#2 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Berikut ini disajikan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan garis singgung lingkaran. Selamat belajar, sobat. Semoga bermanfaat.

Contoh soal 1

Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=50$ di titik $(-5,5)$ adalah ...

Jawab:

$\bullet$ Menentukan kedudukan titik terlebih dahulu.

Titik $(-5,5)$ terletak pada lingkaran sebab $(-5{)}^2+(5{)}^2=50$

$\bullet$ Menentukan persamaan garis singgung.

Diketahui $x_1=-5$ dan $y_1=5$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}{x}_1.x+y_1.y& =r^2\\ x_1.x+y_1.y& =50\\ -5x+5y& =50\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $-5x+5y=50$

Contoh soal 2

Persamaan garis singgung pada lingkaran $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$ di titik $(5,1)$ adalah ...

Jawab:

Titik $(5,1)$ terletak pada lingkaran sebab $(5-2{)}^2+(1+3{)}^2=25$

Diketahui $a=2,b=-3,x_1=5$ dan $y_1=1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)& =r^2\\ (x_1-2)(x-2)+(y_1+3)(y+3)& =25\\ (5-2)(x-2)+(1+3)(y+3)& =25\\ 3(x-2)+4(y+3)& =25\\ 3x-6+4y+12& =25\\ 3x+4y& =19\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $3x+4y=19$

Contoh soal 3

Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2+2x-4y-5=0$ di titik $(2,1)$ adalah ...

Jawab:

Titik $(2,1)$ terletak pada lingkaran sebab $2^2+1^2+2.2-4.1-5=0$

Diketahui $A=2,B=-4,x_1=2$ dan $y_1=1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}{x}_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}A(x_1+x)+\frac{1}{2}B(y_1+y)+C& =0\\ 2.x+1.y+\frac{1}{2}(2)(2+x)+\frac{1}{2}(-4)(1+y)-5& =0\\ 2x+y+(2+x)-2(1+y)-5& =0\\ 2x+y+2+x-2-2y-5& =0\\ 3x-y-5& =0\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $3x-y-5=0$

Contoh soal 4

Garis singgung lingkaran $L_1:x^2+y^2=5$ di titik $(2,1)$ juga menyinggung lingkaran $L_2:(x-3{)}^2+(y-a{)}^2=5$. Nilai $a$ adalah ...

Jawab:

$\bullet$ Menentukan persamaan garis singgung.

Diketahui $x_1=2$ dan $y_1=1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}{x}_1.x+y_1.y& =r^2\\ 2.x+1.y& =5\\ 2x+y& =5\end{array}$

Karena garis $2x+y=5\to y=-2x+5$ juga menyinggung lingkaran $(x-3{)}^2+(y-a{)}^2=5$ maka $D=0$

$\begin{array}{rl}(x-3{)}^2+(y-a{)}^2& =5\\ x^2-6x+9+y^2-2ay+a^2& =5\\ x^2+y^2-6x-2ay+a^2+4& =0\\ x^2+(-2x+5{)}^2-6x-2a(-2x+5)+a^2+4& =0\\ x^2+4x^2-20x+25-6x+4ax-10a+a^2+4& =0\\ 5x^2-26x+4ax+a^2-10a+29& =0\\ 5x^2+(-26+4a)x+a^2-10a+29& =0\end{array}$

$\begin{array}{rl}D& =b^2-4ac\\ 0& =(-26+4a{)}^2-4.5.(a^2-10a+29)\\ 0& =676-208a+16a^2-20a^2+200a-580\\ 4a^2+8a-96& =0(dibagi4)\\ a^2+2a-24& =0\\ (a+6)(a-4)& =0\\ a=-6\text{ atau }a& =4\end{array}$

Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=-6$ dan $a=4$

Contoh soal 5

Jika lingkaran $L:x^2+y^2+ax=21$ melalui titik $P(2,-3)$, persamaan garis singgung pada lingkaran di $P$ adalah ...

Jawab:

Karena lingkaran $L:x^2+y^2+ax=21$ melalui titik $P(2,-3)$ maka 

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+ax& =21\\ x^2+y^2+ax-21& =0\\ 2^2+(-3{)}^2+a.2-21& =0\\ 4+9+2a-21& =0\\ 2a-8& =0\\ a& =4\end{array}$

Jadi, diperoleh bentuk persamaan lingkaran $L:x^2+y^2+4x=21$

Persamaan garis singgung yang melalui titik $P(2,-3)$ pada lingkaran $L:x^2+y^2+4x=21$ adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}{x}_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}A(x_1+x)+\frac{1}{2}B(y_1+y)+C& =0\\ 2.x+(-3).y+\frac{1}{2}4(2+x)+\frac{1}{2}0.(-3+y)-21& =0\\ 2x-3y+2(2+x)+0-21& =0\\ 2x-3y+4+2x+0-21& =0\\ 4x-3y-17& =0\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $4x-3y-17=0$

Contoh soal 6

Tentukan nilai $p$ agar lingkaran $x^2+y^2+2py+q=0$ yang berjari-jari $\sqrt{2}$ menyinggung garis $y=x$

Jawab:

$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ \sqrt{2}& =\sqrt{\frac{1}{4}{0}^2+\frac{1}{4}(2p{)}^2-q}\\ 2& =\frac{1}{4}.4p^2-q\\ 2& =p^2-q\\ q& =p^2-2...(1)\end{array}$

Substitusi garis $y=x$ pada lingkaran $x^2+y^2+2py+q=0$ sehingga diperoleh

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+2py+q& =0\\ x^2+x^2+2px+q& =0\\ 2x^2+2px+q& =0\end{array}$

Karena garis $y=x$ menyinggung lingkaran $x^2+y^2+2py+q=0$ maka $D=0$

$\begin{array}{rl}D& =0\\ b^2-4ac& =0\\ (2p{)}^2-4.2.q& =0\\ 4p^2-8q& =0\\ 4p^2-8(p^2-2)& =0\text{ (substitusi nilai q dari pers(1))}\\ 4p^2-8p^2+16& =0\text{( dibagi 4)}\\ p^2-2p^2+4& =0\\ -p^2+4& =0\\ 4-p^2& =0\\ (2-p)(2+p)& =0\\ p=2\text{ atau }p& =-2\end{array}$

Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=2$ atau $p=-2$

Contoh soal 7

Garis $g$ adalah garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-10=0$ di titik $A(3,-1)$. Garis yang melalui $B(4,-1)$ dan tegak lurus garis $g$ mempunyai persamaan ...

Jawab:

Persamaan garis $g$ :

$\begin{array}{rl}{x}_1.x+y_1.y& =10\\ 3x-y& =10\\ 3x-y-10& =0\end{array}$

Persamaan garis yang dicari:

Garis $g:3x-y-10=0$ mempunyai gradien $m_1=3$

Garis singgung tegaklurus dengan garis $g:3x-y-10=0$ mempunyai gradien: $m_1.m_2=-1\to m_2=-\frac{1}{3}$

$\begin{array}{rl}y-y_1& =m(x-x_1)\\ y+1& =-\frac{1}{3}(x-4)\\ y& =-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}-1\\ y& =-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\end{array}$

Jadi, persamaan garisnya adalah $y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$

Contoh soal 8

Jika $a^2+b^2-r^2=0$, garis yang melalui titik $(a,b)$ dan menyinggung lingkaran $L:x^2+y^2=r^2$ mempunyai persamaan ...

Jawab:

Persamaan garis melalui titik $(a,b)$ dan menyinggung lingkaran $L:x^2+y^2=r^2$

$\begin{array}{rl}{x}_1.x+y_1.y& =r^2\\ ax+by& =r^2\\ ax+by-r^2& =0\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ax+by-r^2=0$

Contoh soal 9

Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2=16$ yang sejajar garis $3x-4y+5=0$ adalah ...

Jawab:

Garis $3x-4y+5=0$ mempunyai gradien $m_1=\frac{3}{4}$

Garis singgung sejajar dengan garis $3x-4y+5=0$ mempunyai gradien: $m_1=m_2=\frac{3}{4}$

Persamaan garis singgung:

$\begin{array}{rl}y& =mx\pm r\sqrt{m^2+1}\\ & =\frac{3}{4}x\pm 4\sqrt{(\frac{3}{4}{)}^2+1}\\ & =\frac{3}{4}x\pm 4\sqrt{(\frac{9}{16})+1}\\ & =\frac{3}{4}x\pm 4\sqrt{(\frac{25}{16})}\\ & =\frac{3}{4}x\pm 4.\frac{5}{4}\\ & =\frac{3}{4}x\pm 5\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2=16$ yang sejajar garis $3x-4y+5=0$ adalah $y=\frac{3}{4}x+5$ dan $y=\frac{3}{4}x-5$

Contoh soal 10

Persamaan garis singgung pada lingkaran $(x-2{)}^2+(y-4{)}^2=20$ dan tegak lurus garis $3x+6y-5=0$ adalah ...

Jawab:

Garis $3x+6y-5=0$ mempunyai gradien $m_1=-\frac{1}{2}$

Garis singgung tegaklurus dengan garis $3x+6y-5=0$ mempunyai gradien: $m_1.m_2=-1\to m_2=2$

Persamaan garis singgung:

$\begin{array}{rl}y-b& =m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}\\ y-4& =2(x-2)\pm 2\sqrt{(2{)}^2+1}\\ y-4& =2(x-2)\pm 2\sqrt{(4)+1}\\ y-4& =2x-2\pm 2\sqrt{5}\\ y& =2x+2\pm 2\sqrt{5}\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2=16$ yang sejajar garis $3x-4y+5=0$ adalah $y=2x+2+2\sqrt{5}$ dan $y=2x+2-2\sqrt{5}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan lingkaran. Semoga bermanfaat. 

Referensi

Sukino. 2016. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam. Jakarta: Penerbit Erlangga