Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer
Beranda / Matematika SMA / Turunan

Contoh Soal Turunan SMA/MA beserta Pembahasannya - Part 2


Berikut ini adalah lanjutan contoh-contoh soal dan pembahasan dari materi turunan sebelumnya. Untuk postingan kali ini, akan kita pelajari bersama terkait sub pokok bahasan persamaan garis singgung kurva dan maksimum dan minimum fungsi. Langsung saja, sobat. Berikut ini ulasannya.

Persamaan Garis Singgung Pada Kurva
Apabila suatu gradien persamaan garis singgung $f(x)$ di titik $(a,f(a))$ diketahui, maka kita dapat mencari persamaan garis singgungnya. 

Persamaan garis lurus yang melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan bergradien $m$ adalah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$. 

Gradien garis singgung $f(x)$ di titik $(a,f(a))$ adalah $y'=f'(a)$, dengan demikian persamaan garis singgungnya dapat dirumuskan sebagai berikut.
$y-f(a)=f'(a)(x-a)$

Contoh Soal 1
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $f(x)= 1 - \frac{1}{2}x^{2}$ di titik $(2,-1)$
Jawab:
Persamaan garis singgung pada kurva $f(x)= 1 - \frac{1}{2}x^{2}$ di titik $(2,-1)$ adalah
$y-(-1)=f'(2) (x-2)$
$y+1=f'(2) (x-2)$

$f(x)= 1 - \frac{1}{2}x^{2}$ maka $f'(x)= -x$ sehingga $f'(2)= -2$
Jadi, persamaan garis singgung pada kurva $f(x)= 1 - \frac{1}{2}x^{2}$ di titik $(2,-1)$ adalah 
$y+1=-2 (x-2) \Leftrightarrow y= -2x +3$

Ilustrasi grafik kurva dan garis singgungnya adalah sebagai berikut.
source: geogebra
Contoh Soal 2
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $f(x)= x^{2}-5x+1$ di titik yang memiliki absis $x=-1$
Jawab:
Persamaan garis singgung pada kurva $f(x)= x^{2}-5x+1$ di titik yang absisnya $x=-1$ adalah
$y-f(-1)=f'(-1) (x+1)$

$f(-1)$ dan $f'(-1)$ ditentukan sebagai berikut:
$f(x)= x^{2}-5x+1$ maka $f(-1)=(-1)^{2}-5(-1)+1=7$
$f'(x)= 2x-5$ maka $f'(-1)= 2(-1)-5=-7$
Jadi, persamaan garis singgung pada kurva $f(x)= x^{2}-5x+1$ di titik $(-1,7)$ adalah 
$y-7=-7 (x+1) \Leftrightarrow y= -7x $

Ilustrasi grafik kurva dan garis singgungnya adalah sebagai berikut.
source: geogebra
Contoh Soal 3
Tentukan persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}-4x-5$ yang sejajar garis $y=2x-5$
Jawab:
Jika $(x,y)$ titik singgung pada kurva, maka kemiringan garis singgung di titik itu adalah:
$m_{1}=y'=2x-4$

Garis $y=2x-5$ memiliki gradien $m_{2}=2$. Dua garis saling sejajar, maka $m_{1}=m_{2}$. Sehingga diperoleh $m_{1}=2$

Oleh karena itu,
$m_{1}=y'=2x-4$
$\Leftrightarrow 2=2x-4$
$\Leftrightarrow 6=2x$
$\Leftrightarrow x=3$

Subtitusi untuk $x=3$, memberikan $y=(3)^{2}-4(3)-5=-8$. Jadi, koordinat titik singgung adalah$(3,-8)$, dan persamaan garis singgungnya adalah:
$y-(-8)=2 (x-3) \Leftrightarrow y= 2x-14 $

Ilustrasi grafik kurva dan garis singgungnya adalah sebagai berikut.
source: geogebra
Contoh Soal 4
Tentukan persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}-2x-3$ yang tegak lurus $2y+x-6=0$
Jawab:
Jika $(x,y)$ titik singgung pada kurva, maka kemiringan garis singgung di titik itu adalah:
$m_{1}=y'=2x-2$

Garis $2y+x-6=0\Leftrightarrow y=-\frac {1}{2}x + 3$ memiliki gradien $m_{2}=-\frac {1}{2}$. Dua garis saling tegak lurus, maka:
$m_{1}\cdot m_{2}=-1$ 
$\Leftrightarrow m_{1}\cdot (-\frac {1}{2})= -1$
$\Leftrightarrow m_{1}= 2$

Oleh karena itu,
$m_{1}=y'=2x-2$
$\Leftrightarrow 2=2x-2$
$\Leftrightarrow 4=2x$
$\Leftrightarrow x=2$

Subtitusi untuk $x=2$, memberikan $y=2^{2}-2(2)-3=-3$. Jadi, koordinat titik singgung adalah$(2,-3)$, dan persamaan garis singgungnya adalah:
$y-(-3)=2 (x-2)$ 
$\Leftrightarrow y+3 = 2x-4$
$\Leftrightarrow y = 2x - 7$

Ilustrasi grafik kurva dan garis singgungnya adalah sebagai berikut.
source: geogebra
Contoh Soal 5
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $y=f(x)$ di titik $(-1,1)$ jika $f'(x)=3x^{2}-2$
Jawab:
Persamaan garis singgung pada kurva $y=f(x)$ di titik $(-1,1)$, menurut rumus adalah
$y-f(-1)=f'(-1) (x+1)$

Diketahui $f(-1)=1$ dan $f'(x)=3x^{2}-2$ maka $f'(-1)=3(-1)^{2}-2=1$
Jadi, persamaan garis singgung di titik $(-1,1)$ adalah 
$y-1=1 (x+1) \Leftrightarrow y= x + 2$

Maksimum dan Minimum Fungsi
Contoh Soal 6
Jika $x$ dan $y$ bilangan bulat positif sedemikian rupa sehingga jumlahnya 30, tentukan $x$ dan $y$ supaya $xy^{2}$ bernilai maksimum.
Jawab:
Misalkan $P$ adalah hasil dari $xy^{2}$.
Dengan demikian,
$x+ y=30 \Leftrightarrow x=30-y$ ...$(1)$
$P=xy^{2}$ ...$(2)$
Subtitusi $(1)$ ke $(2)$ sehingga diperoleh
$ P=(30-y)y^{2}$
$ P=30y^{2}-y^{3}$

Agar $P$ bernilai maksimum, turunan pertama fungsi $P$ harus sama dengan nol.
$P'=0$
$60y-3y^{2}=0$
$3y(20-y)=0$
$y=0$ atau $y=20$

Yang memenuhi syarat adalah $y=20$; $y=0$ tidak memenuhi karena bukan bilangan bulat positif.
Sehingga diperoleh, $x+y=30 \Leftrightarrow x+20=30 \Leftrightarrow x=10$
Dengan demikian untuk $x=10$ dan $y=20$ diperoleh perkalian maksimum yaitu, $P=10\cdot 20^{2}=4000$

Contoh Soal 7
Selembar alumunium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume $27000\pi  cm^{3}$.Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar alumunium yang digunakan seminimal mungkin.
Jawab:
Misalkan, volume silinder$= V(r)$, tinggi silinder$= t$, jari-jari alas silinder$= r$, dan luas permukaan silinder$=L(r)$.
$V(r)=\pi r^{2} t $
$27000\pi= \pi r^{2} t $
$t= \frac{27000}{r^{2}}$ ...$(1)$

$L(r)=$ luas alas + luas selubung $= \pi r^{2} + 2 \pi r t $ ...$(2)$
Subtitusi $(1)$ ke $(2)$ sehingga diperoleh
$L(r)=$ luas alas + luas selubung $= \pi r^{2} + 2 \pi r \left ( \frac{27000}{r^{2}} \right )$
$=\pi r^{2} + 2 \pi  \left ( \frac{27000}{r} \right )$

Nilai stationer $L(r)$ diperoleh jika nilai $L'(r)=0$ sehingga
$L'(r)= 2\pi r - \frac{54000\pi }{r^{2}} $
$0= 2\pi r - \frac{54000\pi }{r^{2}} $
$2\pi r = \frac{54000\pi }{r^{2}} $
$ r^{3} = 27000 $
$r=30$ ...$(3)$

Subtitusikan $(3)$ ke $(1)$ sehingga diperoleh
$t= \frac{27000}{r^{2}}= \frac{27000}{900} = 30 $ 
Jadi, tinggi silinder $t=30$cm dan jari-jari alas $r=30$cm 

Demikianlah lanjutan dari beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi turunan. Semoga bermanfaat.

Referensi
Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Sutrima dan Budi Usodo. 2009. Matematika 2: untuk SMA / MA Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 2: untuk kelas XI SMA/MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.