Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Contoh Soal Suku Banyak beserta Pembahasannya #5

 Contoh Soal Suku Banyak beserta Pembahasannya

Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi suku banyak (kelas 11 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.

Contoh soal 1 
Sisa pembagian suku banyak $f(x)=4x^3+4x^2-x-5$ oleh $2x^2-x-1$ adalah ...  
Jawab:
Pembagi $2x^2-x-1$ dapat difaktorkan menjadi $(2x+1)(x-1)$. Sehingga soal diatas bisa diselesaikan dengan teorema sisa 3.
$\begin{aligned} f(a)&=p(a)+q\\ f(-\frac{1}{2})&=p(-\frac{1}{2})+q\\ 4(-\frac{1}{2})^3+4(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})-5&=-\frac{1}{2}p+q\\ -\frac{1}{2}p+q&=-4~~(dikali~2)\\ -p+2q&=-8 ...(1)\\ \\f(b)&=p(b)+q\\ f(1)&=p(1)+q\\ 4.1^3+4.1^2-1-5&=p+q\\ p+q&=2 ...(2) \end{aligned}$

Mencari nilai p dan q dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & -p+2q=-8\\ & p+q=2\\  & \rule{3.5 cm}{0.4pt}   + \\ & 3q=-6\\ & q=-2 \end{aligned}$

Substitusi nilai $q=-2$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} -p+2q&=-8 \\ -p-4&=-8\\p&=4 \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah 
$\begin{aligned} s&=px+q\\ &=4x-2 \end{aligned}$

Contoh soal 2
Hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak $f(x)=x^5+x^4-14x^3+11x^2-13x-10$ oleh $x^2-2x-3$ adalah ...  
Jawab:
$\begin{array}{c|cccc} \text{x = 3} & 1 &1 & -14 & 11 & -13 & -10   \\ & \downarrow & 3 & 12 & -6 & 15 & 6    \\ \hline x=-1 & \color{red}{1} & \color{red}{4} & \color{red}{-2} & \color{red}{5} & \color{red}{2}   & \color{blue}{-4} \\ & \downarrow & -1 & -3 & 5 & -10  \\ \hline & \color{red}{1} & \color{red}{3}  & \color{red}{-5} & \color{red}{10} & \color{blue}{-8}  \end{array}$

Sehingga dapat diperoleh 
Hasil baginya adalah $x^3+3x^2-5x+10$ dan 
Sisa pembagiannya adalah  
$\begin{aligned} (x-3).(-8)-4&= -8x+24-4\\ &= -8x+20   \end{aligned}$

Contoh soal 3 
Sisa pembagian $f(x)=2x^4-7x^3+9x^2-12x+16$ dibagi $g(x)=2x-5$ adalah ...
Jawab:
Berdasarkan teorema sisa 2, sisa pembagian soal diatas adalah sama dengan $f(\frac{5}{2})$

$\begin{aligned} f(\frac{5}{2})&=2(\frac{5}{2})^4-7(\frac{5}{2})^3+9(\frac{5}{2})^2-12(\frac{5}{2})+16\\ &= 11  \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah $11$

Contoh soal 4
Diketahui suku banyak $f(x)=48x^3-px^2+23x-7$ dibagi oleh $(3x-2)$ bersisa $3$. Nilai $p=$...
Jawab:
Dari soal diketahui bahwa $f(\frac{2}{3})=3$ sehingga dapat diperoleh nilai $p$ sebagai berikut

$\begin{aligned} f(\frac{2}{3})&=48(\frac{2}{3})^3-p(\frac{2}{3})^2+23(\frac{2}{3})-7 \\ 3 &= 48.\frac{8}{27}-p.\frac{4}{9}+23.\frac{2}{3}-7\\ \frac{4}{9}p&=\frac{176}{9}\\ p&= 44 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p=44$

Contoh soal 5 
Suku banyak $f(x)=3x^3-5x^2+ax-1$ habis dibagi oleh $3x+1$. Hasil bagi dari pembagian suku banyak tersebut adalah ...
Jawab:
Dari soal diketahui bahwa $f(-\frac{1}{3})=0$ sehingga dapat diperoleh nilai $a$ sebagai berikut

$\begin{aligned} f(-\frac{1}{3})&=3(-\frac{1}{3})^3-5(-\frac{1}{3})^2+a(-\frac{1}{3})-1 \\ 0&= 3.(-\frac{1}{27})-5(\frac{1}{9})-\frac{1}{3}a-1\\ \frac{1}{3}a&=3.(-\frac{1}{27})-5(\frac{1}{9})-1\\ \frac{1}{3}a&=- \frac{45}{27}\\ a&= -5 \end{aligned}$
Jadi, bentuk suku banyaknya $f(x)=3x^3-5x^2-5x-1$

$\begin{array}{c|cccc} x = -\frac{1}{3} & 3 &-5 & -5 & -1   \\ & \downarrow & -1 & 2 & 1     \\ \hline  & \color{red}{3} & \color{red}{-6} & \color{red}{-3}    & \color{blue}{0}   \end{array}$
Jadi, hasil baginya adalah $3x^2-6x-3$

Contoh soal 6
Suku banyak $f(x)=ax^3-7x+b$ dibagi dengan $(x+1)$ dan $(x-2)$ masing-masing bersisa $-2$ dan $4$. Nilai $a+b$ adalah ...
Jawab:
Dari soal diketahui bahwa $f(-1)=-2$ dan $f(2)=4$ sehingga dapat diperoleh

$\begin{aligned} f(-1)&=-2\\ a.(-1)^3-7.(-1)+b&=-2\\-a+b&=-9~...(1)\\  f(2)&=4\\ a.2^3-7.2+b&=4\\ 8a+b&=18~...(2)   \end{aligned}$

Mencari nilai a dan b dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & -a+b=-9\\ & 8a+b=18\\  & \rule{3.5 cm}{0.4pt}   - \\ & -9a=-27\\ & a=3 \end{aligned}$

Substitusi nilai $a=3$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} -a+b&=-9 \\ -3+b&=-9\\b&=-6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a+b=3-6=-3$ 

Contoh soal 7
Diketahui suku banyak $f(x)=2x^4+ax^3-6x^2+bx-3$. Jika $f(1)=-3$ dan $f(-2)=3$ nilai $a-b$ adalah ...
Jawab:
Dari soal diketahui bahwa $f(1)=-3$ dan $f(-2)=3$ sehingga dapat diperoleh

$\begin{aligned} f(1)&=-3\\ 2.1^4+a.1^3-6.1^2+bx-3&=-3\\a+b&=4~...(1)\\  f(-2)&=3\\ 2(-2)^4+a(-2)^3-6(-2)^2+b(-2)-3&=3\\ -8a-2b&=-2\\ 8a+2b&=2~...(2)   \end{aligned}$

Mencari nilai a dan b dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a+b&=4 \\ 8a+2b&=2 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2a+2b&=8 \\~8a+2b&=2 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ &  \color{black}{-6a = 6}\\ & \! ~~~~a=-1  \end{aligned}$

Substitusi nilai $a=-1$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} a+b&=4 \\ -1+b&=4\\b&=5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a-b=-1-5=-6$ 

Contoh soal 8
Suku banyak $f(x)=4x^3-(p+3)x^2+(3q-3)x-5$ dibagi $2x^2-3x+1$ sisanya $x-5$. Nilai $2p-q=$...
Jawab:
$f(x)$ dibagi $2x^2-3x+1$ bersisa $x-5$ sehingga dapat diperoleh 

$\begin{aligned} \text{f(x)}&= \text{pembagi} . \text{hasil bagi} + \text{sisa bagi}\\ f(x)&= (2x^2-3x+1) . \text{hasil bagi} + x-5\\ f(1)&= 0 -4 \\ 4.1^3-(p+3).1^2+(3q-3).1-5&=-4  \\ -p+3q&=3...(1) \\ \\ \text{f(x)}&= \text{pembagi} . \text{hasil bagi} + \text{sisa bagi}\\ f(x)&= (2x^2-3x+1) . \text{hasil bagi} + x-5\\ f(\frac{1}{2})&= 0  -\frac{9}{2} \\ 4.(\frac{1}{2})^3-(p+3).(\frac{1}{2})^2+(3q-3).(\frac{1}{2})-5&=-\frac{9}{2}  \\ -\frac{1}{4}p+\frac{3}{2}q&=\frac{18}{8}~(dikali~8)\\ -2p+12q&=18...(2)  \end{aligned}$

Mencari nilai p dan q
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -p+3q&=3 \\ -2p+12q&=18 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~-2p+6q&=6 \\~-2p+12q&=18 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ &  \color{black}{-6q = -12}\\ & \! ~~~~q=2  \end{aligned}$

Substitusi nilai $q=2$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} -p+3q&=3 \\ -p+6&=3 \\p&=3 \end{aligned}$
Jadi, Nilai $2p-q=2.3-2=4$

Contoh soal 9 
Suku banyak $f(x)$ dibagi oleh $(x-5)$ mempunyai sisa $14$ dan dibagi $(2x+3)$ mempunyai sisa $-12$. Jika suku banyak $f(x)$ dibagi oleh $(2x^2-7x-15)$ sisanya adalah ...
Jawab:
Dari soal diketahui bahwa 
$\begin{aligned} f(5)&=14\\ f(-\frac{3}{2})&=-12  \end{aligned}$

Pembagi $(2x^2-7x-15)$ dapat difaktorkan menjadi $(x-5)(2x+3)$. Sehingga soal diatas dapat diselesaikan dengan teorema sisa 3

$\begin{aligned} f(5)&=p.5+q\\ 14&=5p+q~...(1)\\ \\ f(-\frac{3}{2})&=p.(-\frac{3}{2})+q\\ -12&=-\frac{3}{2}p+q~(dikalikan~2)\\ -24&=-3p+2q...(2)  \end{aligned}$

Mencari nilai p dan q
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5p+q&=14 \\ -3p+2q&=-24 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~10p+2q&=28 \\~-3p+2q&=-24 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ &  \color{black}{13p = 52}\\ & \! ~~~~p=4  \end{aligned}$

Substitusi nilai $p=4$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} 5p+q&=14 \\ 20+q&=14\\q&=-6 \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah 
 $\begin{aligned} \text{Sisa pembagian}&= px+q\\&=4x-6 \end{aligned}$

Contoh soal 10 
Suku banyak $f(x)$ jika dibagi oleh $(x-4)$ mempunyai sisa $5$ dan $f(x)$ habis dibagi $x^2-1$. Sisa pembagian $f(x)$ jika dibagi $x^2-3x-4$ adalah ...
Jawab:
Dari soal diketahui bahwa 
$\begin{aligned} f(4)&=5\\ f(1)&=0\\ f(-1)&=0   \end{aligned}$

Pembagi $x^2-3x-4$ dapat difaktorkan menjadi $(x-4)(x+1)$. Sehingga soal diatas dapat diselesaikan dengan teorema sisa 3

$\begin{aligned} f(4)&=p.4+q\\ 5&=4p+q~...(1)\\ \\ f(-1)&=p.(-1)+q\\ 0&=-p+q~...(2)  \end{aligned}$

Mencari nilai p dan q
$\begin{aligned} & 4p+q=5\\ & -p+q=0\\  & \rule{3.5 cm}{0.4pt}   - \\ & 5p=5\\ & p=1 \end{aligned}$

Substitusi nilai $p=1$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} 4p+q&=5 \\ 4+q&=5\\q&=1 \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah 
 $\begin{aligned} \text{Sisa pembagian}&= px+q\\&=x+1 \end{aligned}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi suku banyak (kelas 11 SMA). Semoga bermanfaat. 

Referensi
Noormandiri, B.K. 2016. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: Penerbit Erlangga.