Contoh Soal Fungsi Komposisi SMA/MA beserta Pembahasannya
Berikut ini adalah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi fungsi komposisi. Selamat membaca, sobat. Semoga bermanfaat.
Contoh Soal 1
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ yang dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan seperti berikut.
$f= \{(4,1), (0,3), (1,4), (3,6), (2,10)\}$
$g= \{(1,0), (3,1), (4,2), (6,3), (10,4)\}$
Tentukan $f \circ g, g \circ f, (f \circ g)(3), (f \circ g)(6), (g \circ f)(1), (g \circ f)(0) $
Jawab:
Untuk menjawabnya, akan lebih mudah jika kita gambarkan dalam diagram panah untuk kedua fungsi tersebut, seperti berikut.
Sehingga dapat diperoleh,
$f \circ g = \{(1,3),(3,4),(4,10),(6,6)(10,1)\}$
$g \circ f = \{(4,0),(0,1),(1,2),(3,3)(2,4)\}$
$(f \circ g)(3)= f(g(3))=f(1)=4$
$(f \circ g)(6)= f(g(6))=f(3)=6$
$(g \circ f)(1)= g(f(1))=g(4)=2$
$(g \circ f)(0)= g(f(0))=g(3)=1$
Contoh Soal 2
Diketahui $f(x)= 4x + 1$ dan $g(x)=3x-5$. Tentukan $(f \circ g)(2)$ dan $(g\circ f)(-1)$.
Jawab:
$(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(3x-5)$
Karena fungsi $f(x)= 4x + 1$, maka
$\begin{aligned} f(3x-5) &= 4(3x-5) + 1 \\ &= 12x-20+1 \\ &= 12x-19 \end{aligned}$
Untuk memperoleh $(f \circ g)(2)$, substitusikan nilai $x=2$ ke $(f \circ g)(x)$
$(f \circ g)(2)=12(2)-19=5$
Jadi, $(f \circ g)(2)=5$
$(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(4x + 1)$
Karena fungsi $g(x)= 3x-5$, maka
$\begin{aligned} g(4x + 1) &= 3(4x+1)-5 \\ &= 12x+3-5 \\ &= 12x-2 \end{aligned}$
Untuk memperoleh $(g \circ f)(-1)$, substitusikan nilai $x=-1$ ke $(g\circ f)(x)$
$(g \circ f)(-1)=12(-1)-2=-14$
Jadi, $(g \circ f)(-1)=-14$
Contoh Soal 3
Jika $g(x)=2x-2$ dan $(g \circ f)(x)=2x^{2}-10x$. Tentukanlah $f(3)$.
Jawab:
$(g \circ f)(x)=2x^{2}-10x$
$g(f(x))=2x^{2}-10x$
Karena $g(x)=2x-2$ maka $g(f(x))=2f(x)-2$. Dengan demikian,
$2f(x)-2=2x^{2}-10x$
$2(f(x)-1)=2(x^{2}-5x)$
$f(x)-1=x^{2}-5x$
$f(x)=x^{2}-5x+1$
Sehingga,
$f(3)=(3)^{2}-5(3)+1=-5$
Contoh Soal 4
Jika $g(x)=x^{2}+2x+3$ dan $(f \circ g)(x)=3x^{2}+6x+5$. Tentukan $f(x)$.
Jawab:
$(f \circ g)(x)=3x^{2}+6x+5$
$f (g(x))=3x^{2}+6x+5$
$f(x^{2}+2x+3)= 3x^{2}+6x+5$
*ruas kanan dimanipulasi agar muncul faktor $(x^{2}+2x+3)$ sehingga bentuknya menjadi
$f(x^{2}+2x+3)= 3(x^{2}+2x+3)-4$
$f(x)=3x-4$
Jadi, diperoleh $f(x)=3x-4$
Contoh Soal 5
Jika $g(x)=x^{2}-16$ dan $(g\circ f)(x)=4x^{2}+16x$. Tentukan $f(x)$.
Jawab:
$(g\circ f)(x)=4x^{2}+16x$
$g(f(x))=4x^{2}+16x$
Karena $g(x)=x^{2}-16$ maka $g(f(x))=(f(x))^{2}-16$. Dengan demikian,
$(f(x))^{2}-16=4x^{2}+16x$
$(f(x))^{2}=4x^{2}+16x+16$
$(f(x))^{2}=(2x+4)^{2}$
Jadi, $f(x)=2x+4$ atau $f(x)=-(2x+4)$
Contoh Soal 6
Diketahui $f(x)=2x-5$ dan $g(x)=6x^{2}-5$. Carilah nilai $a$ jika $(f \circ g)(a)=285$
Jawab:
$(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(6x^{2}-5)$
Diketahui $f(x)=2x-5$ sehingga,
$\begin{aligned} f(6x^{2}-5) &= 2(6x^{2}-5)-5 \\&= 12x^{2}-15 \end{aligned}$
Diperoleh $(f \circ g)(x)=12x^{2}-15$ sehingga,
$(f \circ g)(x)=12x^{2}-15$
$(f \circ g)(a)=12a^{2}-15$
$285=12a^{2}-15$
$300=12a^{2}$
$25=a^{2}$
$a=5$ atau $a=-5$
Contoh Soal 7
Diketahui $f(x)=3x-4$ dan $g(x)=2x+a$. Jika $(g\circ f) (x)=(f \circ g)(x)$, tentukan nilai $a$
Jawab:
$(g\circ f) (x)=(f \circ g)(x)$
$g(f(x))=f (g(x))$
$g(3x-4)=f(2x+a)$
$2(3x-4)+a=3(2x+a)-4$
$6x-8+a=6x+3a-4$
$-4=2a$
$a=-2$
Jadi, nilai $a$ adalah $-2$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi fungsi komposisi. Selamat belajar sob.
Referensi
Djumanta, Wahyudin dan R. 2008. Sudrajat. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Sutrima dan Budi Usodo. 2009. Matematika 2: untuk SMA / MA Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 2: untuk kelas XI SMA/MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
