Contoh Soal Persamaan Eksponen SMA/MA beserta Pembahasannya
Bentuk-bentuk Persamaan Eksponen
Bentuk-bentuk persamaan eksponen diantaranya adalah sebagai berikut.
$\bullet~~a^{f(x)}=1$, maka $f(x)=0$, syarat: $a \neq 0$
$\bullet~~a^{f(x)}=a^{p}$, maka $f(x)=p$, syarat: $a>0$, $a \neq 1$
$\bullet~~a^{f(x)}=a^{g(x)}$, maka $f(x)=g(x)$, syarat: $a>0$, $a \neq 1$
$\bullet~~a^{f(x)}=b^{f(x)}$, maka $f(x)=0$, syarat: $a>0$, $b>0$, $a,b \neq 1$
Contoh Soal 1
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2^{x^{2}+x-2}=1$
Jawab:
$\begin{aligned} 2^{x^{2}+x-2} & = 1 \\ 2^{x^{2}+x-2} & = 2^{0} \\ x^{2}+x-2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \end{aligned}$
$x=-2$ atau $x=1$
Jadi, HP $=\{-2, 1\}$
Contoh Soal 2
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\frac{\sqrt[]{(0,09)^{5-2x}}}{(0,3)^{2x+1}}=1$
Jawab:
$\begin{aligned} \frac{\sqrt[]{(0,09)^{5-2x}}}{(0,3)^{2x+1}} & = 1 \\ \frac{((0,3)^{2})^{\frac{5-2x}{2}}}{(0,3)^{2x+1}} & = (0,3)^{0} \\ (0,3)^{5-2x-(2x+1)} & = (0,3)^{0} \\ 5-2x-2x-1) & = 0 \\ -4x+4 & = 0 \\ 4x & = 4 \\ x & = 1 \end{aligned}$
Jadi, HP $=\{ 1\}$
Contoh Soal 3
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\frac{64}{4^{2x-4}}=256^{-0,25}$
Jawab:
$\begin{aligned} \frac{64}{4^{2x-4}} & = 256^{-0,25} \\ \frac{4^{3}}{4^{2x-4}} & = (4^{4})^{-\frac{1}{4}} \\ 4^{3-(2x-4)} & = 4^{-1} \\ 3-2x+4 & = -1 \\ -2x & = -8 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, HP $=\{ 4\}$
Contoh Soal 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $4^{x^{2}-2x+1}=16^{x-1}$
Jawab:
$\begin{aligned} 4^{x^{2}-2x+1} & = 16^{x-1} \\ 4^{x^{2}-2x+1} & = (4^{2})^{x-1} \\ x^{2}-2x+1 & = 2(x-1) \\ x^{2}-2x-2x+1+2 & = 0 \\ x^{2}-4x+3 & = 0 \\ (x-1)(x-3)& = 0 \end{aligned}$
$~~~~~~~~~~x=1$ atau $x=3$
Jadi, HP $=\{1, 3\}$
Contoh Soal 5
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $216^{x^{2}-3x-4}=6^{x^{2}-2x-3}$
Jawab:
$\begin{aligned} 216^{x^{2}-3x-4} &= 6^{x^{2}-2x-3} \\ (6^{3})^{x^{2}-3x-4} &= 6^{x^{2}-2x-3} \\ 3(x^{2}-3x-4) & = x^{2}-2x-3 \\ 3x^{2}-x^{2}-9x+2x-12+3 & = 0 \\ 2x^{2}-7x-9 &= 0 \\ (x+1)(2x-9) &= 0 \end{aligned}$
$~~~~~~~~~~~~~~~~x=-1$ atau $x=\frac{9}{2}$
Jadi, HP $=\{-1,\frac{9}{2}\}$
Contoh Soal 6
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $4^{x^{2}-3x+1}+4^{-3x+x^{2}}=10-5(2^{x^{2}-3x})$
Jawab:
$\begin{aligned} 4^{x^{2}-3x+1}+4^{-3x+x^{2}} & = 10-5(2^{x^{2}-3x}) \\ \text{misalkan} ~~ 2^{x^{2}-3x} & = a \\ 4^{x^{2}-3x} \cdot 4 +4^{x^{2}-3x} & = 10-5(2^{x^{2}-3x}) \\ 4 \cdot (2^{2(x^{2}-3x)}) +(2^{2(x^{2}-3x)}) & = 10-5(2^{x^{2}-3x}) \\ 5 \cdot (2^{x^{2}-3x})^{2} & = 10-5(2^{x^{2}-3x}) \\ 5a^{2} & = 10-5a \\ a^{2} & = 2-a \\ a^{2}+a-2 & = 0 \\ (a+2)(a-1)& = 0 \end{aligned}$
$~~~~~~~~~~~~~~~~a=-2$ (tidak memenuhi) atau $a=1$
Sehingga,
$\begin{aligned} a = 2^{x^{2}-3x} &= 1 \\ 2^{x^{2}-3x} &= 2^{0} \\ x^{2}-3x &= 0 \\ (x)(x-3) &= 0 \end{aligned}$
$x=0$ atau $x=3$
Jadi, HP $=\{0, 3\}$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan eksponen. Semoga bermanfaat.
Baca juga :
