Contoh Soal Persamaan Trigonometri dan Pembahasannya

Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan trigonometri. Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.

Sebagai pengingat, berikut ini rumus-rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

Contoh soal 1

Tentukan nilai $x$ dari persamaan $ \sin x= \frac{1}{2}$, untuk $0^\circ<x<360^\circ$

Jawab:

$\begin{aligned} &\sin x = \frac{1}{2} \\ &\sin x = \sin 30^\circ\\ \\&\bullet x= 30^\circ + k.360^\circ \\ &k=0 \rightarrow x= 30^\circ + 0.360^\circ = 30^\circ \\ &k=1 \rightarrow x= 30^\circ + 1.360^\circ = 390^\circ ~(TM)\\ & atau \\& \bullet x= (180-30^\circ) + k.360^\circ \\& x= 150^\circ + k.360^\circ  \\ &k=0 \rightarrow x= 150^\circ + 0.360^\circ = 150^\circ \\ &k=1 \rightarrow x= 150^\circ + 1.360^\circ = 510^\circ ~(TM) \end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{30^\circ,150^\circ \}$

Contoh soal 2

Tentukan nilai $x$ dari persamaan $ \sin (x-30^\circ)= \frac{1}{2} \sqrt{3}$, untuk $0^\circ<x<720^\circ$

Jawab:

$\begin{aligned} &\sin (x-30^\circ)= \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ & \sin(x-30^\circ)= \sin 60^\circ \\ \\&\bullet x-30= 60^\circ + k.360^\circ\\ &x= 90^\circ + k.360^\circ \\ &k=0 \rightarrow x= 90^\circ + 0.360^\circ = 90^\circ \\ &k=1 \rightarrow x= 90^\circ + 1.360^\circ = 450^\circ \\ & atau \\& \bullet (x-30)= (180-60^\circ) + k.360^\circ \\& x= 150^\circ + k.360^\circ  \\ &k=0 \rightarrow x= 150^\circ + 0.360^\circ = 150^\circ \\ &k=1 \rightarrow x= 150^\circ + 1.360^\circ = 510^\circ  \end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{ 90^\circ,150^\circ,450^\circ,510^\circ \}$

Contoh soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos 2x+\sin x=0$, untuk $0^\circ<x<360^\circ$

Jawab:

$\begin{aligned} &\cos 2x+\sin x=0 \\&1-2 \sin^2 x+\sin x=0 \\& -2 \sin^2 x+\sin x+1=0 \\& 2 \sin^2 x-\sin x-1=0\\&(2 \sin x+1)(\sin x-1)=0\\ \\&2 \sin x+1=0\\ & \sin x=-\frac{1}{2}\\ &\text{Diperoleh  } x=210^\circ \text{  dan }x=330^\circ\\ &\color{red}{atau}  \\ &\sin x-1=0\\&\sin x=1\\ &\text{Diperoleh  } x=90^\circ  \end{aligned}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{ 90^\circ,210^\circ,330^\circ \}$

Contoh soal 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:

$\begin{aligned} &a). 2 \cos^2 x-3 \cos x+1=0, \text{untuk  } 0^\circ \leq x \leq 360^\circ\\ &b). 2 \cos^2 x=\cos x+3, \text{untuk  } 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \end{aligned}$

Jawab:

$\begin{aligned} &a). 2 \cos^2 x-3 \cos x+1=0, \text{untuk  } 0^\circ \leq x \leq 360^\circ\\ &2 \cos^2 x-3 \cos x+1=0\\ &(2 \cos x-1)(\cos x-1)=0\\ \\&2 \cos x-1=0\\ & \cos x=\frac{1}{2}\\ &\text{Diperoleh  } x=60^\circ \text{  dan  } x=300^\circ\\ &\color{red}{atau}  \\ &\cos x-1=0\\&\cos x=1\\ &\text{Diperoleh  } x=0^\circ ~dan~x=360^\circ\\ &\text{Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah} \{ 0^\circ,60^\circ,300^\circ,360^\circ \} \\  \\ &b). 2 \cos^2 x=\cos x+3, \text{untuk  } 0^\circ \leq x \leq 360^\circ\\  &2  \cos^2 x=3 \cos x+3\\&2 \cos^2 x-\cos x-3=0\\ &(2 \cos x-3)(\cos x+1)=0\\ \\&2 \cos x-3=0\\ &\cos x=\frac{3}{2}~(TM)\\ &\color{red}{atau}  \\ &\cos x+1=0\\&\cos x=-1\\ &\text{Diperoleh  } x=180^\circ \\  &\text{Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah} \{ 180^\circ \} \end{aligned}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan trigonometri. Semoga bermanfaat.