Contoh Soal Induksi Matematika SMA/MA beserta Pembahasannya
Definisi
Induksi matematika merupakan sebuah metode untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli $n$.
Langkah Induksi Matematika
Misalkan $P(n)$ adalah suatu pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya untuk setiap bilangan asli $n$. Langkah-langkah pembuktiannya dengan induksi matematika adalah sebagai berikut.
$1$. Buktikan bahwa $P(1)$ benar untuk $n=1$
$2$. Misalkan $P(k)$ benar untuk $n=k$ maka untuk $n=k+1$ yaitu $P(k+1)$ juga benar sehingga dapat disimpulkan bahwa $P(n)$ berlaku untuk setiap $n$ bilangan asli.
Berikut ini beberapa contoh soal induksi matematika dan pembahasannya.
Contoh soal 1
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$ berlaku $1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$
Jawab:
Diketahui $P(n)\equiv 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$
Akan dibuktikan $P(1)$ benar.
$\begin{aligned} P(1) \equiv 1^{3} &= \frac{1^{2}(1+1)^{2}}{4} \\ 1&= 1 ~~~(\text{benar}) \end{aligned}$
Misalkan $P(k)$ benar, maka :
$P(k)\equiv 1^{3}+2^{3}+...+k^{3}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}$
Akan dibuktikan $P(k+1)$ juga benar.
$\begin{aligned} P\left ( k+1 \right ) \equiv 1^{3}+2^{3}+...+k^{3}+(k+1)^{3} &= \frac{(k+1)^{2}((k+1)+1)^{2}}{4} \\ \\ \underset{\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}}{\underbrace{1^{3}+2^{3}+...+k^{3}}}+ (k+1)^{3} &= \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4} \\ \\ \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3} &= \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4} \\ \\ \frac{k^{2}(k+1)^{2}+4(k+1)^{3}}{4} &= \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4} \\ \\ \frac{(k+1)^{2}(k^{2}+4(k+1))}{4} &= \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4} \\ \\ \frac{(k+1)^{2}(k^{2}+4k+4)}{4} &= \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4} \\ \\ \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4} &= \frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4} ~~(\text{benar}) \end{aligned}$
Jadi, $P(n)$ berlaku untuk setiap $n$ bilangan asli.
Contoh soal 2
Buktikanlah dengan induksi matematika untuk setiap $n$ bilangan asli berlaku $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$
Jawab:
Diketahui $P(n)\equiv \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$
Akan dibuktikan $P(1)$ benar.
$\begin{aligned} P(1) \equiv \frac{1}{1(1+1)} &= \frac{1}{1+1} \\ \\ \frac{1}{2}&= \frac{1}{2} ~~~(\text{benar}) \end{aligned}$
Misalkan $P(k)$ benar, maka :
$P(k)\equiv \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}$
Akan dibuktikan $P(k+1)$ juga benar.
$\begin{aligned} P\left ( k+1 \right ) \equiv \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)((k+1)+1)} &= \frac{k+1}{(k+1)+1} \\ \\ \underset{\frac{k}{k+1}} {\underbrace{\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{k(k+1)}}}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}&= \frac{k+1}{k+2} \\ \\ \frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} &= \frac{k+1}{k+2} \\ \\ \frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)} &= \frac{k+1}{k+2} \\ \\ \frac{k^{2}+2k+1}{(k+1)(k+2)} &= \frac{k+1}{k+2} \\ \\ \frac{\cancel{(k+1)}(k+1)}{\cancel{(k+1)}(k+2)} &= \frac{k+1}{k+2} \\ \\ \frac{k+1}{k+2} &= \frac{k+1}{k+2}~~~(\text{benar}) \end{aligned}$
Jadi, $P(n)$ berlaku untuk setiap $n$ bilangan asli.
Contoh soal 3
Buktikanlah dengan induksi matematika untuk setiap $n$ bilangan asli berlaku $5^{2n}-1$ habis dibagi $8$
Jawab:
Misal terdapat pernyataan $18$ habis dibagi $3$ adalah benar, sebab terdapat bilangan bulat m=6 sehingga $18=3.6$ atau bisa dituliskan $18=3m$, untuk $m$ bilangan bulat. Sehingga soal induksi matematika diatas dapat ditulis sebagai berikut.
Diketahui $P(n) \equiv $ $5^{2n}-1=8m$, $m \in~\text{bilangan}~\text{bulat}$
Akan dibuktikan $P(1)$ benar.
$P(1) \equiv $ $5^{2.1}-1=24=8.3~~~(\text{benar})$
Misalkan $P(k)$ benar, maka :
$P(k) \equiv $ $5^{2k}-1=8m$, $m \in~\text{bilangan}~\text{bulat}$
Akan dibuktikan $P(k+1)$ juga benar.
$P(k+1) \equiv $ $5^{2(k+1)}-1=8q$, $q \in~\text{bilangan}~\text{bulat}$
$\begin{aligned} 5^{2(k+1)}-1 &= 5^{2k+2}-1 \\ &= 5^{2k}.5^{2}-25+25-1 \\ &= 25(5^{2k}-1) + 24 \\ &= 25(8m) + (8.3) \\ &= 8(25m+3)~~~(\text{benar}) \end{aligned}$
Note :
Hasil $25m+3$ merupakan suatu bilangan bulat. Karena $q \in~\text{bilangan}~\text{bulat}$ maka dapat dituliskan $q=25m+3$.
Sehingga
$5^{2(k+1)}-1=8q$, $q \in~\text{bilangan}~\text{bulat}$
Maka $P(k+1)$ terbukti benar.
Jadi, $P(n)$ berlaku untuk setiap $n$ bilangan asli.
Contoh soal 4
Buktikanlah dengan induksi matematika untuk setiap $n$ bilangan asli berlaku $5^{n}-4n-1$ habis dibagi $16$
Jawab:
Diketahui $P(n) \equiv $ $5^{n}-4n-1=16m$, $m \in~\text{bilangan}~\text{bulat}$
Akan dibuktikan $P(1)$ benar.
$P(1) \equiv $ $5^{1}-4(1)-1=0=16.0~~~(\text{benar})$
Misalkan $P(k)$ benar, maka :
$P(k) \equiv $ $5^{k}-4k-1=16m$, $m \in~\text{bilangan}~\text{bulat}$
Akan dibuktikan $P(k+1)$ juga benar.
$P(k+1) \equiv $ $5^{k+1}-4(k+1)-1=16q$, $q \in~\text{bilangan}~\text{bulat}$
$\begin{aligned} 5^{k+1}-4(k+1)-1 &= 5^{k}.5-4k-4-1 \\ &= 5^{k}.5-4k-16k+16k-5 \\ &= 5^{k}.5-20k-5+16k \\ &= 5(5^{k}-4k-1) + 16k \\ &= 5(16m) + 16k \\ &= 16(5m+k)~~~(\text{benar}) \end{aligned}$
Jadi, $P(n)$ berlaku untuk setiap $n$ bilangan asli.
Contoh soal 5
Buktikanlah dengan induksi matematika untuk setiap bilangan asli $n \geq 5$ berlaku $2n-3 \leq 2^{n-2}$
Jawab:
Diketahui $P(n)\equiv 2n-3 \leq 2^{n-2}$, $n \geq 5$
Akan dibuktikan $P(5)$ benar.
$\begin{aligned} P(5) \equiv 2(5)-3 &\leq 2^{5-2} \\ \\ 7 &\leq 8 ~~~(\text{benar}) \end{aligned}$
Misalkan $P(k)$ benar, maka :
$P(k)\equiv 2k-3 \leq 2^{k-2}$, $k \geq 5$
Akan dibuktikan $P(k+1)$ juga benar.
$\begin{aligned} P\left ( k+1 \right ) \equiv 2(k+1)-3 \leq 2^{(k+1)-2}\\ \end{aligned}$
$\begin{aligned} 2(k+1)-3 &= 2k+2-3 \\ 2(k+1)-3 &= 2k-3+2 \\ 2(k+1)-3 & \leq 2^{k-2}+2 ~~~(\text{sebab}~~ 2k-3 \leq 2^{k-2} ) \\ 2(k+1)-3 & \leq 2^{k-2}+2^{k-2} ~~~(\text{sebab}~~ 2 \leq 2k-3 \leq 2^{k-2} ) \\ 2(k+1)-3 & \leq 2(2^{k-2}) \\ 2(k+1)-3 & \leq 2^{(k+1)-2} \end{aligned}$
$P(k+1)$ terbukti benar.
Jadi, $P(n)$ berlaku untuk setiap bilangan asli $n \geq 5$.
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi induksi matematika. Semoga bermanfaat.
Referensi
E. S., Pesta dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2015. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XII. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
