Contoh Soal Suku Banyak beserta Pembahasannya #5
Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi suku banyak (kelas 11 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Sisa pembagian suku banyak $f(x)=4x^3+4x^2-x-5$ oleh $2x^2-x-1$ adalah ...
Jawab:
Pembagi $2x^2-x-1$ dapat difaktorkan menjadi $(2x+1)(x-1)$. Sehingga soal diatas bisa diselesaikan dengan teorema sisa 3.
$\begin{aligned} f(a)&=p(a)+q\\ f(-\frac{1}{2})&=p(-\frac{1}{2})+q\\ 4(-\frac{1}{2})^3+4(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})-5&=-\frac{1}{2}p+q\\ -\frac{1}{2}p+q&=-4~~(dikali~2)\\ -p+2q&=-8 ...(1)\\ \\f(b)&=p(b)+q\\ f(1)&=p(1)+q\\ 4.1^3+4.1^2-1-5&=p+q\\ p+q&=2 ...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai p dan q dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & -p+2q=-8\\ & p+q=2\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} + \\ & 3q=-6\\ & q=-2 \end{aligned}$
Substitusi nilai $q=-2$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} -p+2q&=-8 \\ -p-4&=-8\\p&=4 \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah
$\begin{aligned} s&=px+q\\ &=4x-2 \end{aligned}$
Contoh soal 2
Hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak $f(x)=x^5+x^4-14x^3+11x^2-13x-10$ oleh $x^2-2x-3$ adalah ...
Jawab:
$\begin{array}{c|cccc} \text{x = 3} & 1 &1 & -14 & 11 & -13 & -10 \\ & \downarrow & 3 & 12 & -6 & 15 & 6 \\ \hline x=-1 & \color{red}{1} & \color{red}{4} & \color{red}{-2} & \color{red}{5} & \color{red}{2} & \color{blue}{-4} \\ & \downarrow & -1 & -3 & 5 & -10 \\ \hline & \color{red}{1} & \color{red}{3} & \color{red}{-5} & \color{red}{10} & \color{blue}{-8} \end{array}$
Sehingga dapat diperoleh
Hasil baginya adalah $x^3+3x^2-5x+10$ dan
Sisa pembagiannya adalah
$\begin{aligned} (x-3).(-8)-4&= -8x+24-4\\ &= -8x+20 \end{aligned}$
Contoh soal 3
Sisa pembagian $f(x)=2x^4-7x^3+9x^2-12x+16$ dibagi $g(x)=2x-5$ adalah ...
Jawab:
Berdasarkan teorema sisa 2, sisa pembagian soal diatas adalah sama dengan $f(\frac{5}{2})$
$\begin{aligned} f(\frac{5}{2})&=2(\frac{5}{2})^4-7(\frac{5}{2})^3+9(\frac{5}{2})^2-12(\frac{5}{2})+16\\ &= 11 \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah $11$
Contoh soal 4
Diketahui suku banyak $f(x)=48x^3-px^2+23x-7$ dibagi oleh $(3x-2)$ bersisa $3$. Nilai $p=$...
Jawab:
Dari soal diketahui bahwa $f(\frac{2}{3})=3$ sehingga dapat diperoleh nilai $p$ sebagai berikut
$\begin{aligned} f(\frac{2}{3})&=48(\frac{2}{3})^3-p(\frac{2}{3})^2+23(\frac{2}{3})-7 \\ 3 &= 48.\frac{8}{27}-p.\frac{4}{9}+23.\frac{2}{3}-7\\ \frac{4}{9}p&=\frac{176}{9}\\ p&= 44 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p=44$
Contoh soal 5
Suku banyak $f(x)=3x^3-5x^2+ax-1$ habis dibagi oleh $3x+1$. Hasil bagi dari pembagian suku banyak tersebut adalah ...
Jawab:
Dari soal diketahui bahwa $f(-\frac{1}{3})=0$ sehingga dapat diperoleh nilai $a$ sebagai berikut
$\begin{aligned} f(-\frac{1}{3})&=3(-\frac{1}{3})^3-5(-\frac{1}{3})^2+a(-\frac{1}{3})-1 \\ 0&= 3.(-\frac{1}{27})-5(\frac{1}{9})-\frac{1}{3}a-1\\ \frac{1}{3}a&=3.(-\frac{1}{27})-5(\frac{1}{9})-1\\ \frac{1}{3}a&=- \frac{45}{27}\\ a&= -5 \end{aligned}$
Jadi, bentuk suku banyaknya $f(x)=3x^3-5x^2-5x-1$
$\begin{array}{c|cccc} x = -\frac{1}{3} & 3 &-5 & -5 & -1 \\ & \downarrow & -1 & 2 & 1 \\ \hline & \color{red}{3} & \color{red}{-6} & \color{red}{-3} & \color{blue}{0} \end{array}$
Jadi, hasil baginya adalah $3x^2-6x-3$
Contoh soal 6
Suku banyak $f(x)=ax^3-7x+b$ dibagi dengan $(x+1)$ dan $(x-2)$ masing-masing bersisa $-2$ dan $4$. Nilai $a+b$ adalah ...
Jawab:
Dari soal diketahui bahwa $f(-1)=-2$ dan $f(2)=4$ sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} f(-1)&=-2\\ a.(-1)^3-7.(-1)+b&=-2\\-a+b&=-9~...(1)\\ f(2)&=4\\ a.2^3-7.2+b&=4\\ 8a+b&=18~...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai a dan b dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & -a+b=-9\\ & 8a+b=18\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & -9a=-27\\ & a=3 \end{aligned}$
Substitusi nilai $a=3$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} -a+b&=-9 \\ -3+b&=-9\\b&=-6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a+b=3-6=-3$
Contoh soal 7
Diketahui suku banyak $f(x)=2x^4+ax^3-6x^2+bx-3$. Jika $f(1)=-3$ dan $f(-2)=3$ nilai $a-b$ adalah ...
Jawab:
Dari soal diketahui bahwa $f(1)=-3$ dan $f(-2)=3$ sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} f(1)&=-3\\ 2.1^4+a.1^3-6.1^2+bx-3&=-3\\a+b&=4~...(1)\\ f(-2)&=3\\ 2(-2)^4+a(-2)^3-6(-2)^2+b(-2)-3&=3\\ -8a-2b&=-2\\ 8a+2b&=2~...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai a dan b dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a+b&=4 \\ 8a+2b&=2 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2a+2b&=8 \\~8a+2b&=2 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & \color{black}{-6a = 6}\\ & \! ~~~~a=-1 \end{aligned}$
Substitusi nilai $a=-1$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} a+b&=4 \\ -1+b&=4\\b&=5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a-b=-1-5=-6$
Contoh soal 8
Suku banyak $f(x)=4x^3-(p+3)x^2+(3q-3)x-5$ dibagi $2x^2-3x+1$ sisanya $x-5$. Nilai $2p-q=$...
Jawab:
$f(x)$ dibagi $2x^2-3x+1$ bersisa $x-5$ sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} \text{f(x)}&= \text{pembagi} . \text{hasil bagi} + \text{sisa bagi}\\ f(x)&= (2x^2-3x+1) . \text{hasil bagi} + x-5\\ f(1)&= 0 -4 \\ 4.1^3-(p+3).1^2+(3q-3).1-5&=-4 \\ -p+3q&=3...(1) \\ \\ \text{f(x)}&= \text{pembagi} . \text{hasil bagi} + \text{sisa bagi}\\ f(x)&= (2x^2-3x+1) . \text{hasil bagi} + x-5\\ f(\frac{1}{2})&= 0 -\frac{9}{2} \\ 4.(\frac{1}{2})^3-(p+3).(\frac{1}{2})^2+(3q-3).(\frac{1}{2})-5&=-\frac{9}{2} \\ -\frac{1}{4}p+\frac{3}{2}q&=\frac{18}{8}~(dikali~8)\\ -2p+12q&=18...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai p dan q
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -p+3q&=3 \\ -2p+12q&=18 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~-2p+6q&=6 \\~-2p+12q&=18 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & \color{black}{-6q = -12}\\ & \! ~~~~q=2 \end{aligned}$
Substitusi nilai $q=2$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} -p+3q&=3 \\ -p+6&=3 \\p&=3 \end{aligned}$
Jadi, Nilai $2p-q=2.3-2=4$
Contoh soal 9
Suku banyak $f(x)$ dibagi oleh $(x-5)$ mempunyai sisa $14$ dan dibagi $(2x+3)$ mempunyai sisa $-12$. Jika suku banyak $f(x)$ dibagi oleh $(2x^2-7x-15)$ sisanya adalah ...
Jawab:
Dari soal diketahui bahwa
$\begin{aligned} f(5)&=14\\ f(-\frac{3}{2})&=-12 \end{aligned}$
Pembagi $(2x^2-7x-15)$ dapat difaktorkan menjadi $(x-5)(2x+3)$. Sehingga soal diatas dapat diselesaikan dengan teorema sisa 3
$\begin{aligned} f(5)&=p.5+q\\ 14&=5p+q~...(1)\\ \\ f(-\frac{3}{2})&=p.(-\frac{3}{2})+q\\ -12&=-\frac{3}{2}p+q~(dikalikan~2)\\ -24&=-3p+2q...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai p dan q
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5p+q&=14 \\ -3p+2q&=-24 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~10p+2q&=28 \\~-3p+2q&=-24 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & \color{black}{13p = 52}\\ & \! ~~~~p=4 \end{aligned}$
Substitusi nilai $p=4$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} 5p+q&=14 \\ 20+q&=14\\q&=-6 \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah
$\begin{aligned} \text{Sisa pembagian}&= px+q\\&=4x-6 \end{aligned}$
Contoh soal 10
Suku banyak $f(x)$ jika dibagi oleh $(x-4)$ mempunyai sisa $5$ dan $f(x)$ habis dibagi $x^2-1$. Sisa pembagian $f(x)$ jika dibagi $x^2-3x-4$ adalah ...
Jawab:
Dari soal diketahui bahwa
$\begin{aligned} f(4)&=5\\ f(1)&=0\\ f(-1)&=0 \end{aligned}$
Pembagi $x^2-3x-4$ dapat difaktorkan menjadi $(x-4)(x+1)$. Sehingga soal diatas dapat diselesaikan dengan teorema sisa 3
$\begin{aligned} f(4)&=p.4+q\\ 5&=4p+q~...(1)\\ \\ f(-1)&=p.(-1)+q\\ 0&=-p+q~...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai p dan q
$\begin{aligned} & 4p+q=5\\ & -p+q=0\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & 5p=5\\ & p=1 \end{aligned}$
Substitusi nilai $p=1$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} 4p+q&=5 \\ 4+q&=5\\q&=1 \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah
$\begin{aligned} \text{Sisa pembagian}&= px+q\\&=x+1 \end{aligned}$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi suku banyak (kelas 11 SMA). Semoga bermanfaat.
Referensi
Noormandiri, B.K. 2016. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: Penerbit Erlangga.
