Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika beserta Pembahasannya
Pengertian Barisan dan Deret
$\bullet$ Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan tertentu. Yang mana, setiap bilangan yang menyusun dari barisan bilangan tersebut disebut dengan suku barisan (ditulis dengan simbol $U_{n}$). Sehingga, bentuk umum barisan bilangan adalah
$U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4}, ..., U_{n}$
$\bullet$ Sedangkan deret adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan. Sehingga, bentuk umum deret adalah
$U_{1}+U_{2}+U_{3}+ U_{4}+ ...+ U_{n}=\displaystyle \sum_{i=1}^n~U_{i}$
Sebagai contoh, misalkan terdapat barisan bilangan $3, 6, 9, 12, ..., 72$ maka deret dari barisan bilangan tersebut adalah $3+6+9+12+ ...+72$
Barisan dan Deret Aritmetika
$\bullet$ Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan selisih setiap dua suku berurutannya selalu sama. Selisih dari dua suku berurutannya tersebut disebut dengan beda $(b=U_{n}-U_{n-1})$.
Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika adalah $U_{n}=a+(n-1)b$
dimana
$\begin{aligned} U_{n} &= \text{suku ke-n} \\ a &= \text{suku pertama} \\ b &= \text{beda} \\ n &= \text{banyaknya suku} \end{aligned}$
$\bullet$ Deret aritmetika adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan aritmetika.
Rumus umum jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika adalah $S_{n}= \frac{1}{2}n(a+U_{n})$ atau $S_{n}= \frac{1}{2}n~[2a+(n-1)b]$
dimana
$\begin{aligned} S_{n} &= \text{jumlah n suku pertama} \\ n &= \text{banyaknya suku} \\ a &= \text{suku pertama} \\ b &= \text{beda} \\ U_{n} &= \text{suku ke-n} \end{aligned}$
$\bullet$ Rumus suku ke-n jika rumus $S_{n}$ diketahui
Misalkan diberikan suku ke-n barisan aritmetika $S_{n}$. Rumus suku ke-n dapat ditentukan dengan
$U_{n}=S_{n}-S_{n-1}$
Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika
Barisan aritmetika yang jumlahnya ganjil dan minimal terdiri dari 3 suku memiliki suku tengah $U_{t}=\frac{1}{2}(a+U_{n})$
dimana
$\begin{aligned} U_{t} &= \text{suku tengah} \\ a &= \text{suku pertama} \\ U_{n} &= \text{suku ke-n/suku terakhir} \end{aligned}$
Rumus Sisipan Barisan Aritmatika
Jika setiap dua suku berurutan pada barisan aritmetika disisipkan $k$ suku, maka barisan aritmetika yang baru mempunyai:
$b'=\frac{b}{k+1}$ dan $n'=n+(n-1)k$
dengan :
$\begin{aligned} b' &= \text{beda setelah disisipi } \\ n' &= \text{banyaknya suku setelah disisipi} \\ k &= \text{banyak bilangan yang disisipkan} \\ b &= \text{beda sebelum disisipi } \\ n &= \text{banyaknya suku sebelum disisipi} \end{aligned}$
Berikut ini contoh-contoh soal barisan dan deret aritmetika.
Contoh soal 1
Diketahui barisan $3, 12, 27, 48 ...$ Tentukanlah rumus suku ke-n dan suku ke-10.
Jawab:
Barisan bilangan : $3, 12, 27, 48 ...$
$\bullet$ menentukan rumus suku ke-n
$U_{1}=3=3 \cdot 1^{2}$
$U_{1}=12=3 \cdot 2^{2} $
$U_{1}=27=3 \cdot 3^{2} $
$U_{1}=48=3 \cdot 4^{2}$
...
$U_{n}=3 \cdot n^{2} $
$\bullet$ suku ke-10 barisan tersebut adalah
$\begin{aligned} U_{10} &= 3 \cdot 10^{2} \\ &= 300 \end{aligned}$
Contoh soal 2
Diketahui suku ke-n dari suatu barisan bilangan adalah $U_{n}=an+b$. Jika $U_{10}=51$ dan $U_{13}=66$. Tentukan $U_{50}$
Jawab:
$U_{n}=an+b$
$U_{10}=a10+b \Rightarrow 10a+b=51~. . . (1)$
$U_{13}=a13+b \Rightarrow 13a+b=66~. . . (2)$
eliminasi persamaan (1) dan (2)
$\begin{aligned} \begin{aligned} 10a + b & = 51 \\ 13a + b & =66 ~~~~~- \end{aligned} \\ \hline \end{aligned}$
$~~~~~\color{black}{-3a = -15}$
$ ~~~~~~~~~~~ \color{black}{a =5}$
substitusi $\color{black}{a =5}$ ke (1)
$\begin{aligned} 10.5+b&=51 \\ b&=51-50 \\ b&=1 \end{aligned}$
$\begin{aligned} U_{50} &= 50.5+1 \\ &= 250+1 \\&=251 \end{aligned}$
Contoh soal 3
Diketahui barisan aritmetika ${}^2 \log \frac{5}{16}, {}^2 \log \frac{5}{8}, {}^2 \log \frac{5}{4}, ...$ Tentukanlah rumus suku ke-n dan suku ke-12.
Jawab:
Beda dari barisan aritmetika diatas adalah
$\begin{aligned} {}^2 \log \frac{5}{8}-{}^2 \log \frac{5}{16} &= {}^2 \log (\frac{\frac{5}{8}}{\frac{5}{16}}) \\ &= {}^2 \log 2 \\ &= 1 \end{aligned}$
Sehingga diperoleh $a={}^2 \log \frac{5}{16}$ dan $b=1$
$\bullet$ rumus suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah
$\begin{aligned} U_{n} &= a+(n-1)b \\ &= {}^2 \log \frac{5}{16} + (n-1)1 \\ &= {}^2 \log \frac{5}{16} + (n-1) \\ &= {}^2 \log \frac{5}{16} + {}^2 \log 2^{(n-1)} \\ &= {}^2 \log ( \frac{5}{16} \cdot 2^{(n-1)} ) \end{aligned}$
$\bullet$ suku ke-12 barisan aritmetika tersebut adalah
$\begin{aligned} U_{12} &= {}^2 \log ( \frac{5}{16} \cdot 2^{(12-1)} ) \\ &= {}^2 \log ( \frac{5}{16} \cdot 2^{(12-1)} ) \\ &= {}^2 \log 640 \end{aligned}$
Contoh soal 4
Diketahui suku kedua dari barisan aritmetika adalah 25, sedangkan suku ke-6 adalah 49. Tentukanlah jumlah 20 suku pertama deret tersebut
Jawab:
$\bullet$ Cara 1
$U_{2}=a+b \Rightarrow a+b=25~. . . (1)$
$U_{6}=a+5b \Rightarrow a+5b=49~. . . (2)$
eliminasi persamaan (1) dan (2)
$\begin{aligned} \begin{aligned} a + b & = 25 \\ a + 5b & =49 ~~~~~- \end{aligned} \\ \hline \end{aligned}$
$~~~~~\color{black}{-4b = -24}$
$ ~~~~~~~~~~~ \color{black}{b =6}$
substitusi $\color{black}{b =6}$ ke (1)
$\begin{aligned} a+6&=25 \\ a&=25-6 \\ a&=19 \end{aligned}$
$\begin{aligned} S_{n} &= \frac{1}{2}n[2a+(n-1)b] \\ S_{20} &= \frac{1}{2}.20[2.19+(20-1)6] \\ &= 10.(38+114) \\ &= 10.152 \\&= 1520 \end{aligned}$
$\bullet$ Cara 2 (tips tanpa melalui bentuk persamaan)
$U_{2}=25$
$U_{6}=49$
$\begin{aligned} b&=\frac{U_{q}-U_{p}}{q-p}~\text{(hanya berlaku untuk barisan aritmetika)} \\ b&=\frac{U_{6}-U_{2}}{6-2}\\ &= \frac{49-25}{6-2}\\ &= \frac{24}{4}\\ &= 6 \end{aligned}$
$\begin{aligned} U_{2}&=a+b \\ 25 &=a+6 \\ a&=19 \end{aligned}$
$\begin{aligned} S_{n} &= \frac{1}{2}n[2a+(n-1)b] \\ S_{20} &= \frac{1}{2}.20[2.19+(20-1)6] \\ &= 10.(38+114) \\ &= 10.152 \\&= 1520 \end{aligned}$
Contoh soal 5
Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 4 yang kurang dari 200.
Jawab:
Bilangan asli kelipatan 4 yang kurang dari 200 adalah 4, 8, 12, ..., 196
Sehingga diperoleh $a=4$, $b=4$, dan $U_{n}=196$
Mencari $n$ :
$\begin{aligned} U_{n} &= a+(n-1)b \\ 196 &= 4+(n-1)4 \\ 4n &= 196 \\ n &= 49 \end{aligned}$
Jumlah dari deret tersebut adalah
$\begin{aligned} S_{n} &= \frac{1}{2}n(a+U_{n}) \\ S_{49}&= \frac{1}{2}.49(4+196) \\ &= 4900 \end{aligned}$
Contoh soal 6
Diketahui suku pertama deret aritmatika adalah 15, bedanya 5 dan jumlah n suku pertama adalah 375. Tentukan banyaknya suku dari deret aritmetika tersebut.
Jawab:
Diketahui $a=15$, $b=5$, dan $S_{n}=375$
Dari rumus umum jumlah n suku pertama diperoleh
$\begin{aligned} S_{n} &= \frac{1}{2}n[2a+(n-1)b] \\ 375 &= \frac{1}{2}n[2.15+(n-1)5] \\ 375 &= \frac{1}{2}n(30+5n-5) \\ 375 &= \frac{1}{2}n(25+5n) \\ 750 &= 5n^{2}+25n \\ 5n^{2}+25n-750 &=0 \\ n^{2}+5n-150 &=0 \\ (n-10)(n+15)&=0 \\ n=10 \vee n&= -15 \end{aligned}$
Yang memenuhi $n=10$ karena $n$ bilangan asli
Jadi, banyak suku deret aritmetika tersebut adalah 10
Contoh soal 7
Diketahui barisan aritmetika $15, 18, 21,..., 231$. Tentukan suku tengahnya dan merupakan suku keberapa.
Jawab:
Barisan aritmetika : $15, 18, 21, ..., 231$
Diperoleh $a=15$, $b=3$, dan $U_{n}=231$
$\begin{aligned} U_{t} &=\frac{1}{2}(a+U_{n}) \\ &=\frac{1}{2}(15+231)\\ &= 123 \end{aligned}$
Jadi, suku tengahnya adalah 123
$\begin{aligned} U_{t}&=a+(t-1)b \\ 123 &=15+(t-1)3 \\ 123 &=3t+12 \\ 3t&=111 \\ t&= 37 \end{aligned}$
Jadi, suku tengahnya merupakan suku ke-37
Contoh soal 8
Diantara bilangan $20$ dan bilangan $35$ disisipkan empat bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika. Hitunglah beda dari barisan tersebut.
Jawab:
$k=4$
$\begin{aligned} b&=35-20 \\ &=15 \end{aligned}$
$\begin{aligned} b'&=\frac{b}{k+1} \\ &=\frac{15}{4+1} \\ &= 3 \end{aligned}$
Jadi, beda barisan yang baru adalah 3
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi barisan dan deret aritmetika. Semoga bermanfaat.
Referensi:
E. S., Pesta dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Lestari, Sri dan Diah Ayu Kurniasih. 2009. Matematika 3: untuk SMA/MA Program Studi Bahasa Kelas XII. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 3: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XII SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 3: untuk kelas XII SMA/MA Program Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
