4 &1\\-2 & 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}\frac{4}{6} & \frac{1}{6} \\ \frac{-2}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}\frac{2}{3} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{pmatrix} \end{aligned}$
Sehingga diperoleh $(A^{-1})^{t}= \begin{pmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}$
$\bullet (A^{t})^{-1}$
$A^{t}= \begin{pmatrix}1 &2\\-1 & 4\end{pmatrix}$
$\begin{aligned} (A^{t})^{-1} &= \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d &-b\\-c & a\end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{1.4 - 2.(-1)}\begin{pmatrix}4 &-2\\1 & 1\end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}4 &-2\\1 & 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}\frac{4}{6} & \frac{-2}{6} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, $(A^{-1})^{t}=(A^{t})^{-1}$
Demikianlah sedikit ulasan terkait cara menentukan determinan dan invers matriks 2x2. Semoga bermanfaat.
Referensi:
E. S., Pesta dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 3: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XII SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
