Contoh Soal Suku Banyak beserta Pembahasannya #6
Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi suku banyak (kelas 11 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Diketahui $f(x)=x^3+2x^2+px+q$. Jika $h(x)=x^2+x-2$ merupakan faktor dari $f(x)$, nilai $p-q$ adalah ...
Jawab:
Karena $x^2+x-2$ merupakan faktor dari $f(x)$ maka dapat berlaku
$\begin{aligned} f(-2)&=0\\ f(1)&=0 \end{aligned}$
sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} f(-2)&=0\\ (-2)^3+2(-2)^2+p(-2)+q&=0\\ -2p+q&=0~...(1)\\ \\ f(1)&=0\\ 1^3+2.1^2+p.1+q&=0\\p+q&=-3~...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai p dan q dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -2p+q&=0 \\ p+q&=-3 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~-2p+q&=0 \\~2p+2q&=-6 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} + \\ & \color{black}{3p = -6}\\ & \! ~~~~p=-2 \end{aligned}$
Substitusi nilai $p=-2$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} -2p+q&=0 \\ 4+q&=0\\q&=-4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p-q=-2+4=2$
Contoh soal 2
Diketahui $2x^2+3x-2$ merupakan faktor dari suku banyak $P(x)=2px^4-x^3-6x^2+(q+3)x-2$. Nilai $p^3+q^3=$...
Jawab:
Karena $2x^2+3x-2$ merupakan faktor dari $f(x)$ maka dapat berlaku
$\begin{aligned} f(\frac{1}{2})&=0\\ f(-2)&=0 \end{aligned}$
sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} f(\frac{1}{2})&=0\\ 2p(\frac{1}{2})^4-(\frac{1}{2})^3-6(\frac{1}{2})^2+(q+3)(\frac{1}{2})-2&=0\\ ~p+4q-17&=0\\ p+4q&=17...(1)\\ \\ f(-2)&=0\\ 2p(-2)^4-(-2)^3-6(-2)^2+(q+3)(-2)-2&=0\\ 32p-2q&=24~...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai p dan q dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} p+4q&=17 \\ 32p-2q&=24 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~p+4q&=17 \\~64p-4q&=48 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} + \\ & \color{black}{65p = 65}\\ & \! ~~~~p=1 \end{aligned}$
Substitusi nilai $p=1$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} p+4q&=17 \\ 1+4q&=17\\4q&=16\\ q&=4 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p^3+q^3=1^3+4^3= 65$
Contoh soal 3
Diketahui akar-akar persamaan $x^4-2x^3-13x^2+14x+24=0$ adalah $-3$ dan $4$. Dua akar yang lain adalah ...
Jawab:
$\begin{array}{c|cccc} x = -3 & 1 &-2 & -13 & 14 &24 \\ & \downarrow & -3 & 15 & -6 & -24 \\ \hline x=4 & \color{red}{1} & \color{red}{-5} & \color{red}{2} & \color{red}{8} & \color{blue}{0} \\ & \downarrow & 4 & -4 & -8 \\ \hline x=2 & \color{red}{1} & \color{red}{-1} & \color{red}{-2} & \color{blue}{0} \\ & \downarrow & 2 & 2 \\ \hline x=-1 & \color{red}{1} & \color{red}{1} & \color{blue}{0} \\ & \downarrow & -1\\ \hline & \color{red}{1} & \color{blue}{0} \end{array}$
Jadi, dua akar yang lain adalah $2$ dan $-1$
Contoh soal 4
Akar-akar persamaan $9x^3+9x^2-46x+24=0$ adalah $x_1,x_2,$ dan $x_3$. Nilai $x_1+x_2+x_3=$...
Jawab:
Berdasarkan sifat-sifat akar persamaan suku banyak, soal diatas dapat diselesaikan sebagai berikut
$\begin{aligned} x_1+x_2+x_3&=-\frac{b}{a}\\ &=-\frac{9}{9}\\ &=-1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x_1+x_2+x_3=-1$
Contoh soal 5
Himpunan penyelesaian dari persamaan $x^3-7x-6=0$ adalah ...
Jawab:
Misalkan $f(x)=x^3-7x-6$
Himpunan penyelesaian yang mungkin dari persamaan suku banyak diatas adalah faktor bulat dari $-6$ yaitu $\pm1,~\pm2,~\pm3,~\pm6$
$\begin{aligned} f(-1)&=(-1)^3-7(-1)-6\\ &=0 \end{aligned}$
Jadi, $x=-1$ merupakan salah satu akar persamaan suku banyak
$\begin{array}{c|cccc} x = -1 & 1 &0 & -7 & -6 \\ & \downarrow & -1 & 1 & 6 \\ \hline & \color{red}{1} & \color{red}{-1} & \color{red}{-6} & \color{blue}{0} \end{array}$
Dari bentuk diatas diperoleh hasil bagi $x^2-x-6$
$\begin{aligned} x^2-x-6&=0\\ (x-3)(x+2)&=0\\ x=3 \vee x&=-2 \end{aligned}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $-2,-1,3$
Contoh soal 6
Akar-akar persamaan $x^3-4x^2-11x+30=0$ adalah $x_1,x_2,$ dan $x_3$ dengan $x_1<x_2<x_3$. Nilai dari $\frac{2x_1+x_2}{x_3}=$...
Jawab:
Akar-akar dari persamaan suku banyak diatas adalah faktor bulat dari $30$ yaitu $\pm1,~\pm2,~\pm3,~\pm5, \pm6,~\pm10,~\pm15,~\pm30$
$\begin{aligned} f(2)&=2^3-4.2^2-11.2+30\\ &=0 \end{aligned}$
Jadi, $x=2$ merupakan salah satu akar persamaan suku banyak
$\begin{array}{c|cccc} x = 2 & 1 &-4 & -11 & 30 \\ & \downarrow & 2 & -4 & -30 \\ \hline & \color{red}{1} & \color{red}{-2} & \color{red}{-15} & \color{blue}{0} \end{array}$
Dari bentuk diatas diperoleh hasil bagi $x^2-2x-15$
$\begin{aligned} x^2-2x-15&=0\\ (x-5)(x+3)&=0\\ x=5 \vee x&=-3 \end{aligned}$
Sehingga diperoleh $x_1=-3$, $x_2=2$, dan $x_3=5$
Jadi, nilai dari $\frac{2x_1+x_2}{x_3}=\frac{2(-3)+2}{5}=-\frac{4}{5}$
Contoh soal 7
Diketahui $x_1,x_2,$ dan $x_3$ adalah akar-akar persamaan $3x^3+2x^2-3x-2=0$ dengan $x_1<x_2<x_3$. Nilai dari $\frac{x_3-x_1}{x_2}=$...
Jawab:
$\begin{aligned} f(1)&=3.1^3+2.1^2-3.1-2\\ &=0 \end{aligned}$
Jadi, $x=1$ merupakan salah satu akar persamaan suku banyak
$\begin{array}{c|cccc} x = 1 & 3 &2 & -3 & -2 \\ & \downarrow & 3 & 5 & 2 \\ \hline & \color{red}{3} & \color{red}{5} & \color{red}{2} & \color{blue}{0} \end{array}$
Dari bentuk diatas diperoleh hasil bagi $3x^2+5x+2$
$\begin{aligned} 3x^2+5x+2&=0\\ (3x+2)(x+1)&=0\\ x=-\frac{2}{3} \vee x&=-1 \end{aligned}$
Sehingga diperoleh $x_1=-1$, $x_2=-\frac{2}{3}$, dan $x_3=1$
Jadi, nilai dari $\frac{x_3-x_1}{x_2}=\frac{1+1}{-\frac{2}{3}}=-3$
Contoh soal 8
Suku banyak $f(x)=x^3-ax^2+bx-2$ mempunyai faktor $x-2$. Jika suku banyak tersebut dibagi oleh $x+1$ bersisa $-3$. Nilai $a+b=$...
Jawab:
Dari soal diatas dapat diketahui bahwa
$\begin{aligned} f(2)&=0\\ f(-1)&=-3 \end{aligned}$
sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} f(2)&=0\\ 2^3-a2^2+b.2-2&=0\\ -4a+2b&=-6~...(1)\\ \\ f(-1)&=-3\\ (-1)^3-a(-1)^2+b(-1)-2&=0\\-a-b&=3~...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai a dan b dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -4a+2b&=-6 \\ -a-b&=3 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~-4a+2b&=-6 \\~-2a-2b&=6 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} + \\ & \color{black}{-6a = 0}\\ & \! ~~~~a=0 \end{aligned}$
Substitusi nilai $a=0$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} -4a+2b&=0 \\ 0+2b&=0\\ 2b&=0 \\ b&=0 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a+b=0$
Contoh soal 9
Salah satu faktor dari suku banyak $f(x)=x^3+11x^2+30x+8$ adalah ...
Jawab:
Faktor yang mungkin dari suku banyak diatas adalah faktor bulat dari $8$ yaitu $\pm1,~\pm2,~\pm4,~\pm8$
$\begin{aligned} f(-4)&=(-4)^3+11(-4)^2+30(-4)+8\\ &=0 \end{aligned}$
Jadi, $x+4$ merupakan salah satu faktor dari suku banyak
Contoh soal 10
Jika $-2$ dan $-\frac{1}{4}$ adalah akar-akar persamaan $16x^3-ax^2-bx+6=0$ dan $x_1<x_2<x_3$. Nilai $2x_1+x_2+x_3=$...
Jawab:
Dari soal diatas dapat diketahui bahwa
$\begin{aligned} f(-2)&=0\\ f(-\frac{1}{4})&=0 \end{aligned}$
sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} f(-2)&=0\\16(-2)^3-a(-2)^2-b(-2)+6&=0\\ -4a+2b&=122~...(1)\\ \\ f(-\frac{1}{4})&=0\\ 16(-\frac{1}{4})^3-a(-\frac{1}{4})^2-b(-\frac{1}{4})+6&=0\\-a+4b&=-92~...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai a dan b dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -4a+2b&=122 \\ -a+4b&=-92 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 4 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~-4a+2b&=122 \\~-4a+16b&=-368 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & \color{black}{-14b = 490}\\ & \! ~~~~b=-35 \end{aligned}$
Substitusi nilai $b=-35$ ke pers $(2)$
$\begin{aligned} -a+4b&=-92 \\ -a-140&=-92\\ a&=-48 \end{aligned}$
Jadi, bentuk suku banyaknya adalah $16x^3+48x^2+35x+6=0$
$\begin{array}{c|cccc} x = -2 & 6 &48 & 35 & 6 \\ & \downarrow & -32 & -32 & -6 \\ \hline x=-\frac{1}{4} & \color{red}{16} & \color{red}{16} & \color{red}{3} & \color{blue}{0} \\ & \downarrow & -4 & -3 \\ \hline & \color{red}{16} & \color{red}{12} & \color{blue}{0} \end{array}$
Dari bentuk diatas diperoleh hasil bagi $16x+12$
$\begin{aligned}16x+12&=0\\ 16x&=-12\\ x=-\frac{3}{4} \end{aligned}$
Sehingga diperoleh $x_1=-2$, $x_2=-\frac{3}{4}$, $x_3=-\frac{1}{4}$
Jadi, nilai $2x_1+x_2+x_3=2(-2)-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=-5$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi suku banyak (kelas 11 SMA). Semoga bermanfaat.
Referensi
Noormandiri, B.K. 2016. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: Penerbit Erlangga.
