Contoh Soal Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu beserta Pembahasannya
Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu
$\bullet$ Persamaan garis singgung lingkaran $L:x^2+y^2=r^2$ dengan gradien $m$ adalah
$\boxed{y= mx \pm r\sqrt{m^2+1}}$
$\bullet$ Persamaan garis singgung lingkaran $L:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ dengan gradien $m$ adalah
$\boxed{y-b= m(x-a) \pm r\sqrt{m^2+1}}$
$\bullet$ Persamaan garis singgung lingkaran $L:x^2+y^2+Ax+By+C=0$ dengan gradien $m$ dapat ditentukan dengan cara mengubah dahulu ke bentuk $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ sehingga persamaan garis singgungnya yaitu
$\boxed{y-b= m(x-a) \pm r\sqrt{m^2+1}}$
Berikut ini contoh soal persamaan garis singgung dengan gradien tertentu dan pembahasannya.
Contoh soal 1
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2=25$ dengan gradien $m=1$
Jawab:
Persamaaan lingkaran $x^2+y^2=25$ mempunyai jari-jari $r^2=25 \rightarrow r=5$.
Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah
$\begin{aligned} y&= mx \pm r\sqrt{m^2+1}\\ y&= 1.x \pm 5\sqrt{1^2+1}\\ y&= x \pm 5\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y=x+5\sqrt{2}$ dan $y=x-5\sqrt{2}$
Ilustrasi gambarnya sebagai berikut
Contoh soal 2
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $(x-3)^2+(y+20)^2=8$ dengan gradien $m=-1$
Jawab:
Persamaaan lingkaran $(x-3)^2+(y+20)^2=8$ mempunyai jari-jari $r^2=8 \rightarrow r=2 \sqrt{2}$.
Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah
$\begin{aligned} y-b&= m(x-a) \pm r\sqrt{m^2+1}\\ y+20&= (-1)(x-3) \pm 2 \sqrt{2} \sqrt{(-1)^2+1}\\ y+20&= -x+3 \pm 4\\ y&=-x-17 \pm 4 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y=-x-13$ dan $y=-x-21$
Ilustrasi gambarnya sebagai berikut
Contoh soal 3
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-10x+2y+17=0$ dengan gradien $m=2$
Jawab:
$\bullet$ Ubah persamaan lingkaran ke bentuk $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Dari persamaan lingkaran $x^2+y^2-10x+2y+17=0$. Diketahui $A=-10$, $B=2$, dan $C=17$
Sehingga diperoleh
$ \text{Pusat lingkaran :}\ P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(5,-1)$
$\begin{aligned} \text{Jari-jari lingkaran :}\ r&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}.100+\frac{1}{4}.4 -17}\\ &= \sqrt{9}\\ &= 3 \end{aligned}$
Jadi, bentuk persamaan lingkarannya sama dengan $(x-5)^2+(y+1)^2=9$
Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah
$\begin{aligned} y-b&= m(x-a) \pm r\sqrt{m^2+1}\\ y+1&= 2(x-5) \pm 3 \sqrt{2^2+1}\\ y+1&= 2x-10 \pm 3 \sqrt{5}\\ y&=2x-11 \pm 3 \sqrt{5} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y=2x-11+3 \sqrt{5}$ dan $y=2x-11-3 \sqrt{5}$
Ilustrasi gambarnya sebagai berikut
Contoh soal 4
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $(x+1)^2+(y-3)^2=9$ dan sejajar garis $2x+y+4=0$
Jawab:
Persamaaan lingkaran $(x+1)^2+(y-3)^2=9$ mempunyai jari-jari $r^2=9 \rightarrow r=3$.
$\begin{aligned} g:2x+y+4&=0\\ y&=-2x-4 \rightarrow \color{blue}{m_g=-2} \end{aligned}$
Syarat sejajar : $m=m_g$ sehingga $m=-2$
Sehingga, persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah
$\begin{aligned} y-b&= m(x-a) \pm r\sqrt{m^2+1}\\ y-3&= (-2)(x+1) \pm 3 \sqrt{(-2)^2+1}\\ y-3&= -2x-2 \pm 3 \sqrt{5}\\ y&=-2x+1 \pm 3 \sqrt{5} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y=-2x+1+3 \sqrt{5}$ dan $y=-2x+1 - 3 \sqrt{5}$
Ilustrasi gambarnya sebagai berikut
Contoh soal 5
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-2x+8y+1=0$ dan tegak lurus garis $2x+2y+5=0$
Jawab:
$\bullet$ Ubah persamaan lingkaran ke bentuk $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Dari persamaan lingkaran $x^2+y^2-2x+8y+1=0$. Diketahui $A=-2$, $B=8$, dan $C=1$
Sehingga diperoleh
$ \text{Pusat lingkaran :}\ P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(1,-4)$
$\begin{aligned} \text{Jari-jari lingkaran :}\ r&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}.4+\frac{1}{4}.64 -1}\\ &= \sqrt{16}\\ &= 4 \end{aligned}$
Jadi, bentuk persamaan lingkarannya sama dengan $(x-1)^2+(y+4)^2=16$
$\begin{aligned} g:2x+2y+5&=0\\ 2y&=-2x-5\\ y&=-x-\frac{5}{2} \rightarrow \color{blue}{m_g=-1} \end{aligned}$
Syarat tegak lurus : $m.m_g=-1$ sehingga $m=1$
Sehingga, persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah
$\begin{aligned} y-b&= m(x-a) \pm r\sqrt{m^2+1}\\ y+4&= (1)(x-1) \pm 4 \sqrt{(-1)^2+1}\\ y+4&= x-1 \pm 4 \sqrt{2}\\ y&=x-5 \pm 4 \sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $y=x-5+4 \sqrt{2}$ dan $y=x-5 - 4 \sqrt{2}$
Ilustrasi gambarnya sebagai berikut
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan garis singgung dengan gradien tertentu. Semoga bermanfaat.
Referensi:
Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
