Catatan Materi, Contoh Soal dan Pembahasan Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

$\bullet$ Jika jarak titik $P(x_1,y_1)$ ke pusat lingkaran kurang dari jari-jari lingkaran maka titik $P(x_1,y_1)$ berada di dalam lingkaran. Sehingga

$x_1^2+y_1^2<r^2$ ;

$(x_1-a{)}^2+(y_1-b{)}^2<r^2$ ;

$x_1^2+y_1^2+A{x}_1+B{y}_1+C<0$.

$\bullet$ Jika jarak titik $P(x_1,y_1)$ ke pusat lingkaran sama dengan jari-jari lingkaran maka titik $P(x_1,y_1)$ berada pada lingkaran. Sehingga

$x_1^2+y_1^2=r^2$ ;

$(x_1-a{)}^2+(y_1-b{)}^2=r^2$ ;

$x_1^2+y_1^2+A{x}_1+B{y}_1+C=0$.

$\bullet$ Jika jarak titik $P(x_1,y_1)$ ke pusat lingkaran lebih dari jari-jari lingkaran maka titik $P(x_1,y_1)$ berada di luar lingkaran. Sehingga

$x_1^2+y_1^2>r^2$ ;

$(x_1-a{)}^2+(y_1-b{)}^2>r^2$ ;

$x_1^2+y_1^2+A{x}_1+B{y}_1+C>0$. 

Berikut ini beberapa contoh soal kedudukan titik terhadap lingkaran beserta pembahasannya.

Contoh soal 1

Tentukan posisi titik $A(8,3)$, $B(-3,-2)$, dan $C(1,7)$ terhadap lingkaran dengan persamaan $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=36$

Jawab:

Substitusikan koordinat titik-titik ke persamaan $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=36$ diperoleh :

Titik $A(8,3)$ terletak pada lingkaran sebab $(8-2{)}^2+(3-3{)}^2=36$

Titik $B(-3,-2)$ terletak di luar lingkaran sebab $(-3-2{)}^2+(-2-3{)}^2>36$

Titik $C(1,7)$ terletak di dalam lingkaran sebab $(1-2{)}^2+(7-3{)}^2<36$

Ilustrasinya sebagai berikut

Contoh soal 2

Titik $Q(-4,3)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2-4x-py-23=0$. Tentukan nilai $p$

Jawab:

Titik $Q(-4,3)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2-4x-py-23=0$. Sehingga

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2-4x-py-23& =0\\ (-4{)}^2+3^2-4(-4)-3p-23& =0\\ 16+9+16-3p-23& =0\\ 18-3p& =0\\ 3p& =18\\ p& =6\end{array}$

Jadi, nilai $p=6$

Contoh soal 3

Titik $R(2,p)$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2-4x+6y-12=0$. Tentukan nilai $p$ yang memenuhi.

Jawab:

Titik $R(2,p)$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2-4x+6y-12=0$. Sehingga

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2-4x+6y-12& <0\\ (2{)}^2+p^2-4.(2)+6p-12& <0\\ 4+p^2-8+6p-12& <0\\ p^2+6p-16& <0\\ (p+8)(p-2)& <0\end{array}$

Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $-8<p<2$

Contoh soal 4

Titik $S(q,-3)$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2-4x+6y-12=0$. Tentukan nilai $q$ yang memenuhi.

Jawab:

Titik $S(q,-3)$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2-4x+6y-12=0$. Sehingga

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2-4x+6y-12& >0\\ q^2+(-3{)}^2-4q+6(-3)-12& >0\\ q^2+9-4q-18-12& >0\\ q^2-4q-21& >0\\ (q+3)(q-7)& >0\end{array}$

Jadi, nilai $q$ yang memenuhi adalah $q<-3$ atau $q>7$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi kedudukan titik terhadap lingkaran. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.