Contoh Soal Deret Geometri dan Aritmetika beserta Pembahasannya #2
Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi deret geometri dan aritmetika (kelas 11 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Jumlah $n$ suku pertama suatu deret aritmetika ditentukan oleh rumus $S_n=2n^2-4n$. Beda deret tersebut adalah ...
Jawab:
Rumus untuk mencari beda pada deret aritmetika $b=U_n-U_{n-1}$. Dimana $U_n$ pada soal diatas bisa ditentukan dengan rumus $U_n=S_n-S_{n-1}$.
$\begin{aligned} U_n&=S_n-S_{n-1}\\ U_n&=2n^2-4n-(2(n-1)^2-4(n-1))\\ U_n&=2n^2-4n-(2(n^2-2n+1)-4(n-1))\\ U_n&=2n^2-4n-2n^2+4n-2+4n-4\\ U_n&=4n-6 \end{aligned}$
Misal kita ambil suku $U_1$ dan $U_2$ untuk menentukan bedanya sehingga dapat diperoleh sebagai berikut
$\begin{aligned} U_1&=4.1-6\\ &= -2\\ \\ U_2&=4.2-6\\ &= 2\\ \\ b&= U_2-U_1\\ &= 2-(-2)\\ &= 4 \end{aligned}$
Jadi, beda deret tersebut adalah $4$
Contoh soal 2
Tiga bilangan merupakan barisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan itu adalah $42$ dan hasil kalinya $2688$, maka bilangan terbesarnya adalah ...
Jawab:
Misal ketiga bilangan yang dimaksud adalah $a,b,c$. Sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} a+b+c&=42...(1)\\ a.b.c&=2688....(2) \end{aligned}$
Karena ketiga bilangan merupakan barisan aritmetika maka dapat berlaku
$\begin{aligned} b-a&=c-b\\ b-a-c+b&=0\\ -a+2b-c&=0\\ c&= -a+2b...(3) \end{aligned}$
Substitusi pers (3) ke pers (1)
$\begin{aligned} a+b+c&=42\\ a+b+(-a+2b)&=42\\ 3b&=42\\b&=14 \end{aligned}$
Substitusi $b=14$ ke pers (1) dan (2)
$\begin{aligned} a+b+c&=42\\ a+14+c&=42\\ a+c&=28\\ c&=28-a...(4)\\ \\ a.b.c&=2688\\ a.14.c&=2688\\ a.c&=192\\ a.(28-a)&=192\text{ (substitusi c=28-a)} \\ -a^2+28a&=192\\ a^2-28a+192&=0\\ (a-12)(a-16)&=0\\ a=12 \vee a&=16 \end{aligned}$
Untuk $a=12$ dapat diperoleh bilangan-bilangan yang dimaksud adalah sebagai berikut
$\begin{aligned} a+b+c&=42\\12+14+c&=42\\c&= 16 \end{aligned}$
Sehingga bilangan $a,b,c$ secara berurutan masing-masing adalah 12,14, dan 16
Untuk $a=16$ dapat diperoleh bilangan-bilangan yang dimaksud adalah sebagai berikut
$\begin{aligned} a+b+c&=42\\16+14+c&=42\\c&= 12 \end{aligned}$
Sehingga bilangan $a,b,c$ secara berurutan masing-masing adalah 16,14, dan 12
Jadi, bilangan terbesar diantara ketiga bilangan yang dimaksud adalah $16$
Contoh soal 3
Jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan $S_n=n^2+3n$. Suku ke-20 deret aritmetika tersebut adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} U_n&=S_n-S_{n-1}\\ U_n&=n^2+3n-((n-1)^2+3(n-1))\\ U_n&=n^2+3n-((n^2-2n+1)+3(n-1))\\ U_n&=n^2+3n-n^2+2n-1-3n+3\\ U_n&=2n+2\\ \\ U_{20}&=2.20+2\\&=42 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-20 deret aritmetika tersebut adalah $42$
Contoh soal 4
Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah $\frac{1}{3}$ dan rasionya $\frac{1}{3}$, maka suku ke-9 barisan geometri tersebut adalah ...
Jawab:
Diketahui, $U_5=\frac{1}{3}$, $r=\frac{1}{3}$
$\begin{aligned} U_5&=ar^4\\ \frac{1}{3}&=ar^4 \\ \\ U_9&=ar^8\\ &= (ar^4)r^4 \\ &= (\frac{1}{3}).(\frac{1}{3})^4\\ &= (\frac{1}{3})^5\\ &= \frac{1}{243} \end{aligned}$
Jadi, suku ke-9 barisan geometri tersebut adalah $\frac{1}{243}$
Contoh soal 5
Suku ke-3 dan suku ke-7 suatu deret geometri berturut-turut adalah $16$ dan $256$. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah ...
Jawab:
Diketahui, $U_3=16$, $U_7=256$
$\begin{aligned} U_3&=ar^2\\ 16&=ar^2 \\ \\ U_7&=ar^6\\ 256 &= (ar^2)r^4 \\ 256 &= (16).r^4\\ r^4 &= 16\\ r^4&= 2^4\\ r&=2\\ \\ U_3&=16\\ a2^2&=16\\ a&=4\\ \\ S_7&=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\\ &=\frac{4(2^7-1)}{2-1}\\ &= 4.127\\ &= 508 \end{aligned}$
Jadi, jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah $508$
Contoh soal 6
Barisan geometri dengan $U_7=384$ dan rasionya $2$. Suku ke$-10$ barisan tersebut adalah ...
Jawab:
Diketahui, $U_7=384$, $r=2$
$\begin{aligned} U_7&=ar^6\\ 384&=ar^6 \\ 384&=a.2^6 \\ \\ 384&=a.64 \\ a&=\frac{384}{64}\\ a&= 6 \\ \\ U_{10}&=ar^9\\ &=ar^9\\ &= 6.2^9\\ &= 6.512\\ &= 3072 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-10 barisan geometri tersebut adalah $3072$
Contoh soal 7
Dari barisan aritmetika diketahui suku ke$-3=14$ dan suku ke$-7=26$. Jumlah $18$ suku pertama adalah ...
Jawab:
Diketahui, $U_3=14$, $U_7=26$
$\begin{aligned} U_3&=14\\ a+2b&=14...(1)\\ \\ U_7&=26\\ a+6b&=26...(2)\\ \\&a+2b=14\\ &a+6b=26\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & -4b=-12\\ & b=3\\ \\ a+2b&=14\\ a+2.3&=14\\ a&=8\\ \\ U_{18}&=a+17b\\ &= 8+17.3\\ &= 8+51\\ &= 59 \end{aligned}$
Jadi, umlah $18$ suku pertamanya adalah $59$
Contoh soal 8
Jumlah $n$ bilangan positif genap yang pertama adalah $380$. Dari bilangan-bilangan genap tersebut, jumlah $5$ bilangan terakhir adalah ...
Jawab:
Anggota bilangan positif genap diantaranya adalah $2,4,6,8,10,...$ Sehingga dapat diketahui bahwa $a=2$, dan $b=2$
$\begin{aligned} S_n&= \frac{1}{2}n(2a+(n-1)b)\\ 380&= \frac{1}{2}n(2.2+(n-1)2)\\ 380&= \frac{1}{2}n(4+2n-2)\\ 380&= \frac{1}{2}n(2n+2)\\ 380&= n^2+n\\ n^2+n-380&=0\\ (n-19)(n+20)&=0\\ n=19 \vee n&= -20 \end{aligned}$
Nilai $n$ yang memenuhi aalah $n=19$
Sehingga jumlah $5$ bilangan terakhir dapat diperoleh sebagai berikut
$\begin{aligned} \text{Jumlah 5 bilangan terakhir} &= S_{19}-S_{14}\\ &= \frac{1}{2}19(2.2+(19-1)2)- \frac{1}{2}14(2.2+(14-1)2)\\ &= \frac{19}{2}(4+(18)2)- 7(4+(13)2)\\ &= \frac{19}{2}(40)- 7(30)\\ &= 380-210\\ &= 170 \end{aligned}$
Jadi, jumlah $5$ bilangan terakhirnya adalah $170$
Contoh soal 9
Jika $(a+2),(a-1),(a-7),...$ membentuk barisan geometri, maka rasionya sama dengan ...
Jawab:
Karena barisan diatas adalah barisan geometri maka dapat berlaku
$\begin{aligned} \frac{a-1}{a+2}&= \frac{a-7}{a-1}\\ (a-1)^2&= (a+2)(a-7)\\ a^2-2a+1&= a^2-5a-14\\ -2a+5a&=-14-1\\ 3a &= -15\\ a&= -5 \end{aligned}$
Sehingga rasionya adalah sebagai berikut
$\begin{aligned} r&=\frac{a-1}{a+2}\\ &= \frac{-5-1}{-5+2}\\ &= \frac{-6}{-3}\\ &= 2 \end{aligned}$
Jadi, rasionya adalah $2$
Contoh soal 10
Amuba akan membelah diri menjadi dua setiap $15$ menit. Jika mula-mula ada $30$ amuba, maka banyaknya amuba selama $2$ jam adalah ...
Jawab:
Diketahui, $a=30$, $r=2$, $n=\frac{2 jam}{15 menit}=8$
Sehingga banyaknya amuba selama $2$ jam adalah sebagai berikut
$\begin{aligned} U_8&=ar^7\\ &=30.2^7 \\ &=30.128\\ &= 3840 \end{aligned}$
Jadi, banyaknya amuba selama $2$ jam adalah $3840$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi deret geometri dan aritmetika (kelas 11 SMA). Semoga bermanfaat.
Referensi
Tim Grasindo. 2014. Intisari Materi dan Soal-soal Penting Matematika dan IPA SMA Kelas X, XI, XII. Jakarta: PT Grasindo.
