Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

#2 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan garis singgung lingkaran

Berikut ini disajikan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan garis singgung lingkaran. Selamat belajar, sobat. Semoga bermanfaat.

Contoh soal 1
Persamaan garis singgung lingkaran x2+y2=50 di titik (5,5) adalah ...
Jawab:
Menentukan kedudukan titik terlebih dahulu.
Titik (5,5) terletak pada lingkaran sebab (5)2+(5)2=50

Menentukan persamaan garis singgung.
Diketahui x1=5 dan y1=5 sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut
x1.x+y1.y=r2x1.x+y1.y=505x+5y=50
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 5x+5y=50

Contoh soal 2
Persamaan garis singgung pada lingkaran (x2)2+(y+3)2=25 di titik (5,1) adalah ...
Jawab:
Titik (5,1) terletak pada lingkaran sebab (52)2+(1+3)2=25

Diketahui a=2, b=3, x1=5 dan y1=1 sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut
(x1a)(xa)+(y1b)(yb)=r2(x12)(x2)+(y1+3)(y+3)=25(52)(x2)+(1+3)(y+3)=253(x2)+4(y+3)=253x6+4y+12=253x+4y=19
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 3x+4y=19

Contoh soal 3
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2+y2+2x4y5=0 di titik (2,1) adalah ...
Jawab:
Titik (2,1) terletak pada lingkaran sebab 22+12+2.24.15=0

Diketahui A=2, B=4, x1=2 dan y1=1 sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut
x1.x+y1.y+12A(x1+x)+12B(y1+y)+C=02.x+1.y+12(2)(2+x)+12(4)(1+y)5=02x+y+(2+x)2(1+y)5=02x+y+2+x22y5=03xy5=0 
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 3xy5=0

Contoh soal 4
Garis singgung lingkaran L1:x2+y2=5 di titik (2,1) juga menyinggung lingkaran L2:(x3)2+(ya)2=5. Nilai a adalah ...
Jawab:
Menentukan persamaan garis singgung.
Diketahui x1=2 dan y1=1 sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut
x1.x+y1.y=r22.x+1.y=52x+y=5

Karena garis 2x+y=5y=2x+5 juga menyinggung lingkaran (x3)2+(ya)2=5 maka D=0
(x3)2+(ya)2=5x26x+9+y22ay+a2=5x2+y26x2ay+a2+4=0x2+(2x+5)26x2a(2x+5)+a2+4=0x2+4x220x+256x+4ax10a+a2+4=05x226x+4ax+a210a+29=05x2+(26+4a)x+a210a+29=0

D=b24ac0=(26+4a)24.5.(a210a+29)0=676208a+16a220a2+200a5804a2+8a96=0(dibagi4)a2+2a24=0(a+6)(a4)=0a=6 atau a=4
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a=6 dan a=4

Contoh soal 5
Jika lingkaran L:x2+y2+ax=21 melalui titik P(2,3), persamaan garis singgung pada lingkaran di P adalah ...
Jawab:
Karena lingkaran L:x2+y2+ax=21 melalui titik P(2,3) maka 
x2+y2+ax=21x2+y2+ax21=022+(3)2+a.221=04+9+2a21=02a8=0a=4
Jadi, diperoleh bentuk persamaan lingkaran L:x2+y2+4x=21

Persamaan garis singgung yang melalui titik P(2,3) pada lingkaran L:x2+y2+4x=21 adalah sebagai berikut
x1.x+y1.y+12A(x1+x)+12B(y1+y)+C=02.x+(3).y+124(2+x)+120.(3+y)21=02x3y+2(2+x)+021=02x3y+4+2x+021=04x3y17=0
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 4x3y17=0
Contoh soal 6
Tentukan nilai p agar lingkaran x2+y2+2py+q=0 yang berjari-jari 2 menyinggung garis y=x
Jawab:
r=14A2+14B2C2=1402+14(2p)2q2=14.4p2q2=p2qq=p22...(1)

Substitusi garis y=x pada lingkaran x2+y2+2py+q=0 sehingga diperoleh
x2+y2+2py+q=0x2+x2+2px+q=02x2+2px+q=0

Karena garis y=x menyinggung lingkaran x2+y2+2py+q=0 maka D=0
D=0b24ac=0(2p)24.2.q=04p28q=04p28(p22)=0 (substitusi nilai q dari pers(1))4p28p2+16=0( dibagi 4)p22p2+4=0p2+4=04p2=0(2p)(2+p)=0p=2 atau p=2
Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p=2 atau p=2

Contoh soal 7
Garis g adalah garis singgung pada lingkaran x2+y210=0 di titik A(3,1). Garis yang melalui B(4,1) dan tegak lurus garis g mempunyai persamaan ...
Jawab:
Persamaan garis g :
x1.x+y1.y=103xy=103xy10=0

Persamaan garis yang dicari:
Garis g:3xy10=0 mempunyai gradien m1=3
Garis singgung tegaklurus dengan garis g:3xy10=0 mempunyai gradien: m1.m2=1m2=13

yy1=m(xx1)y+1=13(x4)y=13x+431y=13x+13
Jadi, persamaan garisnya adalah y=13x+13

Contoh soal 8
Jika a2+b2r2=0, garis yang melalui titik (a,b) dan menyinggung lingkaran L:x2+y2=r2 mempunyai persamaan ...
Jawab:
Persamaan garis melalui titik (a,b) dan menyinggung lingkaran L:x2+y2=r2

x1.x+y1.y=r2ax+by=r2ax+byr2=0
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah ax+byr2=0

Contoh soal 9
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2+y2=16 yang sejajar garis 3x4y+5=0 adalah ...
Jawab:
Garis 3x4y+5=0 mempunyai gradien m1=34
Garis singgung sejajar dengan garis 3x4y+5=0 mempunyai gradien: m1=m2=34
Persamaan garis singgung:
y=mx±rm2+1=34x±4(34)2+1=34x±4(916)+1=34x±4(2516)=34x±4.54=34x±5
Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran x2+y2=16 yang sejajar garis 3x4y+5=0 adalah y=34x+5 dan y=34x5

Contoh soal 10
Persamaan garis singgung pada lingkaran (x2)2+(y4)2=20 dan tegak lurus garis 3x+6y5=0 adalah ...
Jawab:
Garis 3x+6y5=0 mempunyai gradien m1=12
Garis singgung tegaklurus dengan garis 3x+6y5=0 mempunyai gradien: m1.m2=1m2=2
Persamaan garis singgung:
yb=m(xa)±rm2+1y4=2(x2)±2(2)2+1y4=2(x2)±2(4)+1y4=2x2±25y=2x+2±25
Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran x2+y2=16 yang sejajar garis 3x4y+5=0 adalah y=2x+2+25 dan y=2x+225

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan lingkaran. Semoga bermanfaat. 

Referensi
Sukino. 2016. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam. Jakarta: Penerbit Erlangga
AD Blocker Detected

Please Support mathematic-inside.com with disable your browser AD-Block to continue reading or register this blog into whitelist.
Thank You