Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Contoh Soal Induksi Matematika SMA/MA beserta Pembahasannya

Contoh Soal Induksi Matematika SMA/MA beserta Pembahasannya

Definisi
Induksi matematika merupakan sebuah metode untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Langkah Induksi Matematika
Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya untuk setiap bilangan asli n. Langkah-langkah pembuktiannya dengan induksi matematika adalah sebagai berikut.

1. Buktikan bahwa P(1) benar untuk n=1 
2. Misalkan P(k) benar untuk n=k maka untuk  n=k+1 yaitu P(k+1) juga benar sehingga dapat disimpulkan bahwa P(n) berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Berikut ini beberapa contoh soal induksi matematika dan pembahasannya.
Contoh soal 1
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 13+23+...+n3=n2(n+1)24
Jawab:
Diketahui P(n)13+23+...+n3=n2(n+1)24

Akan dibuktikan P(1) benar.
P(1)13=12(1+1)241=1   (benar)

Misalkan P(k) benar, maka :
P(k)13+23+...+k3=k2(k+1)24

Akan dibuktikan P(k+1) juga benar.
P(k+1)13+23+...+k3+(k+1)3=(k+1)2((k+1)+1)2413+23+...+k3k2(k+1)24+(k+1)3=(k+1)2(k+2)24k2(k+1)24+(k+1)3=(k+1)2(k+2)24k2(k+1)2+4(k+1)34=(k+1)2(k+2)24(k+1)2(k2+4(k+1))4=(k+1)2(k+2)24(k+1)2(k2+4k+4)4=(k+1)2(k+2)24(k+1)2(k+2)24=(k+1)2(k+2)24  (benar)
Jadi, P(n) berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Contoh soal 2
Buktikanlah dengan induksi matematika untuk setiap n bilangan asli berlaku 11.2+12.3+13.4+...+1n(n+1)=nn+1 
Jawab:
Diketahui P(n)11.2+12.3+13.4+...+1n(n+1)=nn+1

Akan dibuktikan P(1) benar.
P(1)11(1+1)=11+112=12   (benar)

Misalkan P(k) benar, maka :
P(k)11.2+12.3+13.4+...+1k(k+1)=kk+1

Akan dibuktikan P(k+1) juga benar.
P(k+1)11.2+12.3+13.4+...+1k(k+1)+1(k+1)((k+1)+1)=k+1(k+1)+111.2+12.3+13.4+...+1k(k+1)kk+1+1(k+1)(k+2)=k+1k+2kk+1+1(k+1)(k+2)=k+1k+2k(k+2)+1(k+1)(k+2)=k+1k+2k2+2k+1(k+1)(k+2)=k+1k+2(k+1)(k+1)(k+1)(k+2)=k+1k+2k+1k+2=k+1k+2   (benar)
Jadi, P(n) berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Contoh soal 3
Buktikanlah dengan induksi matematika untuk setiap n bilangan asli berlaku 52n1 habis dibagi 8
Jawab:
Misal terdapat pernyataan 18 habis dibagi 3 adalah benar, sebab terdapat bilangan bulat m=6 sehingga 18=3.6 atau bisa dituliskan 18=3m, untuk m bilangan bulat. Sehingga soal induksi matematika diatas dapat ditulis sebagai berikut.

Diketahui P(n) 52n1=8m, m bilangan bulat

Akan dibuktikan P(1) benar.
P(1) 52.11=24=8.3   (benar)

Misalkan P(k) benar, maka :
P(k) 52k1=8m, m bilangan bulat

Akan dibuktikan P(k+1) juga benar.
P(k+1) 52(k+1)1=8q, q bilangan bulat

52(k+1)1=52k+21=52k.5225+251=25(52k1)+24=25(8m)+(8.3)=8(25m+3)   (benar)
Note : 
Hasil 25m+3 merupakan suatu bilangan bulat. Karena q bilangan bulat maka dapat dituliskan q=25m+3
Sehingga
52(k+1)1=8q, q bilangan bulat
Maka P(k+1) terbukti benar.

Jadi, P(n) berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Contoh soal 4
Buktikanlah dengan induksi matematika untuk setiap n bilangan asli berlaku 5n4n1 habis dibagi 16
Jawab:
Diketahui P(n) 5n4n1=16m, m bilangan bulat

Akan dibuktikan P(1) benar.
P(1) 514(1)1=0=16.0   (benar)

Misalkan P(k) benar, maka :
P(k) 5k4k1=16m, m bilangan bulat

Akan dibuktikan P(k+1) juga benar.
P(k+1) 5k+14(k+1)1=16q, q bilangan bulat

5k+14(k+1)1=5k.54k41=5k.54k16k+16k5=5k.520k5+16k=5(5k4k1)+16k=5(16m)+16k=16(5m+k)   (benar)
Jadi, P(n) berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Contoh soal 5
Buktikanlah dengan induksi matematika untuk setiap bilangan asli n5  berlaku 2n32n2
Jawab:
Diketahui P(n)2n32n2, n5

Akan dibuktikan P(5) benar.
P(5)2(5)325278   (benar)

Misalkan P(k) benar, maka :
P(k)2k32k2, k5

Akan dibuktikan P(k+1) juga benar.
P(k+1)2(k+1)32(k+1)2

2(k+1)3=2k+232(k+1)3=2k3+22(k+1)32k2+2   (sebab  2k32k2)2(k+1)32k2+2k2   (sebab  22k32k2)2(k+1)32(2k2)2(k+1)32(k+1)2
P(k+1) terbukti benar.

Jadi, P(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n5.

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi induksi matematika. Semoga bermanfaat. 

Referensi
E. S., Pesta  dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. 

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2015. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XII. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
AD Blocker Detected

Please Support mathematic-inside.com with disable your browser AD-Block to continue reading or register this blog into whitelist.
Thank You