Contoh Soal Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers beserta Pembahasannya #3

 

Hai sob, lanjut lagi dengan postingan mimin, kali ini dengan pokok bahasan materi fungsi komposisi dan fungsi invers (kelas 10 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.

Contoh soal 1

Diketahui fungsi $f(x)=2x+4$ dan $(g\circ f)(x)=4x^2+12x+6$. Tentukan rumus $g(x)$

Jawab:

$\begin{array}{rl}(g\circ f)(x)& =4x^2+12x+6\\ g(f(x))& =4x^2+12x+6\\ g(2x+4)& =4x^2+12x+6\\ \\ \text{Misalkan, y=2x+4}\to x& =\frac{y-4}{2}\\ g(y)& =4(\frac{y-4}{2}{)}^2+12(\frac{y-4}{2})+6\\ g(y)& =(y-4{)}^2+6(y-4)+6\\ g(y)& =y^2-8y+16+6y-24+6\\ g(y)& =y^2-2y-2\\ g(x)& =x^2-2x-2\end{array}$

Jadi, $g(x)=x^2-2x-2$

Contoh soal 2

Diketahui fungsi $f(x)=x^2+1$ dan $g(x)=2x-3$. Tentukan $(f\circ g)(x)$

Jawab:

$\begin{array}{rl}(f\circ g)(x)& =f(g(x))\\ & =(g(x){)}^2+1\\ & =(2x-3{)}^2+1\\ & =4x^2-12x+9+1\\ & =4x^2-12x+10\end{array}$

Jadi, $(f\circ g)(x)=4x^2-12x+10$

Contoh soal 3

Diketahui fungsi $f(x)=x+3$ dan $(f\circ g)(x)=x^2+6x+7$. Tentukan rumus $g(x)$

Jawab:

$\begin{array}{rl}(f\circ g)(x)& =x^2+6x+7\\ f(g(x))& =x^2+6x+7\\ g(x)+3& =x^2+6x+7\\ g(x)& =x^2+6x+7-3\\ g(x)& =x^2+6x+4\end{array}$

Jadi, $g(x)=x^2+6x+4$

Contoh soal 4

Tentukan fungsi invers dari $f(x)=\frac{2x-5}{3x+1}$, untuk $x\ne -\frac{1}{3}$.

Jawab:

Misalkan $y=f(x)$, untuk $x\ne -\frac{1}{3}$,

$\begin{array}{rl}y& =\frac{2x-5}{3x+1}\\ y(3x+1)& =2x-5\\ 3xy+y& =2x-5\\ 3xy-2x& =-5-y\\ x(3y-2)& =-5-y\\ x& =\frac{-5-y}{3y-2}\\ f^{-1}(y)& =\frac{-5-y}{3y-2}\\ f^{-1}(x)& =\frac{-5-x}{3x-2}\\ f^{-1}(x)& =\frac{-(5+x)}{-(2-3x)}\\ f^{-1}(x)& =\frac{x+5}{2-3x}\end{array}$

Jadi, $f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2-3x}$, untuk $x\ne \frac{2}{3}$

Contoh soal 5

Jika $f(x)=\frac{x+5}{2x+1}$ maka $f^{-1}(3)=...$

Jawab:

Misalkan $y=f(x)$, untuk $x\ne -\frac{1}{2}$,

$\begin{array}{rl}y& =\frac{x+5}{2x+1}\\ y(2x+1)& =x+5\\ 2xy+y& =x+5\\ 2xy-x& =5-y\\ x(2y-1)& =5-y\\ x& =\frac{5-y}{2y-1}\\ f^{-1}(y)& =\frac{5-y}{2y-1}\\ f^{-1}(x)& =\frac{5-x}{2x-1}\\ f^{-1}(3)& =\frac{5-3}{2.3-1}\\ f^{-1}(3)& =\frac{2}{5}\end{array}$

Jadi, $f^{-1}(3)=\frac{2}{5}$

Contoh soal 6

Diketahui fungsi $f(x)=x+3$ dan $g(x)=5x-2$. Tentukan rumus $(f\circ g{)}^{-1}(x)$

Jawab:

$\begin{array}{rl}(f\circ g)(x)& =f(g(x))\\ & =g(x)+3\\ & =5x-2+3\\ & =5x+1\\ (f\circ g)(x)& =5x+1\\ \\ \text{Misalkan,}(f\circ g)(x)& =y\\ y& =5x+1\\ 5x& =y-1\\ x& =\frac{y-1}{5}\\ (f\circ g{)}^{-1}(y)& =\frac{y-1}{5}\\ (f\circ g{)}^{-1}(x)& =\frac{x-1}{5}\end{array}$

Jadi, $(f\circ g{)}^{-1}(x)$ adalah $\frac{x-1}{5}$

Contoh soal 7

Jika $f(x)=7x-2$ maka $f^{-1}(x+1)=...$

Jawab:

Misalkan $y=f(x)$,

$\begin{array}{rl}f(x)& =7x-2\\ y& =7x-2\\ x& =\frac{y+2}{7}\\ f^{-1}(y)& =\frac{y+2}{7}\\ f^{-1}(x)& =\frac{x+2}{7}\\ f^{-1}(x+1)& =\frac{x+1+2}{7}\\ f^{-1}(x+1)& =\frac{x+3}{7}\end{array}$

Jadi, $f^{-1}(x+1)=\frac{x+3}{7}$

Contoh soal 8

Jika  $(f\circ g)(x)=10x^2-8x-3$ dan $g(x)=2x+4$ maka  $f(x)=...$

Jawab:

$\begin{array}{rl}(f\circ g)(x)& =10x^2-8x-3\\ f(g(x))& =10x^2-8x-3\\ f(2x+4)& =10x^2-8x-3\\ \text{Misalkan, y=2x+4}\to x& =\frac{y-4}{2}\\ f(y)& =10(\frac{y-4}{2}{)}^2-8(\frac{y-4}{2})-3\\ f(y)& =\frac{10}{4}(y-4{)}^2-4(y-4)-3\\ f(y)& =\frac{10}{4}(y^2-8y+16{)}^2-4y+16-3\\ f(y)& =\frac{5}{2}{y}^2-20y+40-4y+16-3\\ f(y)& =\frac{5}{2}{y}^2-24y+53\\ f(x)& =\frac{5}{2}{x}^2-24x+53\end{array}$

Jadi, $f(x)=\frac{5}{2}{x}^2-24x+53$

Contoh soal 9

Jika $f(x)=2x-3$ dan $(g\circ f)(x)=6x+10$ maka  $g^{-1}(x)=...$

Jawab:

$\begin{array}{r}(g\circ f)(x)=6x+10\\ g(f(x))& =6x+10\\ g(2x-3)& =6x+10\\ \\ \text{Misalkan, y=2x-3}\to x& =\frac{y+3}{2}\\ g(y)& =6x+10\\ g(y)& =6(\frac{y+3}{2})+10\\ g(y)& =3y+9+10\\ g(y)& =3y+19\\ g(x)& =3x+19\\ \\ \text{Misalkan, g(x)=y}\\ y& =3x+19\\ x& =\frac{y-19}{3}\\ g^{-1}(y)& =\frac{y-19}{3}\\ g^{-1}(x)& =\frac{x-19}{3}\end{array}$

Jadi, $g^{-1}(x)=\frac{x-19}{3}$

Contoh soal 10

Jika $f(x)=\frac{x+2}{2x+3}$ dan $g(x)=3x-1$ maka  $(g\circ f)(-2)=...$

Jawab:

$\begin{array}{rl}(g\circ f)(x)& =g(f(x))\\ & =g(\frac{x+2}{2x+3})\\ & =3(\frac{x+2}{2x+3})-1\\ (g\circ f)(-2)& =3(\frac{-2+2}{2(-2)+3})-1\\ (g\circ f)(-2)& =-1\end{array}$

Jadi, $(g\circ f)(-2)=-1$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi fungsi komposisi dan fungsi invers (kelas 10 SMA). Semoga bermanfaat. 

Referensi

Tim Grasindo. 2014. Intisari Materi dan Soal-soal Penting Matematika dan IPA SMA Kelas X, XI, XII. Jakarta: PT Grasindo.