Contoh Soal Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers beserta Pembahasannya #2
Hai sob, lanjut lagi dengan postingan mimin, kali ini dengan pokok bahasan materi fungsi komposisi dan fungsi invers (kelas 10 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Diketahui fungsi $f(x)=3x^{2}-4x+6$ dan $g(x)= 2x-1$. Jika nilai $(f \circ g)(x)=101$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah ...
Jawab:
Diketahui $f(x)=3x^{2}-4x+6$ dan $g(x)= 2x-1$.
$\begin{aligned} (f \circ g)(x)&=101\\ f(g(x))&=101\\ f(2x-1)&=101 \\ 3(2x-1)^{2}-4(2x-1)+6&=101\\ 3(4x^2-4x+1)-8x+4+6&=101\\ 12x^2-12x+3-8x+4+6&=101\\ 12x^2-20x+13&=101\\ 12x^2-20x-88&=0\\ 3x^2-5x-22&=0\\ (x+2)(3x-11)&=0\\ x=-2 \vee x&=\frac{11}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=-2$ dan $\frac{11}{3}$
Contoh soal 2
Diketahui $(f \circ g)(x)=4^{2x+1}$. Jika $g(x)=2x-1$ maka $f(x)= ...$
Jawab:
$\begin{aligned} (f \circ g)(x)&=4^{2x+1}\\ f(g(x))&= 4^{2x+1}\\ f(2x-1)&= 4^{2x+1}\\ \\ \text{Misalkan, y=2x-1} \rightarrow x&=\frac{y+1}{2}\\ f(y)&= 4^{2(\frac{y+1}{2})+1}\\ f(y)&= 4^{y+1+1}\\ f(y)&= 4^{y+2}\\f(x)&= 4^{x+2} \end{aligned}$
Jadi, $f(x)= 4^{x+2}$
Contoh soal 3
Jika $f(x)=\sqrt{x+1}$ dan $(f \circ g)(x)=2\sqrt{x+1}$ maka fungsi $g$ adalah $g(x)=...$
Jawab:
$\begin{aligned} (f \circ g)(x)&=2\sqrt{x+1}\\ f(g(x))&=2\sqrt{x+1}\\ \sqrt{g(x)+1}&=2\sqrt{x+1}\\ g(x)+1&= 4(x+1)\\ g(x)&= 4x+4-1\\ g(x)&= 4x+3 \end{aligned}$
Jadi, $g(x)=4x+3$
Contoh soal 4
Ditentukan $g(f(x))=f(g(x))$. Jika $f(x)=2x+p$ dan $g(x)=3x+120$ maka nilai $p$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} g(f(x))&=f(g(x))\\ 3.f(x)+120&=2.g(x)+p\\ 3(2x+p)+120&=2(3x+120)+p\\ 6x+3p+120&=6x+240+p \\ 3p-p&=240-120\\ 2p&= 120\\ p&=60 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ adalah $60 $
Contoh soal 5
Tentukan fungsi invers dari $f(x)=\frac{2x-1}{3x+4}$, untuk $x \neq -\frac{4}{3}$.
Jawab:
Misalkan $y=f(x)$, untuk $x \neq -\frac{4}{3}$,
$\begin{aligned} y &= \frac{2x-1}{3x+4} \\ y(3x+4) &= 2x -1 \\ 3xy+4y &= 2x-1 \\ 3xy-2x &= -1-4y \\ x(3y-2) &= -1-4y \\ x &= \frac{-1-4y}{3y-2} \\ f^{-1}(y) &= \frac{-1-4y}{3y-2} \\ f^{-1}(x) &= \frac{-1-4x}{3x-2}\\ f^{-1}(x) &= \frac{-(1+4x)}{-(2-3x)}\\ f^{-1}(x) &= \frac{4x+1}{2-3x} \end{aligned}$
Jadi, $f^{-1}(x) = \frac{4x+1}{2-3x}$, untuk $x \neq \frac{2}{3}$
Contoh soal 6
Diketahui $f(x-1)=\frac{x-1}{2x-1}$, untuk $x \neq \frac{1}{2}$. Tentukan $f^{-1}(2x-1)$
Jawab:
$\begin{aligned} f(x-1)&=\frac{x-1}{2x-1}\\ \\ \text{Misalkan,} x-1=y \rightarrow x&=y+1\\ f(y)&=\frac{(y+1)-1}{2(y+1)-1}\\ f(y)&=\frac{y}{2y+1}\\ f(x)&=\frac{x}{2x+1}\\ \\ \text{Misalkan,} f(x)&=y\\ y&=\frac{x}{2x+1}\\ y(2x+1)&= x\\ 2xy+y&=x\\ 2xy-x&= -y\\ x(2y-1)&=-y\\ x&=\frac{-y}{2y-1}\\ f^{-1}(y)&=\frac{-y}{2y-1}\\ f^{-1}(x)&=\frac{-x}{2x-1}\\ f^{-1}(2x-1)&=\frac{-(2x-1)}{2(2x-1)-1}\\ f^{-1}(2x-1)&=\frac{-2x+1}{4x-3} \end{aligned}$
Jadi, $f^{-1}(2x-1)=\frac{-2x+1}{4x-3}$, untuk $x \neq \frac{3}{4}$
Contoh soal 7
Diketahui fungsi $f(x)= 6x-3$, $g(x)=5x+4$, dan $(f \circ g)(a)=81$. Nilai $a=...$
Jawab:
$\begin{aligned} (f \circ g)(x)&=f(g(x))\\ &= 6.g(x)-3\\ &= 6(5x+4)-3\\ &=30x+24-3\\ &= 30x+21\\ (f \circ g)(x)&=30x+21\\ (f \circ g)(a)&=30a+21\\ 81&=30a+21\\30a&=81-21\\ 30a&=60\\a&=2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ adalah $2$
Contoh soal 8
Diketahui fungsi $f(x)=2x+1$ dan $(f \circ g)(x+1)=-2x^{2}-4x-1$. Nilai $g(-2)=...$
Jawab:
Misalkan $x+1=y \rightarrow x=y-1$
$\begin{aligned} (f \circ g)(x+1)&=-2x^{2}-4x-1\\ (f \circ g)(y)&=-2(y-1)^{2}-4(y-1)-1\\ (f \circ g)(x)&=-2(x-1)^{2}-4(x-1)-1\\ (f \circ g)(x)&=-2(x^2-2x+1)-4x+4-1\\ (f \circ g)(x)&=-2x^2+4x-2-4x+4-1\\ (f \circ g)(x)&=-2x^2+1\\ 2g(x)+1&=-2x^2+1\\ 2g(x)&=-2x^2\\ g(x)&=-x^2\\ g(-2)&=-(-2)^2\\ &=-4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $g(-2)$ adalah $-4$
Contoh soal 9
Diketahui $f(x)=\frac{2-3x}{4x+1}$, untuk $x \neq -\frac{1}{4}$. Jika $f^{-1}(x)$ adalah invers fungsi f maka $f^{-1}(x-2)=...$
Jawab:
Misalkan $y=f(x)$,
$\begin{aligned} y &= \frac{2-3x}{4x+1} \\ y(4x+1) &= 2-3x \\ 4xy+y &= 2-3x \\ 4xy+3x &= 2-y \\ x(4y+3) &= 2-y \\ x &= \frac{2-y}{4y+3} \\ f^{-1}(y) &= \frac{2-y}{4y+3} \\ f^{-1}(x) &= \frac{2-x}{4x+3}\\ f^{-1}(x-2) &= \frac{2-(x-2)}{4(x-2)+3}\\&= \frac{2-x+2}{4x-8+3}\\ &= \frac{2-x+2}{4x-8+3}\\ &= \frac{-x+4}{4x-5}\\ &= \frac{4-x}{4x-5} \end{aligned}$
Jadi, $f^{-1}(x-2) = \frac{4-x}{4x-5}$, untuk $x \neq \frac{5}{4}$
Contoh soal 10
Diketahui $f(x)= 2x-5$, $g(x)=2-3x$ maka $(f \circ g)^{-1}(x)=...$
Jawab:
$\begin{aligned} (f \circ g)(x)&= f(g(x))\\ &= 2g(x)-5\\ &= 2(2-3x)-5\\ &= 4-6x-5\\ (f \circ g)(x) &= -6x-1\\ \\ \text{Misalkan,} (f \circ g)(x)&=y \\ y&= -6x-1\\ 6x&=-1-y\\x&=\frac{-1-y}{6}\\ (f \circ g)^{-1}(y)&=\frac{-1-y}{6}\\ (f \circ g)^{-1}(x)&=\frac{-1-x}{6} \end{aligned}$
Jadi, $(f \circ g)^{-1}(x)$ adalah $\frac{-1-x}{6}$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi fungsi komposisi dan fungsi invers SMA (kelas 10). Semoga bermanfaat.
Referensi
Suyatno. 2010. Jujitsu (Jurus Jitu Taklukkan Soal Ujian) Matematika SMA. Jakarta: Media Pusindo.
