Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran beserta Pembahasannya

Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

$\bullet$ Persamaan garis singgung yang melalui titik $P(x_1,y_1)$ dan terletak pada lingkaran $L:x^2+y^2=r^2$ adalah 

$\boxed{g:x_1.x+y_1.y=r^2}$

$\bullet$ Persamaan garis singgung yang melalui titik $P(x_1,y_1)$ dan terletak pada lingkaran $L:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ adalah 

$\boxed{g:(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2}$

$\bullet$ Persamaan garis singgung yang melalui titik $P(x_1,y_1)$ dan terletak pada lingkaran $L:x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah $\boxed{g:x_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}A(x_1+x)+\frac{1}{2}B(y_1+y)+C=0}$

Berikut ini contoh soal persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2=25$ di titik $(-4,-3)$

Jawab:

$\bullet$ Menentukan kedudukan titik terlebih dahulu.

Titik $(-4,-3)$ terletak pada lingkaran sebab $(-4)^2+(-3)^2=25$

$\bullet$ Menentukan persamaan garis singgung.

Diketahui $x_1=-4$ dan $y_1=-3$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut

$\begin{aligned} x_1.x+y_1.y&=r^2\\ x_1.x+y_1.y&=25\\ -4x-3y&=25 \end{aligned}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $-4x-3y=25$

Contoh soal 2

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $(x+2)^2+(y-1)^2=25$ di titik $(2,4)$

Jawab:

Titik $(2,4)$ terletak pada lingkaran sebab $(2+2)^2+(4-1)^2=25$

Diketahui $a=-2,\ b=1,\ x_1=2$ dan $y_1=4$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut

$\begin{aligned} (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)&=r^2\\ (x_1+2)(x+2)+(y_1-1)(y-1)&=25\\ (2+2)(x+2)+(4-1)(y-1)&=25\\ 4(x+2)+3(y-1)&=25 \\ 4x+8+3y-3&=25\\ 4x+3y&= 20 \end{aligned}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $4x+3y= 20$

Contoh soal 3

Titik $(3,-10)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2+Ax+8y-23=0$. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran di titik $(3,-10)$

Jawab:

Titik $(3,-10)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2+Ax+8y-23=0$. Sehingga

$\begin{aligned} x^2+y^2+Ax+8y-23&=0\\ 3^2+(-10)^2+3A+8(-10)-23&=0\\ 9+100+3A-80-23&=0\\ 3A+6&=0\\ 3A&=-6\\ A&=-2  \end{aligned}$

Diperoleh persamaan lingkarannya adalah $x^2+y^2-2x+8y-23=0$

Diketahui $A=-2,\ B=8,\ x_1=3$ dan $y_1=-10$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut

$\begin{aligned} x_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}A(x_1+x)+\frac{1}{2}B(y_1+y)+C&=0\\ x_1.x+y_1.y+\frac{1}{2}(-2)(x_1+x)+\frac{1}{2}(8)(y_1+y)-23&=0\\ 3x-10y-(3+x)+4(-10+y)-23&=0\\ 3x-10y-3-x-40+4y-23&=0\\ 2x-6y-66&=0\ \text{(dibagi 2)}\\ x-3y-33&=0  \end{aligned}$

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $x-3y-33=0$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.