Contoh Soal Lingkaran beserta Pembahasannya #2
Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan beberapa contoh soal dan pembahasan materi lingkaran (kelas 11 SMA) yang diantaranya meliputi sub pokok bahasan persamaan lingkaran, persamaan garis singgung lingkaran, dan kedudukan titik terhadap lingkaran. Cuss, langsung saja sob. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Persamaan garis singgung pada lingkaran $L:(x-2)^2+(y+3)^2=8$ di titik $(4,-1)$ adalah ...
Jawab:
Titik $(4,-1)$ terletak pada lingkaran sebab $(4-2)^2+(-1+3)^2=8$
Diketahui $a=2,\ b=-3,\ x_1=4$ dan $y_1=-1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut
$\begin{aligned} (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)&=r^2\\ (x_1-2)(x-2)+(y_1+3)(y+3)&=8\\ (4-2)(x-2)+(-1+3)(y+3)&=8\\ 2(x-2)+2(y+3)&=8 \\ 2x-4+2y+6&=8\\ 2x+2y&= 6\\x+y&= 3 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $x+y= 3$
Contoh soal 2
Persamaan garis lurus yang melalui titik pusat lingkaran $x^2+y^2-2x+4y+2=0$ dan tegak lurus dengan garis $2x-y+3=0$ adalah ...
Jawab:
$\bullet$ Menentukan titik pusat lingkaran
Dari persamaan lingkaran $x^2+y^2-2x+4y+2=0$, diketahui $A=-2$, $B=4$, dan $C=2$
Sehingga diperoleh
$ \text{Pusat lingkaran :}\ P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(1,-2)$
$\bullet$ Menentukan gradien garis yang dicari
Gradien garis $2x-y+3=0$ adalah $m_1=2$.
Misalkan gradien garis yang dicari adalah $m_2$, maka didapat
$\begin{aligned} m_1 \times m_2 &= -1 \text{ (karena saling tegak lurus)} \\ 2 \times m_2 &= -1\\ m_2&=-\frac{1}{2} \end{aligned}$
$\bullet$ Menentukan persamaan garis yang dicari
Persamaan garis yang dimaksud adalah persamaan garis yang melalui titik $(1,-2)$ dengan gradien $m_2=-\frac{1}{2}$
$\begin{aligned} y-y_1&=m(x-x_1)\\ y+2&=-\frac{1}{2}(x-1)\\ y&=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}-2\\ y&=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2} \text{(dikalikan }2)\\ 2y&=-x-3\\ x+2y&=-3 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah $ x+2y=-3 $
Contoh soal 3
Persamaan garis singgung pada lingkaran yang berpusat di $(0,0)$ dengan jari-jari $6$ serta sejajar garis $3x+y-6=0$ adalah ...
Jawab:
Mencari persamaan lingkaran
$\begin{aligned} x^2+y^2&=r^2\\ x^2+y^2&=6^2\\ x^2+y^2&=36 \end{aligned}$
Mencari gradien garis
Garis $3x+y-6=0$ memiliki gradien $m_1=-3$
Karena garis singgung sejajar garis $3x+y-6=0$ maka gradiennya $m_1=m_2=-3$
Mencari persamaan garis singgung
$\begin{aligned} y&=mx \pm r \sqrt{m^2+1}\\ y&=-3x \pm 6 \sqrt{(-3)^2+1}\\ y&=-3x \pm 6 \sqrt{10} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y=-3x \pm 6 \sqrt{10}$
Contoh soal 4
Jika titik $(-5,k)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2+2x-5y-21=0$ maka nilai $k$ adalah ...
Jawab:
Karena titik $(-5,k)$ terletak pada lingkaran maka
$\begin{aligned} x^2+y^2+2x-5y-21&=0\\(-5)^2+k^2+2(-5)-5k-21&=0\\ k^2-5k-6&=0\\ (k-6)(k+1)&=0\\ k=6 \vee k&=-1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $ k=6$ atau $k=-1$
Contoh soal 5
Persamaan lingkaran dengan pusat $P(2,-1)$ dan menyinggung garis $3x+4y-12=0$ adalah ...
Jawab:
Rumus jarak dari titik $P(x_1,y_1)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah
$\begin{align} d = \left| \frac{a.x_1 + b.y_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right| \end{align}$
Jarak dari pusat $P(2,-1)$ ke garis $3x+4y-12=0$ adalah jari-jari lingkaran, yaitu
$\begin{align} r &= \left| \frac{3.(2) + 4.(-1) + (-12)}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| \\ &= \left| \frac{-10}{5} \right| \\ &= 2 \end{align}$
Sehingga diperoleh persamaan lingkaran
$\begin{aligned} (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\ (x-2)^{2}+(y-(-1))^{2} &= (2)^{2} \\ (x-2)^{2}+(y+1)^{2} &= 4 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{(x-2)^{2}+(y+1)^{2} = 4}$
Contoh soal 6
Persamaan garis singgung lingkaran $(x-2)^2+(y+1)^2=13$ di titik yang berabsis $5$ adalah ...
Jawab:
Mencari titik singgung lingkaran
$\begin{aligned} (x-2)^2+(y+1)^2&=13\\ (5-2)^2+(y+1)^2&=13\\ 9+y^2+2y+1&=13\\ y^2+2y-3&=0\\ (y+3)(y-1)&=0\\ y=-3 \vee y=1 \end{aligned}$
Jadi, titik singgungnya adalah $(5,-3)$ dan $(5,1)$
Mencari persamaan garis singgung lingkaran
$\bullet$ Untuk titik $(5,-3)$
$\begin{aligned} (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)&=r^2\\ (5-2)(x-2)+(-3+1)(y+1)&=13\\ 3(x-2)-2(y+1)&=13\\ 3x-6-2y-2&=13\\ 3x-2y-21&= 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $3x-2y-21= 0$
$\bullet$ Untuk titik $(5,1)$
$\begin{aligned} (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)&=r^2\\ (5-2)(x-2)+(1+1)(y+1)&=13\\ 3(x-2)+2(y+1)&=13\\ 3x-6+2y+2&=13\\ 3x+2y-17&= 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $3x+2y-17= 0$
Contoh soal 7
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-2x-6y-7=0$ di titik yang berabsis $-3$ adalah ...
Jawab:
Mencari titik singgung lingkaran
$\begin{aligned} (-3)^2+y^2-2.(-3)-6y-7&=0\\ 9+y^2+6-6y-7&=0\\ y^2-6y+8&=0\\ (y-4)(y-2)&=0\\ y=4 \vee y&=2 \end{aligned}$
Sehingga titik singgungnya adalah $(-3,4)$ dan $(-3,2)$
Mencari persamaan garis singgung lingkaran
$\bullet$ Untuk titik $(-3,4)$
$\begin{aligned} x_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}A(x_1+x)+\frac{1}{2}B(y_1+y)+C&=0\\ -3x+4y+\frac{1}{2}(-2)(-3+x)+\frac{1}{2}(-6)(4+y)-7&=0\\ -3x+4y-(-3+x)-3(4+y)-7&=0\\ -3x+4y+3-x-12-3y-7&=0\\ -4x+y-16&=0\\ 4x-y+16&=0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $4x-y+16=0$
$\bullet$ Untuk titik $(-3,2)$
$\begin{aligned} x_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}A(x_1+x)+\frac{1}{2}B(y_1+y)+C&=0\\ -3x+2y+\frac{1}{2}(-2)(-3+x)+\frac{1}{2}(-6)(2+y)-7&=0\\ -3x+2y-(-3+x)-3(2+y)-7&=0\\ -3x+2y+3-x-6-3y-7&=0\\ -4x-y-10&=0\\ 4x+y+10=0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $4x+y+10=0$
Contoh soal 8
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $4x+y-10=0$, serta menyinggung sumbu $x$ positif dan sumbu $y$ positif adalah ...
Jawab:
Misalkan titik pusat lingkarannya $(a,b)$
Dari soal diketahui pusatnya terletak pada garis $4x+y-10=0$ sehingga didapat
$\begin{aligned} 4x+y-10&=0\\ 4a+b-10&=0\\ 4a+b&=10....(1) \end{aligned}$
Selain itu, diketahui bahwa lingkaran menyinggung sumbu $x$ positif dan sumbu $y$ positif sehingga didapat
$\begin{aligned} a&=b\\ a-b&=0...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai a dan b
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} & 4a+b=10\\ & a-b=0 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 4 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4a + b & = 10 \\~4a - 4b & = 0 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & \! \begin{aligned} \color{black}{5b = 10} \end{aligned} \\ & \! \begin{aligned} \color{black}{b = 2} \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi nilai $b=2$ ke pers $(2)$
$\begin{aligned} a-b&=0 \\ a-2&=0\\a&=2 \end{aligned}$
Sehingga diperoleh pusat lingkarannya adalah $(2,2)$ dan jari-jarinya adalah $2$ (karena lingkaran menyinggung sumbu $x$ positif dan sumbu $y$ positif)
Mencari persamaan lingkaran
$\begin{aligned} (x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\\ (x-2)^2+(y-2)^2&=2^2\\ (x-2)^2+(y-2)^2&=4 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $(x-2)^2+(y-2)^2=4$
Contoh soal 9
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(1,4)$ dan menyinggung garis $3x-4y-2=0$ adalah ...
Jawab:
Rumus jarak dari titik $P(x_1,y_1)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah
$\begin{align} d = \left| \frac{a.x_1 + b.y_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right| \end{align}$
Jarak dari pusat $P(1,4)$ ke garis $3x-4y-2=0$ adalah jari-jari lingkaran, yaitu
$\begin{align} r &= \left| \frac{3.(1) - 4.(4) + (-2)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| \\ &= \left| \frac{-15}{5} \right| \\ &= 3 \end{align}$
Sehingga diperoleh persamaan lingkaran
$\begin{aligned} (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\ (x-1)^{2}+(y-4)^{2} &= (3)^{2} \\ (x-1)^{2}+(y-4)^{2} &= 9 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{(x-1)^{2}+(y-4)^{2} = 9}$
Contoh soal 10
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-4x+2y-20=0$ di titik $P(5,3)$ adalah ...
Jawab:
Titik $(5,3)$ terletak pada lingkaran sebab $5^2+3^2-4.5+2.3-20=0$
Dari persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x+2y-20=0$, dapat diketahui $A=-4,\ B=2,\ x_1=5$ dan $y_1=3$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut
$\begin{aligned} x_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}A(x_1+x)+\frac{1}{2}B(y_1+y)+C&=0\\ x_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}(-4)(x_1+x)+\frac{1}{2}(2)(y_1+y)-20&=0\\ 5x+3y-2(5+x)+(3+y)-20&=0\\ 5x+3y-10-2x+3+y-20&=0\\ 3x+4y-27&=0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $3x+4y-27=0 $
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi lingkaran (kelas 11 SMA). Semoga bermanfaat.
Referensi
Suyatno. 2010. Jujitsu (Jurus Jitu Taklukkan Soal Ujian) Matematika SMA. Jakarta: Media Pusindo.
