Contoh Soal Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu beserta Pembahasannya

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

$\bullet$ Persamaan garis singgung lingkaran $L:x^2+y^2=r^2$ dengan gradien $m$ adalah

$\boxed{{\displaystyle y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}}}$

$\bullet$ Persamaan garis singgung lingkaran $L:(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ dengan gradien $m$ adalah

$\boxed{{\displaystyle y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}}}$

$\bullet$ Persamaan garis singgung lingkaran $L:x^2+y^2+Ax+By+C=0$ dengan gradien $m$ dapat ditentukan dengan cara mengubah dahulu ke bentuk $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ sehingga persamaan garis singgungnya yaitu

$\boxed{{\displaystyle y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}}}$

Berikut ini contoh soal persamaan garis singgung dengan gradien tertentu dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2=25$ dengan gradien $m=1$

Jawab:

Persamaaan lingkaran $x^2+y^2=25$ mempunyai jari-jari $r^2=25\to r=5$.

Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah

$\begin{array}{rl}y& =mx\pm r\sqrt{m^2+1}\\ y& =1.x\pm 5\sqrt{1^2+1}\\ y& =x\pm 5\sqrt{2}\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y=x+5\sqrt{2}$ dan $y=x-5\sqrt{2}$

Ilustrasi gambarnya sebagai berikut

Contoh soal 2

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $(x-3{)}^2+(y+20{)}^2=8$ dengan gradien $m=-1$

Jawab:

Persamaaan lingkaran $(x-3{)}^2+(y+20{)}^2=8$ mempunyai jari-jari $r^2=8\to r=2\sqrt{2}$.

Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah

$\begin{array}{rl}y-b& =m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}\\ y+20& =(-1)(x-3)\pm 2\sqrt{2}\sqrt{(-1{)}^2+1}\\ y+20& =-x+3\pm 4\\ y& =-x-17\pm 4\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y=-x-13$ dan $y=-x-21$

Ilustrasi gambarnya sebagai berikut

Contoh soal 3

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-10x+2y+17=0$ dengan gradien $m=2$ 

Jawab:

$\bullet$ Ubah persamaan lingkaran ke bentuk $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$

Dari persamaan lingkaran $x^2+y^2-10x+2y+17=0$. Diketahui $A=-10$, $B=2$, dan $C=17$

Sehingga diperoleh

$\text{Pusat lingkaran :}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(5,-1)$ 

$\begin{array}{rl}\text{Jari-jari lingkaran :}r& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.4-17}\\ & =\sqrt{9}\\ & =3\end{array}$

Jadi, bentuk persamaan lingkarannya sama dengan $(x-5{)}^2+(y+1{)}^2=9$

Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah

$\begin{array}{rl}y-b& =m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}\\ y+1& =2(x-5)\pm 3\sqrt{2^2+1}\\ y+1& =2x-10\pm 3\sqrt{5}\\ y& =2x-11\pm 3\sqrt{5}\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y=2x-11+3\sqrt{5}$ dan $y=2x-11-3\sqrt{5}$

Ilustrasi gambarnya sebagai berikut

Contoh soal 4

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $(x+1{)}^2+(y-3{)}^2=9$ dan sejajar garis $2x+y+4=0$

Jawab:

Persamaaan lingkaran $(x+1{)}^2+(y-3{)}^2=9$ mempunyai jari-jari $r^2=9\to r=3$.

$\begin{array}{rl}g:2x+y+4& =0\\ y& =-2x-4\to m_g=-2\end{array}$

Syarat sejajar : $m=m_g$ sehingga $m=-2$

Sehingga, persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah

$\begin{array}{rl}y-b& =m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}\\ y-3& =(-2)(x+1)\pm 3\sqrt{(-2{)}^2+1}\\ y-3& =-2x-2\pm 3\sqrt{5}\\ y& =-2x+1\pm 3\sqrt{5}\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y=-2x+1+3\sqrt{5}$ dan $y=-2x+1-3\sqrt{5}$

Ilustrasi gambarnya sebagai berikut

Contoh soal 5

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-2x+8y+1=0$ dan tegak lurus garis $2x+2y+5=0$

Jawab:

$\bullet$ Ubah persamaan lingkaran ke bentuk $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$

Dari persamaan lingkaran $x^2+y^2-2x+8y+1=0$. Diketahui $A=-2$, $B=8$, dan $C=1$

Sehingga diperoleh

$\text{Pusat lingkaran :}P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(1,-4)$ 

$\begin{array}{rl}\text{Jari-jari lingkaran :}r& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}.4+\frac{1}{4}.64-1}\\ & =\sqrt{16}\\ & =4\end{array}$

Jadi, bentuk persamaan lingkarannya sama dengan $(x-1{)}^2+(y+4{)}^2=16$

$\begin{array}{rl}g:2x+2y+5& =0\\ 2y& =-2x-5\\ y& =-x-\frac{5}{2}\to m_g=-1\end{array}$

Syarat tegak lurus : $m.m_g=-1$ sehingga $m=1$

Sehingga, persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah

$\begin{array}{rl}y-b& =m(x-a)\pm r\sqrt{m^2+1}\\ y+4& =(1)(x-1)\pm 4\sqrt{(-1{)}^2+1}\\ y+4& =x-1\pm 4\sqrt{2}\\ y& =x-5\pm 4\sqrt{2}\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y=x-5+4\sqrt{2}$ dan $y=x-5-4\sqrt{2}$

Ilustrasi gambarnya sebagai berikut

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan garis singgung dengan gradien tertentu. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.