Contoh Soal Induksi Matematika SMA/MA beserta Pembahasannya

Definisi

Induksi matematika merupakan sebuah metode untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli $n$.

Langkah Induksi Matematika

Misalkan $P(n)$ adalah suatu pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya untuk setiap bilangan asli $n$. Langkah-langkah pembuktiannya dengan induksi matematika adalah sebagai berikut.

$1$. Buktikan bahwa $P(1)$ benar untuk $n=1$ 

$2$. Misalkan $P(k)$ benar untuk $n=k$ maka untuk  $n=k+1$ yaitu $P(k+1)$ juga benar sehingga dapat disimpulkan bahwa $P(n)$ berlaku untuk setiap $n$ bilangan asli.

Berikut ini beberapa contoh soal induksi matematika dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$ berlaku $1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$

Jawab:

Diketahui $P(n)\equiv 1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$

Akan dibuktikan $P(1)$ benar.

$\begin{array}{rl}P(1)\equiv 1^3& =\frac{1^2(1+1{)}^2}{4}\\ 1& =1(\text{benar})\end{array}$

Misalkan $P(k)$ benar, maka :

$P(k)\equiv 1^3+2^3+...+k^3=\frac{k^2(k+1{)}^2}{4}$

Akan dibuktikan $P(k+1)$ juga benar.

$\begin{array}{rl}P(k+1)\equiv 1^3+2^3+...+k^3+(k+1{)}^3& =\frac{(k+1{)}^2((k+1)+1{)}^2}{4}\\ \\ \underset{\frac{k^2(k+1{)}^2}{4}}{\underbrace{1^3+2^3+...+k^3}}+(k+1{)}^3& =\frac{(k+1{)}^2(k+2{)}^2}{4}\\ \\ \frac{k^2(k+1{)}^2}{4}+(k+1{)}^3& =\frac{(k+1{)}^2(k+2{)}^2}{4}\\ \\ \frac{k^2(k+1{)}^2+4(k+1{)}^3}{4}& =\frac{(k+1{)}^2(k+2{)}^2}{4}\\ \\ \frac{(k+1{)}^2(k^2+4(k+1))}{4}& =\frac{(k+1{)}^2(k+2{)}^2}{4}\\ \\ \frac{(k+1{)}^2(k^2+4k+4)}{4}& =\frac{(k+1{)}^2(k+2{)}^2}{4}\\ \\ \frac{(k+1{)}^2(k+2{)}^2}{4}& =\frac{(k+1{)}^2(k+2{)}^2}{4}(\text{benar})\end{array}$

Jadi, $P(n)$ berlaku untuk setiap $n$ bilangan asli.

Contoh soal 2

Buktikanlah dengan induksi matematika untuk setiap $n$ bilangan asli berlaku $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$ 

Jawab:

Diketahui $P(n)\equiv \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$

Akan dibuktikan $P(1)$ benar.

$\begin{array}{rl}P(1)\equiv \frac{1}{1(1+1)}& =\frac{1}{1+1}\\ \\ \frac{1}{2}& =\frac{1}{2}(\text{benar})\end{array}$

Misalkan $P(k)$ benar, maka :

$P(k)\equiv \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}$

Akan dibuktikan $P(k+1)$ juga benar.

$\begin{array}{rl}P(k+1)\equiv \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)((k+1)+1)}& =\frac{k+1}{(k+1)+1}\\ \\ \underset{\frac{k}{k+1}}{\underbrace{\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{k(k+1)}}}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}& =\frac{k+1}{k+2}\\ \\ \frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}& =\frac{k+1}{k+2}\\ \\ \frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}& =\frac{k+1}{k+2}\\ \\ \frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}& =\frac{k+1}{k+2}\\ \\ \frac{\cancel{(k+1)}(k+1)}{\cancel{(k+1)}(k+2)}& =\frac{k+1}{k+2}\\ \\ \frac{k+1}{k+2}& =\frac{k+1}{k+2}(\text{benar})\end{array}$

Jadi, $P(n)$ berlaku untuk setiap $n$ bilangan asli.

Contoh soal 3

Buktikanlah dengan induksi matematika untuk setiap $n$ bilangan asli berlaku $5^{2n}-1$ habis dibagi $8$

Jawab:

Misal terdapat pernyataan $18$ habis dibagi $3$ adalah benar, sebab terdapat bilangan bulat m=6 sehingga $18=3.6$ atau bisa dituliskan $18=3m$, untuk $m$ bilangan bulat. Sehingga soal induksi matematika diatas dapat ditulis sebagai berikut.

Diketahui $P(n)\equiv$ $5^{2n}-1=8m$, $m\in \text{bilangan}\text{bulat}$

Akan dibuktikan $P(1)$ benar.

$P(1)\equiv$ $5^{2.1}-1=24=8.3(\text{benar})$

Misalkan $P(k)$ benar, maka :

$P(k)\equiv$ $5^{2k}-1=8m$, $m\in \text{bilangan}\text{bulat}$

Akan dibuktikan $P(k+1)$ juga benar.

$P(k+1)\equiv$ $5^{2(k+1)}-1=8q$, $q\in \text{bilangan}\text{bulat}$

$\begin{array}{rl}{5}^{2(k+1)}-1& =5^{2k+2}-1\\ & =5^{2k}{.5}^2-25+25-1\\ & =25(5^{2k}-1)+24\\ & =25(8m)+(8.3)\\ & =8(25m+3)(\text{benar})\end{array}$

Note : 

Hasil $25m+3$ merupakan suatu bilangan bulat. Karena $q\in \text{bilangan}\text{bulat}$ maka dapat dituliskan $q=25m+3$. 

Sehingga

$5^{2(k+1)}-1=8q$, $q\in \text{bilangan}\text{bulat}$

Maka $P(k+1)$ terbukti benar.

Jadi, $P(n)$ berlaku untuk setiap $n$ bilangan asli.

Contoh soal 4

Buktikanlah dengan induksi matematika untuk setiap $n$ bilangan asli berlaku $5^n-4n-1$ habis dibagi $16$

Jawab:

Diketahui $P(n)\equiv$ $5^n-4n-1=16m$, $m\in \text{bilangan}\text{bulat}$

Akan dibuktikan $P(1)$ benar.

$P(1)\equiv$ $5^1-4(1)-1=0=16.0(\text{benar})$

Misalkan $P(k)$ benar, maka :

$P(k)\equiv$ $5^k-4k-1=16m$, $m\in \text{bilangan}\text{bulat}$

Akan dibuktikan $P(k+1)$ juga benar.

$P(k+1)\equiv$ $5^{k+1}-4(k+1)-1=16q$, $q\in \text{bilangan}\text{bulat}$

$\begin{array}{rl}{5}^{k+1}-4(k+1)-1& =5^k.5-4k-4-1\\ & =5^k.5-4k-16k+16k-5\\ & =5^k.5-20k-5+16k\\ & =5(5^k-4k-1)+16k\\ & =5(16m)+16k\\ & =16(5m+k)(\text{benar})\end{array}$

Jadi, $P(n)$ berlaku untuk setiap $n$ bilangan asli.

Contoh soal 5

Buktikanlah dengan induksi matematika untuk setiap bilangan asli $n\ge 5$  berlaku $2n-3\le 2^{n-2}$

Jawab:

Diketahui $P(n)\equiv 2n-3\le 2^{n-2}$, $n\ge 5$

Akan dibuktikan $P(5)$ benar.

$\begin{array}{rl}P(5)\equiv 2(5)-3& \le 2^{5-2}\\ \\ 7& \le 8(\text{benar})\end{array}$

Misalkan $P(k)$ benar, maka :

$P(k)\equiv 2k-3\le 2^{k-2}$, $k\ge 5$

Akan dibuktikan $P(k+1)$ juga benar.

$\begin{array}{r}P(k+1)\equiv 2(k+1)-3\le 2^{(k+1)-2}\end{array}$

$\begin{array}{rl}2(k+1)-3& =2k+2-3\\ 2(k+1)-3& =2k-3+2\\ 2(k+1)-3& \le 2^{k-2}+2(\text{sebab}2k-3\le 2^{k-2})\\ 2(k+1)-3& \le 2^{k-2}+2^{k-2}(\text{sebab}2\le 2k-3\le 2^{k-2})\\ 2(k+1)-3& \le 2(2^{k-2})\\ 2(k+1)-3& \le 2^{(k+1)-2}\end{array}$

$P(k+1)$ terbukti benar.

Jadi, $P(n)$ berlaku untuk setiap bilangan asli $n\ge 5$.

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi induksi matematika. Semoga bermanfaat. 

Referensi

E. S., Pesta  dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. 

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2015. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XII. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.