Contoh Soal Persamaan Trigonometri dan Pembahasannya

Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan trigonometri. Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.

Sebagai pengingat, berikut ini rumus-rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

Contoh soal 1

Tentukan nilai $x$ dari persamaan $\sin x=\frac{1}{2}$, untuk $0^{\circ }<x<{360}^{\circ }$

Jawab:

$\begin{array}{rl}& \sin x=\frac{1}{2}\\ & \sin x=\sin {30}^{\circ }\\ \\ & \bullet x={30}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & k=0\to x={30}^{\circ }+{0.360}^{\circ }={30}^{\circ }\\ & k=1\to x={30}^{\circ }+{1.360}^{\circ }={390}^{\circ }(TM)\\ & atau\\ & \bullet x=(180-{30}^{\circ })+k{.360}^{\circ }\\ & x={150}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & k=0\to x={150}^{\circ }+{0.360}^{\circ }={150}^{\circ }\\ & k=1\to x={150}^{\circ }+{1.360}^{\circ }={510}^{\circ }(TM)\end{array}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{{30}^{\circ },{150}^{\circ }\}$

Contoh soal 2

Tentukan nilai $x$ dari persamaan $\sin (x-{30}^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{3}$, untuk $0^{\circ }<x<{720}^{\circ }$

Jawab:

$\begin{array}{rl}& \sin (x-{30}^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ & \sin (x-{30}^{\circ })=\sin {60}^{\circ }\\ \\ & \bullet x-30={60}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & x={90}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & k=0\to x={90}^{\circ }+{0.360}^{\circ }={90}^{\circ }\\ & k=1\to x={90}^{\circ }+{1.360}^{\circ }={450}^{\circ }\\ & atau\\ & \bullet (x-30)=(180-{60}^{\circ })+k{.360}^{\circ }\\ & x={150}^{\circ }+k{.360}^{\circ }\\ & k=0\to x={150}^{\circ }+{0.360}^{\circ }={150}^{\circ }\\ & k=1\to x={150}^{\circ }+{1.360}^{\circ }={510}^{\circ }\end{array}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{{90}^{\circ },{150}^{\circ },{450}^{\circ },{510}^{\circ }\}$

Contoh soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos 2x+\sin x=0$, untuk $0^{\circ }<x<{360}^{\circ }$

Jawab:

$\begin{array}{rl}& \cos 2x+\sin x=0\\ & 1-2{\sin }^{2}x+\sin x=0\\ & -2{\sin }^{2}x+\sin x+1=0\\ & 2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0\\ & (2\sin x+1)(\sin x-1)=0\\ \\ & 2\sin x+1=0\\ & \sin x=-\frac{1}{2}\\ & \text{Diperoleh }x={210}^{\circ }\text{ dan }x={330}^{\circ }\\ & atau\\ & \sin x-1=0\\ & \sin x=1\\ & \text{Diperoleh }x={90}^{\circ }\end{array}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{{90}^{\circ },{210}^{\circ },{330}^{\circ }\}$

Contoh soal 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:

$\begin{array}{rl}& a).2{\cos }^{2}x-3\cos x+1=0,\text{untuk }{0}^{\circ }\le x\le {360}^{\circ }\\ & b).2{\cos }^{2}x=\cos x+3,\text{untuk }{0}^{\circ }\le x\le {360}^{\circ }\end{array}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}& a).2{\cos }^{2}x-3\cos x+1=0,\text{untuk }{0}^{\circ }\le x\le {360}^{\circ }\\ & 2{\cos }^{2}x-3\cos x+1=0\\ & (2\cos x-1)(\cos x-1)=0\\ \\ & 2\cos x-1=0\\ & \cos x=\frac{1}{2}\\ & \text{Diperoleh }x={60}^{\circ }\text{ dan }x={300}^{\circ }\\ & atau\\ & \cos x-1=0\\ & \cos x=1\\ & \text{Diperoleh }x=0^{\circ }danx={360}^{\circ }\\ & \text{Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah}\{0^{\circ },{60}^{\circ },{300}^{\circ },{360}^{\circ }\}\\ \\ & b).2{\cos }^{2}x=\cos x+3,\text{untuk }{0}^{\circ }\le x\le {360}^{\circ }\\ & 2{\cos }^{2}x=3\cos x+3\\ & 2{\cos }^{2}x-\cos x-3=0\\ & (2\cos x-3)(\cos x+1)=0\\ \\ & 2\cos x-3=0\\ & \cos x=\frac{3}{2}(TM)\\ & atau\\ & \cos x+1=0\\ & \cos x=-1\\ & \text{Diperoleh }x={180}^{\circ }\\ & \text{Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah}\{{180}^{\circ }\}\end{array}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan trigonometri. Semoga bermanfaat.