Contoh Soal Pertidaksamaan Eksponen SMA/MA beserta Pembahasannya
Sifat-sifat Pertidaksamaan Eksponen
$\bullet$ Untuk $a>1$ (tanda pertidaksamaan tidak berubah)
Jika $a^{f(x)}<a^{g(x)}$ maka $f(x)<g(x)$
Jika $a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ maka $f(x) \leq g(x)$
Jika $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ maka $f(x)>g(x)$
Jika $a^{f(x)} \geq a^{g(x)}$ maka $f(x) \geq g(x)$
$\bullet$ Untuk $0<a<1$ (tanda pertidaksamaan berubah)
Jika $a^{f(x)}<a^{g(x)}$ maka $f(x)>g(x)$
Jika $a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ maka $f(x) \geq g(x)$
Jika $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ maka $f(x)<g(x)$
Jika $a^{f(x)} \geq a^{g(x)}$ maka $f(x) \leq g(x)$
$\bullet$ Pertidaksamaan eksponen yang diselesaikan dengan menggunakan konsep pertidaksamaan kuadrat.
Untuk lebih jelasnya, berikut ini contoh-contoh soal-nya.
Contoh Soal 1
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $(\frac{1}{2})^{x+5} \leq \sqrt{\frac{16}{2^{4x+4}}}$
Jawab:
$\begin{align} (\frac{1}{2})^{x+5} &\leq \sqrt{\frac{16}{2^{4x+4}}} \\ (\frac{1}{2})^{x+5} &\leq \sqrt{\frac{2^{4}}{2^{4x+4}}} \\ (2^{-1})^{x+5} &\leq ({\frac{2^{4}}{2^{4x+4}}})^{\frac{1}{2}} \\ 2^{-1(x+5)} &\leq 2^{\frac{1}{2}(4-4x-4)} \end{align}$
karena basisnya $a=2>1$, maka dapat diperoleh
$\begin{align} -1(x+5) & \leq \frac{1}{2}(4-4x-4) \\ -x-5 & \leq -2x \\ x & \leq 5 \end{align}$
Jadi, HP $=\{x \leq 5\}$
Contoh Soal 2
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $(\frac{1}{2})^{x+1} \geq \sqrt{\frac{1}{4^{x^{2}+6x+5}}}$
Jawab:
$\begin{align} (\frac{1}{2})^{x+1} &\geq \sqrt{\frac{1}{4^{x^{2}+6x+5}}} \\ (\frac{1}{2})^{x+1} &\geq \sqrt{\frac{1}{2^{2(x^{2}+6x+5)}}} \\ (2^{-1})^{x+1} &\geq 2^{-2 \cdot \frac{1}{2}(x^{2}+6x+5)} \\ 2^{-1(x+1)} &\geq 2^{-x^{2}-6x-5} \end{align}$
karena basisnya $a=2>1$, maka dapat diperoleh
$\begin{align} -1(x+1) & \geq -x^{2}-6x-5 \\ -x-1 & \geq -x^{2}-6x-5 \\ x^{2}+6x-x+5-1 & \geq 0 \\ x^{2}+5x+4 & \geq 0 \\ (x+4)(x+1) & \geq 0 \end{align}$
Pembuat nol: $x=-4$ atau $x=-1$
Jadi, HP $=\{x \leq -4~ atau~ x \geq -1\}$
Contoh Soal 3
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $9^{x^{2}-2x-3} \cdot 3^{5x-4} \leq \frac{1}{81}$
Jawab:
$\begin{aligned} 9^{x^{2}-2x-3} \cdot 3^{5x-4} &\leq \frac{1}{81} \\ 3^{2(x^{2}-2x-3)+(5x-4)} &\leq 3^{-4} \end{aligned}$
karena basisnya $a=3>1$, maka dapat diperoleh
$\begin{align} 2(x^{2}-2x-3)+(5x-4) & \leq -4 \\ 2x^{2}-4x+5x-6-4+4 & \leq 0 \\ 2x^{2}+x-6 & \leq 0 \\ (x+2)(2x-3) & \leq 0 \end{align}$
Pembuat nol: $x=-2$ atau $x=\frac{3}{2}$
Jadi, HP $= -2 \leq x \leq \frac{3}{2}$
Contoh Soal 4
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $(\frac{1}{4})^{x-3} < (\frac{1}{16})^{9-3x}$
Jawab:
$\begin{aligned} (\frac{1}{4})^{x-3} &< (\frac{1}{16})^{9-3x} \\ (\frac{1}{4})^{x-3} &< (\frac{1}{4})^{2(9-3x)} \end{aligned}$
Karena basisnya $a=\frac{1}{4}<1$, maka dapat diperoleh
$\begin{aligned} x-3 &> 2(9-3x) \\ x-3 &> 18-6x \\ x+6x &> 18+3 \\ 7x &> 21 \\ x &> 3 \end{aligned}$
Jadi, HP $=\{x>3\}$
Contoh Soal 5
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $25^{5x}-6 \cdot 5^{5x+1}+ 125 \leq 0$
Jawab:
$\begin{aligned} 25^{5x}-6 \cdot 5^{5x+1}+ 125 &\leq 0 \\ (5^{5x})^{2}-30 \cdot 5^{5x}+ 125 &\leq 0 \\ (5^{5x}-5)(5^{5x}-25) &\leq 0 \end{aligned}$
$5 \leq 5^{5x} \leq 25 $
$5^{1} \leq 5^{5x} \leq 5^{2} $
$1 \leq 5x \leq 2 $
$\frac{1}{5} \leq x \leq \frac{2}{5} $
Jadi, HP $=\{\frac{1}{5} \leq x \leq \frac{2}{5}\}$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi pertidaksamaan eksponen. Semoga bermanfaat.
Baca juga :
