Contoh Soal Deret Geometri dan Aritmetika beserta Pembahasannya #2

 

Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi deret geometri dan aritmetika (kelas 11 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.

Contoh soal 1 

Jumlah $n$ suku pertama suatu deret aritmetika ditentukan oleh rumus $S_n=2n^2-4n$. Beda deret tersebut adalah ...

Jawab:

Rumus untuk mencari beda pada deret aritmetika $b=U_n-U_{n-1}$. Dimana $U_n$ pada soal diatas bisa ditentukan dengan rumus $U_n=S_n-S_{n-1}$.

$\begin{array}{rl}{U}_n& =S_n-S_{n-1}\\ U_n& =2n^2-4n-(2(n-1{)}^2-4(n-1))\\ U_n& =2n^2-4n-(2(n^2-2n+1)-4(n-1))\\ U_n& =2n^2-4n-2n^2+4n-2+4n-4\\ U_n& =4n-6\end{array}$

Misal kita ambil suku $U_1$ dan $U_2$ untuk menentukan bedanya sehingga dapat diperoleh sebagai berikut

$\begin{array}{rl}{U}_1& =4.1-6\\ & =-2\\ \\ U_2& =4.2-6\\ & =2\\ \\ b& =U_2-U_1\\ & =2-(-2)\\ & =4\end{array}$

Jadi, beda deret tersebut adalah $4$

Contoh soal 2 

Tiga bilangan merupakan barisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan itu adalah $42$ dan hasil kalinya $2688$, maka bilangan terbesarnya adalah ...

Jawab:

Misal ketiga bilangan yang dimaksud adalah $a,b,c$. Sehingga dapat diperoleh

$\begin{array}{rl}a+b+c& =42...(1)\\ a.b.c& =2688....(2)\end{array}$

Karena ketiga bilangan merupakan barisan aritmetika maka dapat berlaku

$\begin{array}{rl}b-a& =c-b\\ b-a-c+b& =0\\ -a+2b-c& =0\\ c& =-a+2b...(3)\end{array}$

Substitusi pers (3) ke pers (1)

$\begin{array}{rl}a+b+c& =42\\ a+b+(-a+2b)& =42\\ 3b& =42\\ b& =14\end{array}$

Substitusi $b=14$ ke pers (1) dan (2)

$\begin{array}{rl}a+b+c& =42\\ a+14+c& =42\\ a+c& =28\\ c& =28-a...(4)\\ \\ a.b.c& =2688\\ a.14.c& =2688\\ a.c& =192\\ a.(28-a)& =192\text{ (substitusi c=28-a)}\\ -a^2+28a& =192\\ a^2-28a+192& =0\\ (a-12)(a-16)& =0\\ a=12\vee a& =16\end{array}$

Untuk $a=12$ dapat diperoleh bilangan-bilangan yang dimaksud adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}a+b+c& =42\\ 12+14+c& =42\\ c& =16\end{array}$

Sehingga bilangan $a,b,c$ secara berurutan masing-masing adalah 12,14, dan 16

Untuk $a=16$ dapat diperoleh bilangan-bilangan yang dimaksud adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}a+b+c& =42\\ 16+14+c& =42\\ c& =12\end{array}$

Sehingga bilangan $a,b,c$ secara berurutan masing-masing adalah 16,14, dan 12

Jadi, bilangan terbesar diantara ketiga bilangan yang dimaksud adalah $16$

Contoh soal 3 

Jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan $S_n=n^2+3n$. Suku ke-20 deret aritmetika tersebut adalah ... 

Jawab:

$\begin{array}{rl}{U}_n& =S_n-S_{n-1}\\ U_n& =n^2+3n-((n-1{)}^2+3(n-1))\\ U_n& =n^2+3n-((n^2-2n+1)+3(n-1))\\ U_n& =n^2+3n-n^2+2n-1-3n+3\\ U_n& =2n+2\\ \\ U_{20}& =2.20+2\\ & =42\end{array}$

Jadi, suku ke-20 deret aritmetika tersebut adalah $42$

Contoh soal 4 

Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah $\frac{1}{3}$ dan rasionya $\frac{1}{3}$, maka suku ke-9 barisan geometri tersebut adalah ...

Jawab:

Diketahui, $U_5=\frac{1}{3}$, $r=\frac{1}{3}$

$\begin{array}{rl}{U}_5& =a{r}^4\\ \frac{1}{3}& =a{r}^4\\ \\ U_9& =a{r}^8\\ & =(a{r}^4)r^4\\ & =(\frac{1}{3}).(\frac{1}{3}{)}^4\\ & =(\frac{1}{3}{)}^5\\ & =\frac{1}{243}\end{array}$

Jadi, suku ke-9 barisan geometri tersebut adalah $\frac{1}{243}$

Contoh soal 5 

Suku ke-3 dan suku ke-7 suatu deret geometri berturut-turut adalah $16$ dan $256$. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah ...

Jawab:

Diketahui, $U_3=16$, $U_7=256$

$\begin{array}{rl}{U}_3& =a{r}^2\\ 16& =a{r}^2\\ \\ U_7& =a{r}^6\\ 256& =(a{r}^2)r^4\\ 256& =(16).r^4\\ r^4& =16\\ r^4& =2^4\\ r& =2\\ \\ U_3& =16\\ a{2}^2& =16\\ a& =4\\ \\ S_7& =\frac{a(r^n-1)}{r-1}\\ & =\frac{4(2^7-1)}{2-1}\\ & =4.127\\ & =508\end{array}$

Jadi, jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah $508$

Contoh soal 6 

Barisan geometri dengan $U_7=384$ dan rasionya $2$. Suku ke$-10$ barisan tersebut adalah ...

Jawab:

Diketahui, $U_7=384$, $r=2$

$\begin{array}{rl}{U}_7& =a{r}^6\\ 384& =a{r}^6\\ 384& =a{.2}^6\\ \\ 384& =a.64\\ a& =\frac{384}{64}\\ a& =6\\ \\ U_{10}& =a{r}^9\\ & =a{r}^9\\ & ={6.2}^9\\ & =6.512\\ & =3072\end{array}$

Jadi, suku ke-10 barisan geometri tersebut adalah $3072$

Contoh soal 7 

Dari barisan aritmetika diketahui suku ke$-3=14$ dan suku ke$-7=26$. Jumlah $18$ suku pertama adalah ...

Jawab:

Diketahui, $U_3=14$, $U_7=26$

$\begin{array}{rl}{U}_3& =14\\ a+2b& =14...(1)\\ \\ U_7& =26\\ a+6b& =26...(2)\\ \\ & a+2b=14\\ & a+6b=26\\ & -\\ & -4b=-12\\ & b=3\\ \\ a+2b& =14\\ a+2.3& =14\\ a& =8\\ \\ U_{18}& =a+17b\\ & =8+17.3\\ & =8+51\\ & =59\end{array}$

Jadi, umlah $18$ suku pertamanya adalah $59$

Contoh soal 8 

Jumlah $n$ bilangan positif genap yang pertama adalah $380$. Dari bilangan-bilangan genap tersebut, jumlah $5$ bilangan terakhir adalah ... 

Jawab:

Anggota bilangan positif genap diantaranya adalah $2,4,6,8,10,...$ Sehingga dapat diketahui bahwa $a=2$, dan $b=2$

$\begin{array}{rl}{S}_n& =\frac{1}{2}n(2a+(n-1)b)\\ 380& =\frac{1}{2}n(2.2+(n-1)2)\\ 380& =\frac{1}{2}n(4+2n-2)\\ 380& =\frac{1}{2}n(2n+2)\\ 380& =n^2+n\\ n^2+n-380& =0\\ (n-19)(n+20)& =0\\ n=19\vee n& =-20\end{array}$

Nilai $n$ yang memenuhi aalah $n=19$

Sehingga jumlah $5$ bilangan terakhir dapat diperoleh sebagai berikut

$\begin{array}{rl}\text{Jumlah 5 bilangan terakhir}& =S_{19}-S_{14}\\ & =\frac{1}{2}19(2.2+(19-1)2)-\frac{1}{2}14(2.2+(14-1)2)\\ & =\frac{19}{2}(4+(18)2)-7(4+(13)2)\\ & =\frac{19}{2}(40)-7(30)\\ & =380-210\\ & =170\end{array}$

Jadi, jumlah $5$ bilangan terakhirnya adalah $170$

Contoh soal 9 

Jika $(a+2),(a-1),(a-7),...$ membentuk barisan geometri, maka rasionya sama dengan ... 

Jawab:

Karena barisan diatas adalah barisan geometri maka dapat berlaku

$\begin{array}{rl}\frac{a-1}{a+2}& =\frac{a-7}{a-1}\\ (a-1{)}^2& =(a+2)(a-7)\\ a^2-2a+1& =a^2-5a-14\\ -2a+5a& =-14-1\\ 3a& =-15\\ a& =-5\end{array}$

Sehingga rasionya adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}r& =\frac{a-1}{a+2}\\ & =\frac{-5-1}{-5+2}\\ & =\frac{-6}{-3}\\ & =2\end{array}$

Jadi, rasionya adalah $2$

Contoh soal 10 

Amuba akan membelah diri menjadi dua setiap $15$ menit. Jika mula-mula ada $30$ amuba, maka banyaknya amuba selama $2$ jam adalah ...

Jawab:

Diketahui, $a=30$, $r=2$, $n=\frac{2jam}{15menit}=8$

Sehingga banyaknya amuba selama $2$ jam adalah sebagai berikut

$\begin{array}{rl}{U}_8& =a{r}^7\\ & ={30.2}^7\\ & =30.128\\ & =3840\end{array}$

Jadi, banyaknya amuba selama $2$ jam adalah $3840$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi deret geometri dan aritmetika (kelas 11 SMA). Semoga bermanfaat. 

Referensi

Tim Grasindo. 2014. Intisari Materi dan Soal-soal Penting Matematika dan IPA SMA Kelas X, XI, XII. Jakarta: PT Grasindo.