Contoh Soal Induksi Matematika SMA/MA beserta Pembahasannya

Definisi
Induksi matematika merupakan sebuah metode untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli .
Langkah Induksi Matematika
Misalkan adalah suatu pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya untuk setiap bilangan asli . Langkah-langkah pembuktiannya dengan induksi matematika adalah sebagai berikut.
Berikut ini beberapa contoh soal induksi matematika dan pembahasannya.
Contoh soal 1
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli berlaku
Jawab:
Diketahui
Akan dibuktikan benar.
Misalkan benar, maka :
Akan dibuktikan juga benar.
Jadi, berlaku untuk setiap bilangan asli.
Contoh soal 2
Buktikanlah dengan induksi matematika untuk setiap bilangan asli berlaku
Jawab:
Diketahui
Akan dibuktikan benar.
Misalkan benar, maka :
Akan dibuktikan juga benar.
Jadi, berlaku untuk setiap bilangan asli.
Contoh soal 3
Buktikanlah dengan induksi matematika untuk setiap bilangan asli berlaku habis dibagi
Jawab:
Misal terdapat pernyataan habis dibagi adalah benar, sebab terdapat bilangan bulat m=6 sehingga atau bisa dituliskan , untuk bilangan bulat. Sehingga soal induksi matematika diatas dapat ditulis sebagai berikut.
Diketahui ,
Akan dibuktikan benar.
Misalkan benar, maka :
Akan dibuktikan juga benar.
Note :
Hasil merupakan suatu bilangan bulat. Karena maka dapat dituliskan .
Sehingga
Maka terbukti benar.
Jadi, berlaku untuk setiap bilangan asli.
Contoh soal 4
Buktikanlah dengan induksi matematika untuk setiap bilangan asli berlaku habis dibagi
Jawab:
Diketahui ,
Akan dibuktikan benar.
Misalkan benar, maka :
Akan dibuktikan juga benar.
Jadi, berlaku untuk setiap bilangan asli.
Contoh soal 5
Buktikanlah dengan induksi matematika untuk setiap bilangan asli berlaku
Jawab:
Diketahui ,
Akan dibuktikan benar.
Misalkan benar, maka :
Akan dibuktikan juga benar.
Jadi, berlaku untuk setiap bilangan asli .
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi induksi matematika. Semoga bermanfaat.
Referensi
E. S., Pesta dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2015. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XII. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.