#2 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Berikut ini disajikan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan garis singgung lingkaran. Selamat belajar, sobat. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=50$ di titik $(-5,5)$ adalah ...
Jawab:
$\bullet$ Menentukan kedudukan titik terlebih dahulu.
Titik $(-5,5)$ terletak pada lingkaran sebab $(-5)^2+(5)^2=50$
$\bullet$ Menentukan persamaan garis singgung.
Diketahui $x_1=-5$ dan $y_1=5$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut
$\begin{aligned} x_1.x+y_1.y&=r^2\\ x_1.x+y_1.y&=50\\ -5x+5y&=50 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $-5x+5y=50$
Contoh soal 2
Persamaan garis singgung pada lingkaran $(x-2)^2+(y+3)^2=25$ di titik $(5,1)$ adalah ...
Jawab:
Titik $(5,1)$ terletak pada lingkaran sebab $(5-2)^2+(1+3)^2=25$
Diketahui $a=2,\ b=-3,\ x_1=5$ dan $y_1=1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut
$\begin{aligned} (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)&=r^2\\ (x_1-2)(x-2)+(y_1+3)(y+3)&=25\\ (5-2)(x-2)+(1+3)(y+3)&=25\\ 3(x-2)+4(y+3)&=25 \\ 3x-6+4y+12&=25\\ 3x+4y&= 19 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $3x+4y= 19$
Contoh soal 3
Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2+2x-4y-5=0$ di titik $(2,1)$ adalah ...
Jawab:
Titik $(2,1)$ terletak pada lingkaran sebab $2^2+1^2+2.2-4.1-5=0$
Diketahui $A=2,\ B=-4,\ x_1=2$ dan $y_1=1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut
$\begin{aligned} x_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}A(x_1+x)+\frac{1}{2}B(y_1+y)+C&=0\\ 2.x+1.y+\frac{1}{2}(2)(2+x)+\frac{1}{2}(-4)(1+y)-5&=0\\ 2x+y+(2+x)-2(1+y)-5&=0\\ 2x+y+2+x-2-2y-5&=0\\ 3x-y-5&=0\ \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $3x-y-5=0$
Contoh soal 4
Garis singgung lingkaran $L_1: x^2+y^2=5$ di titik $(2,1)$ juga menyinggung lingkaran $L_2: (x-3)^2+(y-a)^2=5$. Nilai $a$ adalah ...
Jawab:
$\bullet$ Menentukan persamaan garis singgung.
Diketahui $x_1=2$ dan $y_1=1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut
$\begin{aligned} x_1.x+y_1.y&=r^2\\ 2.x+1.y&=5\\ 2x+y&=5 \end{aligned}$
Karena garis $2x+y=5 \rightarrow y=-2x+5$ juga menyinggung lingkaran $(x-3)^2+(y-a)^2=5$ maka $D=0$
$\begin{aligned} (x-3)^2+(y-a)^2&=5\\ x^2-6x+9+y^2-2ay+a^2&=5\\ x^2+y^2-6x-2ay+a^2+4&=0\\ x^2+(-2x+5)^2-6x-2a(-2x+5)+a^2+4&=0\\ x^2+4x^2-20x+25-6x+4ax-10a+a^2+4&=0\\ 5x^2-26x+4ax+a^2-10a+29&=0\\5x^2+(-26+4a)x+a^2-10a+29&=0 \end{aligned}$
$\begin{aligned} D&=b^2-4ac\\0&=(-26+4a)^2-4.5.(a^2-10a+29)\\ 0&=676-208a+16a^2-20a^2+200a-580\\ 4a^2+8a-96&=0(dibagi 4)\\a^2+2a-24&=0\\(a+6)(a-4)&=0\\ a=-6 \text{ atau } a&=4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=-6$ dan $a=4$
Contoh soal 5
Jika lingkaran $L: x^2+y^2+ax=21$ melalui titik $P(2,-3)$, persamaan garis singgung pada lingkaran di $P$ adalah ...
Jawab:
Karena lingkaran $L: x^2+y^2+ax=21$ melalui titik $P(2,-3)$ maka
$\begin{aligned} x^2+y^2+ax&=21\\ x^2+y^2+ax-21&=0\\ 2^2+(-3)^2+a.2-21&=0\\4+9+2a-21&=0\\2a-8&=0\\a&=4 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh bentuk persamaan lingkaran $L: x^2+y^2+4x=21$
Persamaan garis singgung yang melalui titik $P(2,-3)$ pada lingkaran $L: x^2+y^2+4x=21$ adalah sebagai berikut
$\begin{aligned} x_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}A(x_1+x)+\frac{1}{2}B(y_1+y)+C&=0\\ 2.x+(-3).y+\frac{1}{2}4(2+x)+\frac{1}{2}0.(-3+y)-21&=0\\ 2x-3y+2(2+x)+0-21&=0\\ 2x-3y+4+2x+0-21&=0\\ 4x-3y-17&=0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $4x-3y-17=0$
Contoh soal 6
Tentukan nilai $p$ agar lingkaran $x^2+y^2+2py+q=0$ yang berjari-jari $\sqrt{2}$ menyinggung garis $y=x$
Jawab:
$\begin{aligned} r&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C}\\\sqrt{2} &=\sqrt{\frac{1}{4}0^{2}+\frac{1}{4}(2p)^{2} -q}\\ 2 &=\frac{1}{4}.4p^{2} -q\\ 2 &=p^{2} -q\\q&= p^{2}-2 ...(1) \end{aligned}$
Substitusi garis $y=x$ pada lingkaran $x^2+y^2+2py+q=0$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x^2+y^2+2py+q&=0\\ x^2+x^2+2px+q&=0\\ 2x^2+2px+q&=0 \end{aligned}$
Karena garis $y=x$ menyinggung lingkaran $x^2+y^2+2py+q=0$ maka $D=0$
$\begin{aligned}D&=0\\ b^2-4ac&=0\\(2p)^2-4.2.q&=0\\4p^2-8q&=0 \\4p^2-8(p^{2}-2)&=0 \text{ (substitusi nilai q dari pers(1))}\\ 4p^2-8p^{2}+16&=0 \text{( dibagi 4)}\\ p^2-2p^{2}+4&=0\\ -p^{2}+4&=0\\ 4-p^2&=0\\(2-p)(2+p)&=0\\p=2 \text{ atau } p&=-2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p=2$ atau $p=-2$
Contoh soal 7
Garis $g$ adalah garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-10=0$ di titik $A(3,-1)$. Garis yang melalui $B(4,-1)$ dan tegak lurus garis $g$ mempunyai persamaan ...
Jawab:
Persamaan garis $g$ :
$\begin{aligned} x_1.x+y_1.y&=10\\ 3x-y&=10\\3x-y-10&=0 \end{aligned}$
Persamaan garis yang dicari:
Garis $g:3x-y-10=0$ mempunyai gradien $m_1=3$
Garis singgung tegaklurus dengan garis $g:3x-y-10=0$ mempunyai gradien: $m_1.m_2=-1 \rightarrow m_2=-\frac{1}{3}$
$\begin{aligned} y-y_1&= m(x-x_1)\\ y+1&=-\frac{1}{3} (x-4)\\ y&=-\frac{1}{3} x+\frac{4}{3}-1 \\y&=-\frac{1}{3} x+\frac{1}{3} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garisnya adalah $y=-\frac{1}{3} x+\frac{1}{3}$
Contoh soal 8
Jika $a^2+b^2-r^2=0$, garis yang melalui titik $(a,b)$ dan menyinggung lingkaran $L: x^2 + y^2 =r^2$ mempunyai persamaan ...
Jawab:
Persamaan garis melalui titik $(a,b)$ dan menyinggung lingkaran $L: x^2 + y^2 =r^2$
$\begin{aligned} x_1.x+y_1.y&=r^2\\ax+by&=r^2\\ax+by-r^2&=0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ax+by-r^2=0$
Contoh soal 9
Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2 + y^2 =16$ yang sejajar garis $3x -4y+5=0$ adalah ...
Jawab:
Garis $3x -4y+5=0$ mempunyai gradien $m_1=\frac{3}{4}$
Garis singgung sejajar dengan garis $3x -4y+5=0$ mempunyai gradien: $m_1=m_2=\frac{3}{4}$
Persamaan garis singgung:
$\begin{aligned} y&= mx \pm r\sqrt{m^2+1}\\&= \frac{3}{4}x \pm 4 \sqrt{(\frac{3}{4})^2+1} \\ &= \frac{3}{4}x \pm 4 \sqrt{(\frac{9}{16})+1}\\ &=\frac{3}{4}x \pm 4 \sqrt{(\frac{25}{16})}\\ &=\frac{3}{4}x \pm 4 .\frac{5}{4}\\&=\frac{3}{4}x \pm 5 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2 + y^2 =16$ yang sejajar garis $3x -4y+5=0$ adalah $y=\frac{3}{4}x + 5$ dan $y=\frac{3}{4}x - 5$
Contoh soal 10
Persamaan garis singgung pada lingkaran $(x-2)^2+(y-4)^2=20$ dan tegak lurus garis $3x +6y-5=0$ adalah ...
Jawab:
Garis $3x +6y-5=0$ mempunyai gradien $m_1=-\frac{1}{2}$
Garis singgung tegaklurus dengan garis $3x +6y-5=0$ mempunyai gradien: $m_1.m_2=-1 \rightarrow m_2=2$
Persamaan garis singgung:
$\begin{aligned} y-b&= m(x-a) \pm r\sqrt{m^2+1}\\y-4&= 2(x-2) \pm 2 \sqrt{(2)^2+1} \\ y-4&= 2(x-2) \pm 2 \sqrt{(4)+1}\\ y-4&=2x-2 \pm 2 \sqrt{5}\\ y&=2x+2 \pm 2 \sqrt{5} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2 + y^2 =16$ yang sejajar garis $3x -4y+5=0$ adalah $y=2x+2 + 2 \sqrt{5}$ dan $y=2x+2 - 2 \sqrt{5}$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan lingkaran. Semoga bermanfaat.
Referensi
Sukino. 2016. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam. Jakarta: Penerbit Erlangga