Contoh Soal Turunan SMA/MA beserta Pembahasannya - Part 1

Contoh Soal Turunan SMA/MA dan Pembahasan

Menentukan Turunan Fungsi

$f\left ( x \right )=c \cdot u\left (x \right )$, turunannya $f'\left ( x \right )=c \cdot u'\left (x \right )$; $c$= konstanta

Contoh Soal 1

Tentukan $f'\left ( x \right )$ apabila $f\left ( x \right )=\sqrt[3]{5\sqrt{x}}$

Jawab:

$f\left ( x \right )=\sqrt[3]{5\sqrt{x}}= \sqrt[3]{5x^{\frac{1}{2}}}= \sqrt[3]{5}x^{\frac{1}{6}}$, maka

$f'\left ( x \right )= \frac{1}{6}\sqrt[3]{5}x^{-\frac{5}{6}}$

$= \frac{\sqrt[3]{5}}{6\sqrt[6]{x^{5}}}$

$= \frac{1}{6}\sqrt[6]{\frac{25}{x^{5}}}$

$f\left ( x \right )=u\left (x \right ) \pm v\left (x \right )$, turunannya $f'\left ( x \right )=u'\left (x \right ) \pm v'\left (x \right )$

Contoh Soal 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi $f\left ( x \right )= 4x^{5}-x^{3}+ 1$

Jawab:

$f\left ( x \right )= 4x^{5}-x^{3}+ 1$ maka

$f'\left ( x \right )= 4\cdot 5 x^{4}-3x^{2}$

$= 20x^{4}-3x^{2}$

Contoh Soal 3

Tentukan turunan pertama dari fungsi $f\left ( x \right )= \sqrt{x} + \sqrt{\sqrt{x}} - \frac{4}{5}x^{4}$

Jawab:

$f\left ( x \right )= \sqrt{x} + \sqrt{\sqrt{x}} - \frac{4}{5}x^{4} \Leftrightarrow x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} - \frac{4}{5}x^{4}$

$f'\left ( x \right )= \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} - \frac{16}{5}x^{3} $

$= \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{4{\sqrt[4]{x^{3}}}} - \frac{16 x^{3}}{5} $

$f\left ( x \right )=u\left (x \right ) \cdot v\left (x \right )$, turunannya $f'\left ( x \right )=u'\left (x \right ) \cdot v\left (x \right ) + u\left (x \right ) \cdot v'\left (x \right ) $

Contoh Soal 4

Tentukan $f'\left ( x \right )$ apabila $f\left (x \right )=\left ( x^{\frac{1}{3}} + x \right ) \left ( 3x^{\frac{1}{2}}-4x\right )$

Jawab:

Misalkan, $u= x^{\frac{1}{3}} + x \Rightarrow u'=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} + 1 $

$v= 3x^{\frac{1}{2}}-4x \Rightarrow v'=\frac{1}{2}\cdot 3x^{-\frac{1}{2}} - 4$

Sehingga,

$f'\left ( x \right )=u'\left (x \right ) \cdot v\left (x \right ) + u\left (x \right ) \cdot v'\left (x \right )$

$= \left ( \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} + 1 \right )\left ( 3x^{\frac{1}{2}}-4x \right )+\left (x^{\frac{1}{3}} + x \right ) \left ( \frac{1}{2}\cdot 3x^{-\frac{1}{2}} - 4 \right )$

$=\frac{5}{2}x^{-\frac{1}{6}}-\frac{8}{3}x^{\frac{1}{3}}+\frac{9}{2}x^{\frac{1}{2}}-8x$

Contoh Soal 5

Tentukan $f'\left ( x \right )$ apabila $f\left ( x \right )= \left ( x^{4}-2x^{2}+4x \right )\left ( 3x^{2}-9x-5 \right )$

Jawab:

Misalkan, $u= x^{4}-2x^{2}+4x \Rightarrow u'=4x^{3}-4x+4$

$v= 3x^{2}-9x-5 \Rightarrow v'=6x -9$

Sehingga,

$f'\left ( x \right )=u'\left (x \right ) \cdot v\left (x \right ) + u\left (x \right ) \cdot v'\left (x \right ) $

$= \left ( 4x^{3}-4x+4 \right )\left ( 3x^{2}-9x-5 \right )+\left ( x^{4}-2x^{2}+4x \right )\left ( 6x -9 \right )$

$=10x^{5}-45x^{4}-44x^{3}+90x^{2}-52x-20$

$f\left ( x \right )= \frac{u\left ( x \right )}{v\left ( x \right )};v\left ( x \right )\neq 0$, turunannya

$f'\left ( x \right )=\frac{u'\left (v \right )\cdot v\left ( x \right )-u\left ( x \right )\cdot v'\left ( x \right )}{v\left ( x \right )^{2}}$

Contoh Soal 6

Tentukan turunan pertama dari fungsi $f\left ( x \right )=\frac{x^{3}}{4x + 1}$

Jawab:

Misalkan, $u= x^{3}\Rightarrow u'=3x^{2}$

$v= \left ( 4x+1 \right )\Rightarrow v'=4$

Sehingga,

$f'\left ( x \right )=\frac{u'\left (v \right )\cdot v\left ( x \right )-u\left ( x \right )\cdot v'\left ( x \right )}{v\left ( x \right )^{2}}$

$f'\left ( x \right )=\frac{3x^{2}\cdot \left ( 4x+1 \right )-x^{3}\cdot 4}{\left ( 4x+1 \right )^{2}}$

$= \frac{8x^{3}+3x^{2}}{\left ( 4x+1 \right )^{2}}$

Contoh Soal 7

Tentukan turunan pertama dari fungsi $f\left ( x \right )=\frac{2x +4}{5x^{3}+3x-1}$

Jawab:

Misalkan, $u= 2x +4 \Rightarrow u'=2$

$v= \left ( 5x^{3}+3x-1 \right )\Rightarrow v'=15x^{2}+3$

Sehingga,

$f'\left ( x \right )=\frac{u'\left (v \right )\cdot v\left ( x \right )-u\left ( x \right )\cdot v'\left ( x \right )}{v\left ( x \right )^{2}}$

$f'\left ( x \right )=\frac{2\cdot \left ( 5x^{3}+3x-1 \right )-\left ( 2x +4 \right )\cdot \left (15x^{2}+3 \right )}{\left ( 5x^{3}+3x-1 \right )^{2}}$

$= \frac{-2x^{3}+6x^{2}+1}{\left ( 5x^{3}+3x-1 \right )^{2}}$

$f\left ( x \right )=u\left ( x \right )^{n}$, turunannya $f'\left ( x \right )=n.u\left ( x \right )^{n-1}u'\left (x \right )$

Contoh Soal 8

Tentukan $f'\left ( x \right )$ apabila $f\left ( x \right )=\frac{2}{x^{2} -3x}$

Jawab:

$f\left ( x \right )=\frac{2}{x^{2} -3x}\Leftrightarrow 2\left (x^{2}-3x \right )^{-1}$

Misalkan, $u= x^{2}-3x \Rightarrow u'=2x-3$

Sehingga, $f\left ( x \right )=2u^{-1}$

$f'\left ( x \right )= -2u^{-2}\cdot u'$

$= -2\left ( x^{2}-3x \right )^{-2}\cdot \left ( 2x-3 \right ) $

$=\frac{-2\left ( 2x-3 \right )}{\left ( x^{2} -3x \right )^{2}}$

Contoh Soal 9

Tentukan $f'\left ( x \right )$ apabila $f\left ( x \right )=4\sqrt{8x+5}$

Jawab:

$f\left ( x \right )=4\sqrt{8x+5}\Leftrightarrow 4\left (8x+5 \right )^{\frac{1}{2}}$

Misalkan, $u= 8x+5 \Rightarrow u'=8$

Sehingga, $f\left ( x \right )=4\left (u \right )^{\frac{1}{2}}$

$f'\left ( x \right )=4\frac{1}{2}\left (u \right )^{-\frac{1}{2}}\cdot u'$

$=4\frac{1}{2}\left (u \right )^{-\frac{1}{2}} \cdot 8$

$=4\frac{1}{2}\left ( 8x+5 \right )^{-\frac{1}{2}} \cdot 8$

$=\frac{16}{ \sqrt{8x+5} }$

Aturan Rantai

Misalkan terdapat fungsi y = f(u(v(x))), turunan fungsinya dapat ditentukan sebagai berikut.

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dv}\cdot \frac{dv}{dx}$

Contoh Soal 10

Tentukan turunan pertama dari fungsi $y=((3-x)^{5}-2)^{3}$

Jawab:

Misalkan $u= (3-x)^{5}-2$ dan $ v= 3-x$. Dengan demikian,

$y=u^{3}$

$\frac{dy}{du}= 3 u^{2} $

$u=v^{5}-2$

$\frac{du}{dv}= 5 v^{4} $

$v=3-x$

$\frac{dv}{dx}= -1 $

$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} \\ &= (3 u^{2}) \cdot ( 5 v^{4}) \cdot (-1) \\ &= 3 ((3-x)^{5}-2)^{2} \cdot 5(3-x)^{4} \cdot (-1) \\ &= -15((3-x)^{5}-2)^{2} (3-x)^{4} \end{aligned}$

Soal Cerita Turunan Fungsi

Contoh Soal 11

Sebuah perusahaan memproduksi sejumlah barang (x) dengan biaya $p(x)=3x^{2}-2x + 15$; dalam ribuan rupiah. Jika biaya total marginal didefinisikan sebagai $\frac{dp}{dx}$, tentukan biaya total marginal untuk memproduksi barang itu. Berapa biaya total untuk memproduksi 20 barang?

Jawab:

$p(x)=3x^{2}-2x + 15$

$\frac{dp}{dx}=p'(x)=$...

$p'(x)=6x-2 $

$p'(20)=6(20)-2=118 $

Jadi, biaya total untuk memproduksi 20 barang adalah 118 ribu rupiah.

Contoh Soal 12

Panjang dan lebar sebuah persegi panjang adalah $3x+2$ dan $2x$. Carilah laju perubahan luas terhadap $x$ untuk lebar 6 cm.

Jawab:

Misalkan, $L(x)$ adalah luas persegi panjang.

$L(x) = p\cdot l$

$ = (3x+2)(2x)$

$= 6x^{2}+4x$

Laju perubahan luas terhadap x untuk lebar 6 cm, berarti:

$2x=6$ diperoleh $x=3$

Laju perubahan luas terhadap $x = \frac{dL}{dx}=L'(x)= 12x +4$

Sehingga,

Laju perubahan luas terhadap x untuk lebar 6 cm adalah

$L'(3)= 12(3) +4=40$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi turunan. Semoga bermanfaat.

Referensi

Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 2: untuk kelas XI SMA/MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.