Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran beserta Pembahasannya

Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

$\bullet$ Persamaan garis singgung yang melalui titik $P(x_1,y_1)$ dan terletak pada lingkaran $L:x^2+y^2=r^2$ adalah 

$\boxed{{\displaystyle g:x_1.x+y_1.y=r^2}}$

$\bullet$ Persamaan garis singgung yang melalui titik $P(x_1,y_1)$ dan terletak pada lingkaran $L:(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ adalah 

$\boxed{{\displaystyle g:(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2}}$

$\bullet$ Persamaan garis singgung yang melalui titik $P(x_1,y_1)$ dan terletak pada lingkaran $L:x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah $\boxed{{\displaystyle g:x_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}A(x_1+x)+\frac{1}{2}B(y_1+y)+C=0}}$

Berikut ini contoh soal persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2=25$ di titik $(-4,-3)$

Jawab:

$\bullet$ Menentukan kedudukan titik terlebih dahulu.

Titik $(-4,-3)$ terletak pada lingkaran sebab $(-4{)}^2+(-3{)}^2=25$

$\bullet$ Menentukan persamaan garis singgung.

Diketahui $x_1=-4$ dan $y_1=-3$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}{x}_1.x+y_1.y& =r^2\\ x_1.x+y_1.y& =25\\ -4x-3y& =25\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $-4x-3y=25$

Contoh soal 2

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=25$ di titik $(2,4)$

Jawab:

Titik $(2,4)$ terletak pada lingkaran sebab $(2+2{)}^2+(4-1{)}^2=25$

Diketahui $a=-2,b=1,x_1=2$ dan $y_1=4$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)& =r^2\\ (x_1+2)(x+2)+(y_1-1)(y-1)& =25\\ (2+2)(x+2)+(4-1)(y-1)& =25\\ 4(x+2)+3(y-1)& =25\\ 4x+8+3y-3& =25\\ 4x+3y& =20\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $4x+3y=20$

Contoh soal 3

Titik $(3,-10)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2+Ax+8y-23=0$. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran di titik $(3,-10)$

Jawab:

Titik $(3,-10)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2+Ax+8y-23=0$. Sehingga

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+Ax+8y-23& =0\\ 3^2+(-10{)}^2+3A+8(-10)-23& =0\\ 9+100+3A-80-23& =0\\ 3A+6& =0\\ 3A& =-6\\ A& =-2\end{array}$

Diperoleh persamaan lingkarannya adalah $x^2+y^2-2x+8y-23=0$

Diketahui $A=-2,B=8,x_1=3$ dan $y_1=-10$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}{x}_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}A(x_1+x)+\frac{1}{2}B(y_1+y)+C& =0\\ x_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}(-2)(x_1+x)+\frac{1}{2}(8)(y_1+y)-23& =0\\ 3x-10y-(3+x)+4(-10+y)-23& =0\\ 3x-10y-3-x-40+4y-23& =0\\ 2x-6y-66& =0\text{(dibagi 2)}\\ x-3y-33& =0\end{array}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $x-3y-33=0$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.