Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika beserta Pembahasannya

Pengertian Barisan dan Deret

$\bullet$ Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan tertentu. Yang mana, setiap bilangan yang menyusun dari barisan bilangan tersebut disebut dengan suku barisan (ditulis dengan simbol $U_n$). Sehingga, bentuk umum barisan bilangan adalah

$U_1,U_2,U_3,U_4,...,U_n$

$\bullet$ Sedangkan deret adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan. Sehingga, bentuk umum deret adalah

$U_1+U_2+U_3+U_4+...+U_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{U}_i}$

Sebagai contoh, misalkan terdapat barisan bilangan $3,6,9,12,...,72$ maka deret dari barisan bilangan tersebut adalah $3+6+9+12+...+72$

Barisan dan Deret Aritmetika

$\bullet$ Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan selisih setiap dua suku berurutannya selalu sama. Selisih dari dua suku berurutannya tersebut disebut dengan beda $(b=U_n-U_{n-1})$. 

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika adalah $U_n=a+(n-1)b$

dimana 

$\begin{array}{rl}{U}_n& =\text{suku ke-n}\\ a& =\text{suku pertama}\\ b& =\text{beda}\\ n& =\text{banyaknya suku}\end{array}$

$\bullet$ Deret aritmetika adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan aritmetika.

Rumus umum jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika adalah $S_n=\frac{1}{2}n(a+U_n)$ atau $S_n=\frac{1}{2}n[2a+(n-1)b]$

dimana 

$\begin{array}{rl}{S}_n& =\text{jumlah n suku pertama}\\ n& =\text{banyaknya suku}\\ a& =\text{suku pertama}\\ b& =\text{beda}\\ U_n& =\text{suku ke-n}\end{array}$

$\bullet$ Rumus suku ke-n jika rumus $S_n$ diketahui

Misalkan diberikan suku ke-n barisan aritmetika $S_n$. Rumus suku ke-n dapat ditentukan dengan

$U_n=S_n-S_{n-1}$

Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika

Barisan aritmetika yang jumlahnya ganjil dan minimal terdiri dari 3 suku memiliki suku tengah $U_t=\frac{1}{2}(a+U_n)$

dimana

$\begin{array}{rl}{U}_t& =\text{suku tengah}\\ a& =\text{suku pertama}\\ U_n& =\text{suku ke-n/suku terakhir}\end{array}$

Rumus Sisipan Barisan Aritmatika

Jika setiap dua suku berurutan pada barisan aritmetika disisipkan $k$ suku, maka barisan aritmetika yang baru mempunyai:

$b^{\prime }=\frac{b}{k+1}$ dan $n^{\prime }=n+(n-1)k$ 

dengan :

$\begin{array}{rl}{b}^{\prime }& =\text{beda setelah disisipi }\\ n^{\prime }& =\text{banyaknya suku setelah disisipi}\\ k& =\text{banyak bilangan yang disisipkan}\\ b& =\text{beda sebelum disisipi }\\ n& =\text{banyaknya suku sebelum disisipi}\end{array}$

Berikut ini contoh-contoh soal barisan dan deret aritmetika.

Contoh soal 1

Diketahui barisan $3,12,27,48...$  Tentukanlah rumus suku ke-n dan suku ke-10.

Jawab:

Barisan bilangan : $3,12,27,48...$

$\bullet$ menentukan rumus suku ke-n

$U_1=3=3\cdot 1^2$

$U_1=12=3\cdot 2^2$

$U_1=27=3\cdot 3^2$

$U_1=48=3\cdot 4^2$

...

$U_n=3\cdot n^2$

$\bullet$ suku ke-10 barisan tersebut adalah

$\begin{array}{rl}{U}_{10}& =3\cdot {10}^2\\ & =300\end{array}$

Contoh soal 2

Diketahui suku ke-n dari suatu barisan bilangan adalah $U_n=an+b$. Jika $U_{10}=51$ dan $U_{13}=66$. Tentukan $U_{50}$  

Jawab:

$U_n=an+b$

$U_{10}=a10+b\Rightarrow 10a+b=51...(1)$

$U_{13}=a13+b\Rightarrow 13a+b=66...(2)$

eliminasi persamaan (1) dan (2)

$\underline{\begin{array}{r}\begin{array}{rl}10a+b& =51\\ 13a+b& =66-\end{array}\end{array}}$  

$-3a=-15$

$a=5$

substitusi $a=5$ ke (1)

$\begin{array}{rl}10.5+b& =51\\ b& =51-50\\ b& =1\end{array}$

$\begin{array}{rl}{U}_{50}& =50.5+1\\ & =250+1\\ & =251\end{array}$  

Contoh soal 3

Diketahui barisan aritmetika ${}^2\log \frac{5}{16},{}^2\log \frac{5}{8},{}^2\log \frac{5}{4},...$  Tentukanlah rumus suku ke-n dan suku ke-12.

Jawab:

Beda dari barisan aritmetika diatas adalah 

$\begin{array}{rl}{}^2\log \frac{5}{8}-{}^2\log \frac{5}{16}& ={}^2\log (\frac{\frac{5}{8}}{\frac{5}{16}})\\ & ={}^2\log 2\\ & =1\end{array}$

Sehingga diperoleh $a={}^2\log \frac{5}{16}$ dan $b=1$

$\bullet$ rumus suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah

$\begin{array}{rl}{U}_n& =a+(n-1)b\\ & ={}^2\log \frac{5}{16}+(n-1)1\\ & ={}^2\log \frac{5}{16}+(n-1)\\ & ={}^2\log \frac{5}{16}+{}^2\log 2^{(n-1)}\\ & ={}^2\log (\frac{5}{16}\cdot 2^{(n-1)})\end{array}$

$\bullet$ suku ke-12 barisan aritmetika tersebut adalah

$\begin{array}{rl}{U}_{12}& ={}^2\log (\frac{5}{16}\cdot 2^{(12-1)})\\ & ={}^2\log (\frac{5}{16}\cdot 2^{(12-1)})\\ & ={}^2\log 640\end{array}$

Contoh soal 4

Diketahui suku kedua dari barisan aritmetika adalah 25, sedangkan suku ke-6 adalah 49. Tentukanlah jumlah 20 suku pertama deret tersebut 

Jawab:

$\bullet$ Cara 1

$U_2=a+b\Rightarrow a+b=25...(1)$

$U_6=a+5b\Rightarrow a+5b=49...(2)$

eliminasi persamaan (1) dan (2)

$\underline{\begin{array}{r}\begin{array}{rl}a+b& =25\\ a+5b& =49-\end{array}\end{array}}$  

$-4b=-24$

$b=6$

substitusi $b=6$ ke (1)

$\begin{array}{rl}a+6& =25\\ a& =25-6\\ a& =19\end{array}$

$\begin{array}{rl}{S}_n& =\frac{1}{2}n[2a+(n-1)b]\\ S_{20}& =\frac{1}{2}.20[2.19+(20-1)6]\\ & =10.(38+114)\\ & =10.152\\ & =1520\end{array}$

$\bullet$ Cara 2 (tips tanpa melalui bentuk persamaan)

$U_2=25$

$U_6=49$

$\begin{array}{rl}b& =\frac{U_q-U_p}{q-p}\text{(hanya berlaku untuk barisan aritmetika)}\\ b& =\frac{U_6-U_2}{6-2}\\ & =\frac{49-25}{6-2}\\ & =\frac{24}{4}\\ & =6\end{array}$

$\begin{array}{rl}{U}_2& =a+b\\ 25& =a+6\\ a& =19\end{array}$

$\begin{array}{rl}{S}_n& =\frac{1}{2}n[2a+(n-1)b]\\ S_{20}& =\frac{1}{2}.20[2.19+(20-1)6]\\ & =10.(38+114)\\ & =10.152\\ & =1520\end{array}$

Contoh soal 5

Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 4 yang kurang dari 200.

Jawab:

Bilangan asli kelipatan 4 yang kurang dari 200 adalah 4, 8, 12, ..., 196

Sehingga diperoleh $a=4$, $b=4$, dan $U_n=196$

Mencari $n$ :

$\begin{array}{rl}{U}_n& =a+(n-1)b\\ 196& =4+(n-1)4\\ 4n& =196\\ n& =49\end{array}$

Jumlah dari deret tersebut adalah

$\begin{array}{rl}{S}_n& =\frac{1}{2}n(a+U_n)\\ S_{49}& =\frac{1}{2}.49(4+196)\\ & =4900\end{array}$

Contoh soal 6

Diketahui suku pertama deret aritmatika adalah 15, bedanya 5 dan jumlah n suku pertama adalah 375. Tentukan banyaknya suku dari deret aritmetika tersebut.

Jawab:

Diketahui $a=15$, $b=5$, dan $S_n=375$

Dari rumus umum jumlah n suku pertama diperoleh

$\begin{array}{rl}{S}_n& =\frac{1}{2}n[2a+(n-1)b]\\ 375& =\frac{1}{2}n[2.15+(n-1)5]\\ 375& =\frac{1}{2}n(30+5n-5)\\ 375& =\frac{1}{2}n(25+5n)\\ 750& =5n^2+25n\\ 5n^2+25n-750& =0\\ n^2+5n-150& =0\\ (n-10)(n+15)& =0\\ n=10\vee n& =-15\end{array}$

Yang memenuhi $n=10$ karena $n$ bilangan asli

Jadi, banyak suku deret aritmetika tersebut adalah 10

Contoh soal 7

Diketahui barisan aritmetika $15,18,21,...,231$. Tentukan suku tengahnya dan merupakan suku keberapa.

Jawab:

Barisan aritmetika : $15,18,21,...,231$

Diperoleh $a=15$, $b=3$, dan $U_n=231$

$\begin{array}{rl}{U}_t& =\frac{1}{2}(a+U_n)\\ & =\frac{1}{2}(15+231)\\ & =123\end{array}$

Jadi, suku tengahnya adalah 123

$\begin{array}{rl}{U}_t& =a+(t-1)b\\ 123& =15+(t-1)3\\ 123& =3t+12\\ 3t& =111\\ t& =37\end{array}$

Jadi, suku tengahnya merupakan suku ke-37

Contoh soal 8

Diantara bilangan $20$ dan bilangan $35$ disisipkan empat bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika. Hitunglah beda dari barisan tersebut.

Jawab:

$k=4$

$\begin{array}{rl}b& =35-20\\ & =15\end{array}$

$\begin{array}{rl}{b}^{\prime }& =\frac{b}{k+1}\\ & =\frac{15}{4+1}\\ & =3\end{array}$

Jadi, beda barisan yang baru adalah 3

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi barisan dan deret aritmetika. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

E. S., Pesta  dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. 

Lestari, Sri dan Diah Ayu Kurniasih. 2009. Matematika 3: untuk SMA/MA Program Studi Bahasa Kelas XII. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 3: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XII SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 3: untuk kelas XII SMA/MA Program Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.