Contoh Soal Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers beserta Pembahasannya #3
Hai sob, lanjut lagi dengan postingan mimin, kali ini dengan pokok bahasan materi fungsi komposisi dan fungsi invers (kelas 10 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Diketahui fungsi $f(x)=2x+4$ dan $(g \circ f)(x)=4x^2+12x+6$. Tentukan rumus $g(x)$
Jawab:
$\begin{aligned} (g \circ f)(x)&=4x^2+12x+6\\ g(f(x))&=4x^2+12x+6\\ g(2x+4)&= 4x^2+12x+6\\ \\ \text{Misalkan, y=2x+4} \rightarrow x&=\frac{y-4}{2}\\ g(y)&= 4(\frac{y-4}{2})^2+12(\frac{y-4}{2})+6\\ g(y)&= (y-4)^2+6(y-4)+6\\ g(y)&= y^2-8y+16+6y-24+6\\g(y)&= y^2-2y-2\\ g(x)&= x^2-2x-2 \end{aligned}$
Jadi, $g(x)= x^2-2x-2$
Contoh soal 2
Diketahui fungsi $f(x)=x^2+1$ dan $g(x)=2x-3$. Tentukan $(f \circ g)(x)$
Jawab:
$\begin{aligned} (f \circ g)(x)&=f(g(x))\\ &= (g(x))^2+1\\ &= (2x-3)^2+1\\ &=4x^2-12x+9+1\\ &= 4x^2-12x+10 \end{aligned}$
Jadi, $(f \circ g)(x)= 4x^2-12x+10$
Contoh soal 3
Diketahui fungsi $f(x)=x+3$ dan $(f \circ g)(x)=x^2+6x+7$. Tentukan rumus $g(x)$
Jawab:
$\begin{aligned} (f \circ g)(x)&=x^2+6x+7\\ f(g(x))&=x^2+6x+7\\ g(x)+3&=x^2+6x+7\\ g(x)&= x^2+6x+7-3\\g(x)&= x^2+6x+4 \end{aligned}$
Jadi, $g(x)=x^2+6x+4$
Contoh soal 4
Tentukan fungsi invers dari $f(x)=\frac{2x-5}{3x+1}$, untuk $x \neq -\frac{1}{3}$.
Jawab:
Misalkan $y=f(x)$, untuk $x \neq -\frac{1}{3}$,
$\begin{aligned} y &= \frac{2x-5}{3x+1} \\ y(3x+1) &= 2x -5 \\ 3xy+y &= 2x-5 \\ 3xy-2x &= -5-y \\ x(3y-2) &= -5-y \\ x &= \frac{-5-y}{3y-2} \\ f^{-1}(y) &= \frac{-5-y}{3y-2} \\ f^{-1}(x) &= \frac{-5-x}{3x-2}\\ f^{-1}(x) &= \frac{-(5+x)}{-(2-3x)}\\ f^{-1}(x) &= \frac{x+5}{2-3x} \end{aligned}$
Jadi, $f^{-1}(x) = \frac{x+5}{2-3x}$, untuk $x \neq \frac{2}{3}$
Contoh soal 5
Jika $f(x)=\frac{x+5}{2x+1}$ maka $f^{-1}(3)=...$
Jawab:
Misalkan $y=f(x)$, untuk $x \neq -\frac{1}{2}$,
$\begin{aligned} y &= \frac{x+5}{2x+1} \\ y(2x+1) &= x +5 \\ 2xy+y &= x+5 \\ 2xy-x &= 5-y \\ x(2y-1) &= 5-y \\ x &= \frac{5-y}{2y-1} \\ f^{-1}(y) &= \frac{5-y}{2y-1} \\ f^{-1}(x) &= \frac{5-x}{2x-1}\\ f^{-1}(3) &=\frac{5-3}{2.3-1} \\ f^{-1}(3) &= \frac{2}{5} \end{aligned}$
Jadi, $f^{-1}(3)=\frac{2}{5} $
Contoh soal 6
Diketahui fungsi $f(x)=x+3$ dan $g(x)=5x-2$. Tentukan rumus $(f \circ g)^{-1}(x)$
Jawab:
$\begin{aligned} (f \circ g)(x)&= f(g(x))\\ &= g(x)+3\\ &= 5x-2+3\\ &= 5x+1\\ (f \circ g)(x) &= 5x+1\\ \\ \text{Misalkan,} (f \circ g)(x)&=y \\ y&= 5x+1\\ 5x&=y-1\\x&=\frac{y-1}{5}\\ (f \circ g)^{-1}(y)&=\frac{y-1}{5}\\ (f \circ g)^{-1}(x)&=\frac{x-1}{5} \end{aligned}$
Jadi, $(f \circ g)^{-1}(x)$ adalah $\frac{x-1}{5}$
Contoh soal 7
Jika $f(x)=7x-2$ maka $f^{-1}(x+1)=...$
Jawab:
Misalkan $y=f(x)$,
$\begin{aligned} f(x)&=7x-2\\ y&=7x-2\\ x&=\frac{y+2}{7}\\ f^{-1}(y) &= \frac{y+2}{7}\\ f^{-1}(x) &= \frac{x+2}{7}\\ f^{-1}(x+1) &= \frac{x+1+2}{7}\\ f^{-1}(x+1) &= \frac{x+3}{7} \end{aligned}$
Jadi, $f^{-1}(x+1)=\frac{x+3}{7}$
Contoh soal 8
Jika $(f \circ g)(x)=10x^2-8x-3$ dan $g(x)=2x+4$ maka $f(x)=...$
Jawab:
$\begin{aligned} (f \circ g)(x)&=10x^2-8x-3\\ f(g(x))&=10x^2-8x-3\\ f(2x+4)&=10x^2-8x-3\\ \text{Misalkan, y=2x+4} \rightarrow x&=\frac{y-4}{2} \\ f(y)&=10(\frac{y-4}{2})^2-8(\frac{y-4}{2})-3\\ f(y)&=\frac{10}{4}(y-4)^2-4(y-4)-3\\ f(y)&=\frac{10}{4}(y^2-8y+16)^2-4y+16-3\\ f(y)&=\frac{5}{2}y^2-20y+40-4y+16-3\\ f(y)&=\frac{5}{2}y^2-24y+53\\ f(x)&=\frac{5}{2}x^2-24x+53 \end{aligned}$
Jadi, $f(x)=\frac{5}{2}x^2-24x+53 $
Contoh soal 9
Jika $f(x)=2x-3$ dan $(g \circ f)(x)=6x+10$ maka $g^{-1}(x)=...$
Jawab:
$\begin{aligned} (g \circ f)(x)=6x+10\\ g(f(x))&=6x+10\\ g(2x-3)&=6x+10\\ \\ \text{Misalkan, y=2x-3} \rightarrow x&=\frac{y+3}{2} \\ g(y)&= 6x+10\\g(y)&= 6(\frac{y+3}{2})+10\\ g(y)&= 3y+9+10 \\g(y)&= 3y+19\\ g(x)&= 3x+19\\ \\ \text{Misalkan, g(x)=y}\\ y&= 3x+19\\ x&=\frac{y-19}{3}\\ g^{-1}(y) &= \frac{y-19}{3}\\ g^{-1}(x) &= \frac{x-19}{3} \end{aligned}$
Jadi, $g^{-1}(x)=\frac{x-19}{3}$
Contoh soal 10
Jika $f(x)=\frac{x+2}{2x+3}$ dan $g(x)=3x-1$ maka $(g \circ f)(-2)=...$
Jawab:
$\begin{aligned} (g \circ f)(x)&=g(f(x))\\ &=g(\frac{x+2}{2x+3})\\&=3(\frac{x+2}{2x+3})-1 \\ (g \circ f)(-2)&=3(\frac{-2+2}{2(-2)+3})-1\\(g \circ f)(-2)&=-1 \end{aligned}$
Jadi, $(g \circ f)(-2)=-1$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi fungsi komposisi dan fungsi invers (kelas 10 SMA). Semoga bermanfaat.
Referensi
Tim Grasindo. 2014. Intisari Materi dan Soal-soal Penting Matematika dan IPA SMA Kelas X, XI, XII. Jakarta: PT Grasindo.
