Contoh Soal Suku Banyak beserta Pembahasannya #4
Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi suku banyak (kelas 11 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Diketahui suku banyak $f(x)=2x^3-6x^2-px+7$. Jika $f(2)=15+f(-1)$, maka nilai $p$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} f(2)&=15+f(-1)\\ 2.2^3-6.2^2-2p+7&=15+2.(-1)^3-6.(-1)^2+p+7\\ 16-24-2p+7&=15-2-6+p+7\\ -1-2p&= 14+p\\ -15&=3p\\ p&=-5 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ adalah $-5$
Contoh soal 2
Hasil dan sisa pembagian dari $(3x^2+2x-4)$ dibagi oleh $(x-1)$ adalah ...
Jawab:
$\begin{array}{c|cccc} \text{x = 1} & 3 & 2 & -4 \\ & \downarrow & 3 & 5 \\ \hline & \color{red}{3} & \color{red}{5} & \color{blue}{1} \end{array}$
Jadi, hasil pembagiannya adalah $3x+5$ dan sisa pembagiannya adalah $1$
Contoh soal 3
Sisa pembagian suku banyak $f(x)=x^4-4x^3+3x^2-2x+1$ oleh $x^2-x-2$ adalah ...
Jawab:
Pembagi $x^2-x-2$ dapat difaktorkan menjadi $(x-2)(x+1)$. Sehingga soal bisa diselesaikan dengan teorema sisa 3.
$\begin{aligned} f(a)&=p(a)+q\\ f(2)&=p(2)+q\\ 2^4-4.2^3+3.2^2-2.2+1&=2p+q\\ 2p+q&=-7 ...(1)\\ \\f(b)&=p(b)+q\\ f(-1)&=p(-1)+q\\ (-1)^4-4(-1)^3+3(-1)^2-2(-1)+1&=-p+q\\ -p+q&=11 ...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai p dan q dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & 2p+q=-7\\ & -p+q=11\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & 3p=-18\\ & p=-6 \end{aligned}$
Substitusi nilai $p=-6$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} 2p+q&=-7 \\ -12+q&=-7\\q&=5 \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah
$\begin{aligned} s&=px+q\\ &=-6x+5 \end{aligned}$
Contoh soal 4
Suku banyak $f(x)=6x^3+7x^2+px-24$ habis dibagi oleh $2x-3$. Nilai $p$ adalah ...
Jawab:
$6x^3+7x^2+px-24$ habis dibagi $2x-3$ sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} f(\frac{3}{2})&=0\\ 6(\frac{3}{2})^3+7(\frac{3}{2})^2+p(\frac{3}{2})-24&=0\\ 12p+96&=0\\ 12p&=-96 \\ p &=-8 \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ adalah $-8$
Contoh soal 5
Diketahui suku banyak $f(x)=2x^4+ax^3-3x^2+5x+b$. Jika $f(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ dibagi $(x+1)$ sisa $-1$, maka nilai $(2a+b)$ adalah ...
Jawab:
Dari soal diatas dapat diketahui bahwa
$\begin{aligned} f(1)&=11\\ f(-1)&=-1 \end{aligned}$
Sehingga
$\begin{aligned} f(1)&=11\\ 2.1^4+a.1^3-3.1^2+5.1+b&=11\\ a+b&=7...(1)\\ \\ f(-1)&=-1\\ 2.(-1)^4+a.(-1)^3-3.(-1)^2+5.(-1)+b&=-1\\ -a+b&=5...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai a dan b dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & a+b=7\\ & -a+b=5\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & 2a=2\\ & a=1 \end{aligned}$
Substitusi nilai $a=1$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} a+b&=7 \\ 1+b&=7\\b&=6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $2a+b$ adalah $2.1+6=8$
Contoh soal 6
Diketahui $(x-1)$ dan $(x+3)$ adalah faktor-faktor suku banyak $f(x)=x^3+ax^2+x+b$. Jika akar-akar persamaan suku banyak tersebut adalah $x_1, x_2, x_3$ maka nilai $x_1.x_2.x_3=...$
Jawab:
Dari soal diatas dapat diketahui bahwa
$\begin{aligned} f(1)&=0\\ f(-3)&=0 \end{aligned}$
Sehingga
$\begin{aligned} f(1)&=0\\ 1^3+a.1^2+1+b&=0\\ a+b&=-2...(1)\\ \\ f(-3)&=0\\ (-3)^3+a.(-3)^2+(-3)+b&=0\\ 9a+b&=30...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai a dan b dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & a+b=-2\\ & 9a+b=30\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & -8a=-32\\ & a=4 \end{aligned}$
Substitusi nilai $a=4$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} a+b&=-2 \\ 4+b&=-2\\b&=-6 \end{aligned}$
Sehingga bentuk suku banyaknya adalah $f(x)=x^3+4x^2+x-6$
$\begin{array}{c|cccc} \text{x = 1} & 1 &4 & 1 & -6 \\ & \downarrow & 1 & 5 & 6 \\ \hline x=-3 & \color{red}{1} & \color{red}{5} & \color{red}{6} & \color{blue}{0} \\ & \downarrow & -3 & -6 \\ \hline x=-2 & \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{blue}{0}\\ & \downarrow & -2 \\ \hline & \color{red}{1} & \color{blue}{0} \end{array}$
Jadi, nilai $x_1.x_2.x_3=1.(-3).(-2)=6$
Contoh soal 7
Suku banyak $f(x)=2x^3+5x^2+ax+b$ dibagi $(x+1)$ sisanya $1$ dan jika dibagi $(x-2)$ sisanya $43$. Nilai $a+b$ adalah ...
Jawab:
Dari soal diatas dapat diketahui bahwa
$\begin{aligned} f(-1)&=1\\ f(2)&=43 \end{aligned}$
Sehingga
$\begin{aligned} f(-1)&=1\\ 2(-1)^3+5(-1)^2+a(-1)+b&=1\\ -a+b&=-2...(1)\\ \\ f(2)&=43\\ 2.2^3+5.2^2+a.2+b&=43\\ 2a+b&=7...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai a dan b dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & -a+b=-2\\ & 2a+b=7\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & -3a=-9\\ & a=3 \end{aligned}$
Substitusi nilai $a=3$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} -a+b&=-2 \\ -3+b&=-2\\b&=1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a+b$ adalah $3+1=4$
Contoh soal 8
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-2)$ sisa $1$ dibagi $(x+3)$ sisa $-8$. Suku banyak $g(x)$ dibagi $(x-2)$ sisa $9$. Dibagi $(x+3)$ sisa $2$. Jika $h(x)=f(x).g(x)$ maka sisa pembagian $h(x)$ dibagi $x^2+x-6$ adalah ...
Jawab:
Dari soal dapat diketahui
$\begin{aligned} f(2)&=1\\ f(-3)&=-8\\ \\g(2)&=9\\ g(-3)&=2 \end{aligned}$
Pembagi $x^2+x-6$ dapat difaktorkan menjadi $(x-2)(x+3)$. Sehingga soal bisa diselesaikan dengan teorema sisa 3.
$\begin{aligned} h(a)&=p(a)+q\\ h(2)&=p(2)+q\\ f(2).g(2)&=2p+q\\ 2p+q&=9 ...(1)\\ \\h(b)&=p(b)+q\\ h(-3)&=p(-3)+q\\ f(-3).g(-3)&=-3p+q\\ -3p+q&=-16 ...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai p dan q dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & 2p+q=9\\ & -3p+q=-16\\ & \rule{4 cm}{0.4pt} - \\ & 5p=25\\ & p=5 \end{aligned}$
Substitusi nilai $p=5$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} 2p+q&=9 \\ 10+q&=6\\q&=-4 \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah
$\begin{aligned} s&=px+q\\ &=5x-4 \end{aligned}$
Contoh soal 9
Salah satu faktor suku banyak $f(x)=x^4-15x^2-10x+n$ adalah $(x+2)$. Faktor-faktor lainnya adalah ...
Jawab:
Karena $(x+2)$ salah satu faktor suku banyak maka
$f(-2)=0$
$\begin{aligned} f(-2)&=(-2)^4-15(-2)^2-10(-2)+n\\ 0 &= 16-60+20+n\\ 0&=-24+n\\ n&=24 \end{aligned}$
Sehingga bentuk suku banyaknya adalah $f(x)=x^4-15x^2-10x+24$
$\begin{array}{c|cccc} \text{x = -2} & 1 &0 & -15 & -10 & 24 \\ & \downarrow & -2 & 4 & 22 & -24 \\ \hline x=4 & \color{red}{1} & \color{red}{-2} & \color{red}{-11} & \color{red}{12} & \color{blue}{0} \\ & \downarrow & 4 & 8 & -12 \\ \hline x=-3 & \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{-3} & \color{blue}{0}\\ & \downarrow & -3 & 3 \\ \hline x=1 & \color{red}{1} & \color{red}{-1} & \color{blue}{0} \\ & \downarrow & 1 \\ \hline & \color{red}{1} & \color{blue}{0} \end{array}$
Jadi, faktor-faktor lainnya adalah $(x-4),(x+3),(x-1)$
Contoh soal 10
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x+1)$ sisa $10$ dibagi $(2x-3)$ sisa $5$. Jika suku banyak $f(x)$ dibagi $2x^2-x-3$ adalah ...
Jawab:
Dari soal dapat diketahui
$\begin{aligned} f(-1)&=10\\ f(\frac{3}{2})&=5 \end{aligned}$
Pembagi $2x^2-x-3$ dapat difaktorkan menjadi $(x+1)(2x-3)$. Sehingga soal bisa diselesaikan dengan teorema sisa 3.
$\begin{aligned} f(a)&=p(a)+q\\ f(-1)&=p(-1)+q\\ 10&=-p+q\\ -p+q&=10 ...(1)\\ \\f(b)&=p(b)+q\\ f(\frac{3}{2})&=p(\frac{3}{2})+q\\ 5&=\frac{3}{2}p+q\\ 3p+2q&=10 ...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai p dan q dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} & -p+q=10\\ & 3p+2q=10 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~-2p + 2q & = 20 \\~3p + 2q & = 10 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & \! \begin{aligned} \color{black}{-5p = 10} \end{aligned} \\ & \! \begin{aligned} \color{black}{p = -2} \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi nilai $p=-2$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} -p+q&=10 \\ 2+q&=10\\q&=8 \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah
$\begin{aligned} s&=px+q\\ &=-2x+8 \end{aligned}$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi suku banyak (kelas 11 SMA). Semoga bermanfaat.
Referensi
Tim Grasindo. 2014. Intisari Materi dan Soal-soal Penting Matematika dan IPA SMA Kelas X, XI, XII. Jakarta: PT Grasindo.
