Faktor Bilangan Bulat

Pada kesempatan kali ini, kita akan melanjutkan pembahasan sub materi bilangan bulat, yaitu mengenai faktor bilangan bulat, faktorisasi prima, FPB (Faktor Persekutuan Terbesar), dan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil). Materi ini merupakan dasar penting dalam operasi hitung bilangan, aljabar, serta pemecahan masalah sehari-hari. Yuk pelajari dengan lebih runtut melalui rangkuman berikut!

Faktor Bilangan Bulat

Faktor Bilangan Bulat Positif dan Negatif
Faktor-faktor dari suatu bilangan dapat diperoleh dengan cara menyatakan bilangan tersebut sebagai hasil kali dua bilangan atau lebih. Untuk itu, perhatikan uraian berikut!

12 = 1 × 12
12 = 2 × 6
12 = 3 × 4
Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12

-12 = (-1) × 12
-12 = 1 × (-12)
-12 = (-2) × 6
-12 = 2 × (-6)
-12 = (-3) × 4
-12 = 3 × (-4)
Faktor dari -12 adalah -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, dan 12

70 = 1 × 70
70 = 2 × 35
70 = 5 × 14
70 = 7 × 10
Faktor dari 70 adalah 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, dan 70

-70 = -1 × 70
-70 = 1 × (-70)
-70 = -2 × 35
-70 = 2 × (-35)
-70 = -5 × 14
-70 = 5 × (-14)
-70 = -7 × 10
-70 = 7 × (-10)
Faktor dari -70 adalah -70, -35, -14, -10, -7, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, dan 70

Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa mencari faktor suatu bilangan sama artinya dengan mencari semua pembagi yang habis membagi bilangan itu. Dengan demikian, faktor dari suatu bilangan adalah bilangan-bilangan tertentu yang dapat membagi habis bilangan tersebut.

Faktorisasi Prima

Faktorisasi prima adalah bentuk penulisan suatu bilangan sebagai perkalian dari faktor yang merupakan bilangan prima. Menentukan faktorisasi prima dapat menggunakan pohon faktor.

Pohon faktor adalah pembagian suatu bilangan yang digambarkan ke bawah dengan menyatakan pembagian sebagai perkalian dari bilangan prima. Langkah-langkah dalam menentukan faktorisasi prima suatu bilangan dengan pohon faktor adalah sebagai berikut.

1. Bagilah bilangan tersebut dengan bilangan prima terkecil, yaitu 2.
2. Jika bilangan tersebut tidak dapat dibagi dengan 2, maka lanjutkan membagi bilangan tersebut dengan bilangan prima selanjutnya, yaitu 3,5,7, dan seterusnya.
3. Ulangi langkah 1 dan 2 hingga diperoleh hasil akhirnya merupakan dua bilangan prima. 

Contoh. Faktorisasi prima dari 12 adalah …

Jawab :

Berdasarkan pohon faktor diatas, maka dapat disimpulkan bahwa faktorisasi prima dari 12 adalah:

12 = 2² × 3

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Faktor persekutuan dari dua bilangan atau lebih adalah faktor-faktor yang sama dari bilangan-bilangan tersebut.

Faktor dari 16 adalah 1, 2, 4, 8, 16
Faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Faktor persekutuan 16 dan 24 adalah 1, 2, 4, 8

Faktor persekutuan terbesar (FPB) adalah faktor persekutuan yang nilainya terbesar di antara faktor-faktor persekutuan lainnya.

Cara 1: Dengan mendaftar faktor persekutuan

Faktor dari 16 adalah 1, 2, 4, 8, 16
Faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Faktor persekutuan 16 dan 24 adalah 1, 2, 4, 8

FPB (16, 24) = 8

Cara 2: Dengan faktorisasi prima

Cara menentukan FPB dengan faktorisasi prima adalah menguraikan masing-masing bilangan ke dalam faktor prima, lalu mengambil faktor-faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil, kemudian mengalikan hasilnya.

16 = 2⁴
24 = 2³ × 3
FPB (16,24) = 2³ = 8

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Kelipatan persekutuan dari dua bilangan atau lebih adalah kelipatan suatu bilangan yang sama dengan kelipatan bilangan lainnya.

Kelipatan 6: 6,12,18,24,30,36,…
Kelipatan 10: 10,20,30,40,50,60,70,…
Kelipatan persekutuan: 30,60,…

KPK adalah kelipatan persekutuan yang nilainya paling kecil.

Cara 1: Dengan mendaftar kelipatan

Kelipatan 6: 6,12,18,24,30,36,…
Kelipatan 10: 10,20,30,40,50,60,70,…
Kelipatan persekutuan: 30,60,…

KPK (6,10) = 30

Cara 2: Dengan faktorisasi prima

Cara menentukan KPK dengan faktorisasi prima adalah menguraikan masing-masing bilangan ke dalam faktor prima, lalu mengambil semua faktor prima yang muncul dengan pangkat tertinggi, kemudian mengalikan hasilnya.

6 = 2 × 3
10 = 2 × 5
KPK = 2 × 3 × 5 = 30

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1
Tentukan FPB menggunakan faktorisasi prima:
a. 36 dan 48
b. 45 dan 60
c. 24, 40, dan 64
d. 54, 90, dan 108

Jawab:

a. 36 = 2² × 3²
48 = 2⁴ × 3
FPB = 2² × 3 = 12

b. 45 = 3² × 5
60 = 2² × 3 × 5
FPB = 3 × 5 = 15

c. 24 = 2³ × 3
40 = 2³ × 5
64 = 2⁶
FPB = 2³ = 8

d. 54 = 2 × 3³
90 = 2 × 3² × 5
108 = 2² × 3³
FPB = 2 × 3² = 18

Soal 2
Tentukan KPK menggunakan faktorisasi prima:
a. 4 dan 10
b. 6 dan 8
c. 5, 6, dan 9
d. 3, 8, dan 12

Jawab:

a. 4 = 2²
10 = 2 × 5
KPK = 2² × 5 = 20

b. 6 = 2 × 3
8 = 2³
KPK = 2³ × 3 = 24

c. 5 = 5
6 = 2 × 3
9 = 3²
KPK = 2 × 3² × 5 = 90

d. 3 = 3
8 = 2³
12 = 2² × 3
KPK = 2³ × 3 = 24

Soal 3
Dani berlatih menari setiap 10 hari sekali, dan bermain piano setiap 12 hari sekali. Hari ini ia melakukan keduanya.
a. Kapan kegiatan itu bersamaan lagi?
b. Jika hari ini 3 Januari, maka tanggal berapa kegiatan berikutnya?

Jawab:

a. 10 = 2 × 5
12 = 2² × 3
KPK = 2² × 3 × 5 = 60 hari

b. 3 Januari + 60 hari = 4 Maret

Soal 4
Sebuah toko memiliki 84 bungkus mi instan dan 60 bungkus teh celup. Semua barang akan dikemas ke dalam kantong plastik dengan jumlah isi sama dan tanpa sisa.
a. Berapa kantong maksimal yang bisa dibuat?
b. Berapa isi tiap kantong?

Jawab:

a. 84 = 2² × 3 × 7
60 = 2² × 3 × 5
FPB = 2² × 3 = 12 kantong

b. Mi per kantong = 84 ÷ 12 = 7
Teh per kantong = 60 ÷ 12 = 5

Soal 5
Dua lampu lalu lintas berkedip dengan interval berbeda. Lampu A setiap 18 detik, lampu B setiap 30 detik. Keduanya mulai bersamaan pukul 07.00.00.
a. Kapan berkedip bersamaan kembali?
b. Pukul berapa saat itu?

Jawab:

a. 18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5
KPK = 2 × 3² × 5 = 90 detik

b. 07.00.00 + 90 detik = 07.01.30

Itulah rangkuman mengenai faktor bilangan bulat, faktorisasi prima, FPB, dan KPK.  Semoga materi ini bermanfaat dan menjadi referensi belajar yang mudah dipahami!